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21 控制工程基礎(chǔ)習(xí)題解答 第一章 1-5．圖1-10為張力控制系統(tǒng)。當(dāng)送料速度在短時(shí)間內(nèi)突然變化時(shí)，試說(shuō)明該控制系統(tǒng)的作用情況。畫(huà)出該控制系統(tǒng)的框圖。 測(cè)量 元件 > 電動(dòng)機(jī) 角位移 給定值 電動(dòng)機(jī) 圖1-10 題1-5圖 由圖可知，通過(guò)張緊輪將張力轉(zhuǎn)為角位移，通過(guò)測(cè)量角位移即可獲得當(dāng)前張力的大小。 當(dāng)送料速度發(fā)生變化時(shí)，使系統(tǒng)張力發(fā)生改變，角位移相應(yīng)變化，通過(guò)測(cè)量元件獲得當(dāng)前實(shí)際的角位移，和標(biāo)準(zhǔn)張力時(shí)角位移的給定值進(jìn)行比較，得到它們的偏差。根據(jù)偏差的大小調(diào)節(jié)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速，使偏差減小達(dá)到張力控制的目的。 框圖如圖所示。 題1-5 框圖 電動(dòng)機(jī) 給定值 角位移誤差 張力 - 轉(zhuǎn)速 位移 張緊輪 滾輪 輸送帶 轉(zhuǎn)速 測(cè)量輪 測(cè)量元件 角位移 角位移 （電壓等） 放大 電壓 1-8．圖1-13為自動(dòng)防空火力隨動(dòng)控制系統(tǒng)示意圖及原理圖。試說(shuō)明該控制系統(tǒng)的作用情況。 圖1-13 題1-8圖 敏感 元件 定位伺服機(jī)構(gòu) （方位和仰角） 計(jì)算機(jī)指揮儀 目標(biāo) 方向 跟蹤環(huán)路 跟蹤 誤差 瞄準(zhǔn)環(huán)路 火炮方向 火炮瞄準(zhǔn)命令 - - 視線 瞄準(zhǔn) 誤差 伺服機(jī)構(gòu)（控制繞垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)） 伺服機(jī)構(gòu)（控制仰角） 視線 敏感元件 計(jì)算機(jī) 指揮儀 該系統(tǒng)由兩個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)串聯(lián)而成：跟蹤控制系統(tǒng)和瞄準(zhǔn)控制系統(tǒng)，由跟蹤控制系統(tǒng)獲得目標(biāo)的方位角和仰角，經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行彈道計(jì)算后給出火炮瞄準(zhǔn)命令作為瞄準(zhǔn)系統(tǒng)的給定值，瞄準(zhǔn)系統(tǒng)控制火炮的水平旋轉(zhuǎn)和垂直旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)瞄準(zhǔn)。 跟蹤控制系統(tǒng)根據(jù)敏感元件的輸出獲得對(duì)目標(biāo)的跟蹤誤差，由此調(diào)整視線方向，保持敏感元件的最大輸出，使視線始終對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)跟蹤的功能。 瞄準(zhǔn)系統(tǒng)分別由仰角伺服控制系統(tǒng)和方向角伺服控制系統(tǒng)并聯(lián)組成，根據(jù)計(jì)算機(jī)給出的火炮瞄準(zhǔn)命令，和仰角測(cè)量裝置或水平方向角測(cè)量裝置獲得的火炮實(shí)際方位角比較，獲得瞄準(zhǔn)誤差，通過(guò)定位伺服機(jī)構(gòu)調(diào)整火炮瞄準(zhǔn)的角度，實(shí)現(xiàn)火炮自動(dòng)瞄準(zhǔn)的功能。 控制工程基礎(chǔ)習(xí)題解答 第二章 2-2．試求下列函數(shù)的拉氏變換，假定當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0。 (3). 解： (5). 解： 2-6．試求下列函數(shù)的拉氏反變換。 (4). 解： (8). 解： i(t) C1 R1 R2 ui(t) uo(t) b) C2 圖2-28 題2-13圖 2-13試求圖2-28所示無(wú)源網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)。 解： b). 用等效阻抗法做： 拉氏變換得： 傳遞函數(shù)為： I1 I2 I3 圖2-30 題2-16圖 b) 2-16試求圖2-30所示有源網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)。 解： 2-17．組合機(jī)車動(dòng)力滑臺(tái)銑平面時(shí)，當(dāng)切削力Fi（t）變化時(shí)，滑臺(tái)可能產(chǎn)生振動(dòng)，從而降低被加工工件的切削表面質(zhì)量?？蓪?dòng)力滑臺(tái)連同銑刀抽象成如圖所示的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的力學(xué)模型。其中m為受控質(zhì)量，k1，k2分別為銑刀系統(tǒng)，x0（t）為輸出位移。試建立數(shù)學(xué)模型。 f m Fi(t) k1 k2 x0(t) 圖2-31 題2-17圖 x1(t) 解：微分方程為： 拉氏變換得： 傳遞函數(shù)為： J1 J2 θ0(t) k2 f a) k1 θ1(t) + - θi(s) k1 T1(s) + - + - k2 θ0(s) T2(s) b) 圖2-39 題2-25圖 2-25．試求圖2-39a所示機(jī)械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，畫(huà)出其函數(shù)框圖，與圖2-39b進(jìn)行比較。 解1：微分方程為： 拉氏變換得： 傳遞函數(shù)為： 解2：畫(huà)出框圖如圖所示，通過(guò)框圖簡(jiǎn)化可得傳遞函數(shù)為： J1 J2 θ0(t) k2 f k1 θi(t) + - θi(s) k1 T1(s) + - + - k2 θ0(s) T2(s) θ1(t) + - + - k1 T1(s) + - + - k2 θ0(s) T2(s) θi(s) + - k1 T1(s) + - + - k2 θ0(s) T2(s) θi(s) + - k1 T1(s) + - θ0(s) T2(s) θi(s) + - k1 T1(s) + - T2(s) θi(s) θ0(s) + - T2(s) θi(s) θ0(s) θi(s) θ0(s) θi(s) 2-28．化簡(jiǎn)圖2-42所示各系統(tǒng)框圖求傳遞函數(shù)。 c). G1 + + Xi H1 + - X0 G2 + - G3 H2 G4 - c) 圖2-42 題2-28圖 G1 + + Xi + - X0 + H2 G4 - G1 + + Xi + - X0 G4 Xi + - X0 G4 Xi X0 第三章 3-2．假設(shè)溫度計(jì)可用1/（Ts+1）傳遞函數(shù)描述其特性。現(xiàn)用該溫度計(jì)測(cè)量某容器中的水溫，發(fā)現(xiàn)經(jīng)1min后才能指示出實(shí)際水溫的96%，問(wèn)： （1）. 該溫度計(jì)的指示從實(shí)際水溫的10%變化到90%所需的時(shí)間是多少？ （2）. 如果給該容器加熱，使容器內(nèi)水溫以0.1℃/s的速度均勻上升，當(dāng)定義誤差e(t)=r(t)-c(t)時(shí)，溫度計(jì)的穩(wěn)態(tài)指示誤差有多大？ 1． 沒(méi)有考慮溫度計(jì)原來(lái)的環(huán)境溫度。 解： （1）. 設(shè)實(shí)際水溫為T(mén)r，溫度計(jì)原來(lái)處于0度，當(dāng)溫度計(jì)放入水中時(shí)，相當(dāng)于輸入一階躍值為T(mén)r的階躍函數(shù)，溫度計(jì)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為：， 根據(jù)題意可得： 即可得：T=18.64(s)， 10%所需的時(shí)間為，。 90%所需的時(shí)間為，。 所以可得該溫度計(jì)的指示從實(shí)際水溫的10%變化到90%所需的時(shí)間（上升時(shí)間）是 （2）. 由題可知系統(tǒng)為一階系統(tǒng)，故系統(tǒng)穩(wěn)定采用頻域方法計(jì)算（終值定理）時(shí)，必須進(jìn)行穩(wěn)定性判定，采用時(shí)域方法則不必。 ，為求當(dāng)r(t)=0.1t時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，由一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析可知，單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為T(mén)，所以穩(wěn)態(tài)指示誤差： + - R(s) C(s) E(s) 題3-2（2）圖 （將1/（Ts+1）轉(zhuǎn)化為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為1/（Ts）時(shí)的單位反饋系統(tǒng)，則可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)的誤差為e(t)=r(t)-c(t)。根據(jù)系統(tǒng)為I型，可得穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)為Kv=K=1/T，得當(dāng)輸入信號(hào)為r(t)=0.1t假定開(kāi)始溫度計(jì)和水溫相同（系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)），也可假定在加溫時(shí)，溫度計(jì)突然放入，此時(shí)除有速度信號(hào)外還有階躍信號(hào)，但對(duì)一型系統(tǒng)，它的穩(wěn)態(tài)誤差為0. 時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為） + - R(s) C(s) E(s) 圖3-24 題3-5圖 3-5．某控制系統(tǒng)如圖3-24所示，已知K=125，試求： （1）. 系統(tǒng)階次，類型。類型 （2）. 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)。 1. 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)概念 2. 標(biāo)準(zhǔn)形式 3. 開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)概念 （3）. 閉環(huán)傳遞函數(shù)，閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)。 1. 標(biāo)準(zhǔn)形式 2. 沒(méi)有零點(diǎn)應(yīng)予以說(shuō)明 （4）. 自然振蕩頻率ωn，阻尼比ζ，阻尼振蕩頻率ωd。 （5）. 調(diào)整時(shí)間ts(△=2%)，最大超調(diào)量σp%。 （6）. 輸入信號(hào)r(t)=5時(shí)，系統(tǒng)的輸出終值c(∞)、輸出最大值cmax。 1. 應(yīng)用終值定理時(shí)應(yīng)說(shuō)明極限存在的依據(jù) 2. 閉環(huán)增益不為1及輸入不是單位階躍時(shí)的響應(yīng) （7）. 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。 （8）. 系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)。 1. 可以采用拉氏反變換，也可采用線性系統(tǒng)的重要特征求 2. 進(jìn)行積分時(shí)應(yīng)注意積分常數(shù) （9）. 靜態(tài)誤差系數(shù)Kp、Kv、Ka。 （10）. 系統(tǒng)對(duì)輸入為r(t)=5+2t+t2時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。 1. 穩(wěn)定性判斷或極限存在說(shuō)明； 2. 單位加速度信號(hào)的系數(shù)； 3. 誤差可以采用誤差系數(shù)計(jì)算，也可采用誤差定義計(jì)算，但一般在已經(jīng)求得誤差系數(shù)時(shí)采用誤差系數(shù)計(jì)算； 4. 誤差無(wú)窮大時(shí)并不說(shuō)明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的只能說(shuō)明系統(tǒng)跟蹤能力很差，無(wú)法跟隨輸入信號(hào)的變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)則不存在誤差或在任何輸入信號(hào)作用下誤差均為無(wú)窮大。 解： （1）. 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：，可見(jiàn)系統(tǒng)階次為二階，類型為I型。 （2）. 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)為1.5625 （3）. 閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ，閉環(huán)沒(méi)有閉環(huán)零點(diǎn)，閉環(huán)極點(diǎn)為： （4）. ，， （5）. ， （6）. 因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)型二階系統(tǒng)單位階躍信號(hào)的穩(wěn)態(tài)輸出為1，最大值為1+Mp=1+σp%=1.015，由于線性系統(tǒng)符合疊加原理，所以可得：*5=25，cmax=5*5*1.015=25.375 （7）. 由于標(biāo)準(zhǔn)型欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為： 所以系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為： 利用線性系統(tǒng)的重要特征即可得單位脈沖響應(yīng)： （8）. 同理可得單位斜坡響應(yīng)： 積分常數(shù)C由初始狀態(tài)為零的條件而得，即 可得C=-3.2，所以單位斜坡響應(yīng)為： （9）. 由于系統(tǒng)為I型，所以其靜態(tài)誤差系數(shù)分別為： Kp=∞ Kv=1. 5625 Ka=0 （10）. 系統(tǒng)對(duì)輸入為r(t)=5+2t+t2時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為： 系統(tǒng)是二階系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中的系數(shù)均大于零（或由閉環(huán)傳遞函數(shù)中可知極點(diǎn)的實(shí)部小于零），所以系統(tǒng)穩(wěn)定 3-16．已知開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下（K>0），試，用羅斯判據(jù)判別其閉環(huán)穩(wěn)定性，并說(shuō)明系統(tǒng)在s右半平面的根數(shù)及虛根數(shù)。 （1）. （6）. 1. 特征方程應(yīng)從閉環(huán)傳遞函數(shù)獲得； 2. 特征方程中有系數(shù)項(xiàng)為0，并不一定系統(tǒng)不穩(wěn)定，也可能是臨界穩(wěn)定，此時(shí)數(shù)學(xué)上的定義是穩(wěn)定的； 3. 只有第一列上出現(xiàn)0時(shí)，才采用設(shè)無(wú)窮小正數(shù)ε的方法； 4. 左平面的復(fù)數(shù)根并不是虛數(shù)根。 解： （1）. 特征方程為 當(dāng)K>0時(shí)，則第一列的符號(hào)全部大于零，所以閉環(huán)穩(wěn)定，系統(tǒng)在s右半平面的根數(shù)及虛根數(shù)均為0。 （6）. 特征方程為 當(dāng)K>0時(shí)，第一列有一個(gè)數(shù)小于零，所以閉環(huán)不穩(wěn)定；第一列符號(hào)變化了兩次，系統(tǒng)在s右半平面的根數(shù)為2；第一列沒(méi)有等于0的數(shù)，虛根數(shù)為0。 3-19．單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，試求： （1）. 系統(tǒng)穩(wěn)定的a值； （2）. 系統(tǒng)所有特征根的實(shí)部均小于-1之a(chǎn)值。 （3）. 有根在（-1，0）時(shí)之a(chǎn)值。 1. （2）采用方程代數(shù)分析方法時(shí)需注意s是復(fù)數(shù)域內(nèi)的，需要按復(fù)變函數(shù)的概念進(jìn)行 解： 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）. 用羅斯判據(jù)可得： 系統(tǒng)穩(wěn)定，則應(yīng)：，即a值應(yīng)為： （2）. 令，即，此時(shí)當(dāng)時(shí)，則。對(duì)閉環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行變換得： 系統(tǒng)穩(wěn)定，則應(yīng)：，此時(shí)，。即a值應(yīng)為： （3）. 由（1）和（2）可得，此時(shí)a應(yīng)在（0，1.2）和(3,8)之間。 3-27．已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3-34所示。 (1). 要求系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)σp%=16.3%，ts=1s，試確定參數(shù)K1、K2的值。 (2). 在上述K1、K2之值下計(jì)算系統(tǒng)在r(t)=t作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 1. 調(diào)整時(shí)間缺少誤差范圍 2. 計(jì)算誤差時(shí)，注意開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù) 3. 穩(wěn)定性判斷 + - R(s) C(s) + - E(s) 圖3-34 題3-27圖 解： 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： （1）. 得： 5%時(shí)： 得：，則：，由系統(tǒng)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定K1應(yīng)大于零，所以 此時(shí)： 2%時(shí)： 得：，則：，由系統(tǒng)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定K1應(yīng)大于零，所以。此時(shí)： （2）. 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)是二階系統(tǒng)，閉環(huán)（或開(kāi)環(huán)）傳遞函數(shù)中的系數(shù)均大于零（或由閉環(huán)傳遞函數(shù)中可知極點(diǎn)的實(shí)部小于零），所以系統(tǒng)穩(wěn)定 系統(tǒng)為I型 當(dāng)，時(shí)，開(kāi)環(huán)放大增益為： 當(dāng)，時(shí)，開(kāi)環(huán)放大增益為： 4-2．設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)在s平面上的分布如圖4-15所示，試?yán)L制根軌跡草圖。 0 σ 0 σ 0 σ 0 σ jω jω jω jω 0 σ jω 0 σ jω 0 σ jω 0 σ jω 圖4-15 題4-2圖 解： 0 σ 0 σ 0 σ 0 σ jω jω jω jω 0 σ jω 0 σ jω 0 σ jω 0 σ jω 4-3．已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制當(dāng)增益K1變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡圖。 （1）. （2）. 解： （1）. 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為 無(wú)有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。示如圖 0 σ jω -2 -5 j3.16 -0.88 -2.33 -j3.16 法則2：有三條趨向無(wú)窮的根軌跡。 法則3：實(shí)軸上的根軌跡：0～-2，-5～-∞。 法則4：漸近線相角： 法則5：漸近線交點(diǎn)：，得漸近線如圖示。 法則6：分離點(diǎn)： 得：， 其中為實(shí)際分離點(diǎn)，如圖示。 法則8：虛軸交點(diǎn)：令代入特征方程，得： 綜上所述，根軌跡如圖紅線所示。 （2）. 0 σ jω -1+j3 -2 -1-j3 -5.16 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為。示如圖 法則2：有1條趨向無(wú)窮的根軌跡。 法則3：實(shí)軸上的根軌跡： -2～-∞。 法則6：分離點(diǎn)： 得：， 其中為實(shí)際分離點(diǎn)，如圖示。 法則7：出射角： 得 法則1：對(duì)稱性可得： 綜上所述，根軌跡如圖紅線所示。 4-9 已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （1） 系統(tǒng)無(wú)超調(diào)的K1值范圍。 （2） 確定使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的K1值，并求此時(shí)的振蕩頻率 解： 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為 漸近線相角： 漸近線交點(diǎn)：。 （1） 分離點(diǎn)： 得：， 其中為實(shí)際分離點(diǎn)， 此時(shí)。 （2） 虛軸交點(diǎn)：令代入特征方程，得： 0 σ jω -5 -4.67 -9 -2.06 -j6.7 j6.7 畫(huà)系統(tǒng)的根軌跡，如圖示。 由根軌跡圖可得： （1） 系統(tǒng)無(wú)超調(diào)的K1值范圍為保持所有根軌跡在負(fù)實(shí)軸時(shí)（分離點(diǎn)之前的部分），即。 （2） 確定使系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩的K1值為與虛軸交點(diǎn)時(shí)，即。此時(shí)的振蕩頻率為無(wú)阻尼自然頻率，即閉環(huán)極點(diǎn)的虛部：。 4-10 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （1） 試?yán)L制根軌跡的大致圖形，并對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。 （2） 若增加一個(gè)零點(diǎn)z=-1，試問(wèn)根軌跡圖有何變化，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有何影響。 解： （1） 畫(huà)系統(tǒng)的根軌跡，如圖紅線所示。 0 σ jω -1 -0.67 其中：漸近線相角： 漸近線交點(diǎn)：。 可見(jiàn)系統(tǒng)除在K1=0時(shí)處于臨界穩(wěn)定之外，系統(tǒng)均處于不穩(wěn)定狀態(tài)。 （2） 增加一個(gè)零點(diǎn)z=-1后的根軌跡如圖藍(lán)線所示。 其中：漸近線相角： 漸近線交點(diǎn)：。 使根軌跡向左移動(dòng)進(jìn)入左半平面，由根軌跡圖可知此時(shí)除在K1=0時(shí)處于臨界穩(wěn)定之外，系統(tǒng)均處于穩(wěn)定狀態(tài)。即系統(tǒng)增加的零點(diǎn)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性獲得了改善，由原不穩(wěn)定系統(tǒng)變?yōu)榱朔€(wěn)定系統(tǒng)。