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習(xí)題精解 9-1.在氣墊導(dǎo)軌上質(zhì)量為m的物體由兩個(gè)輕彈簧分別固定在氣墊導(dǎo)軌的兩端，如圖9-1所示，試證明物體m的左右運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k1和k2. 解：取物體在平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則物體在任意位置時(shí)受的力為 根據(jù)牛頓第二定律有 化簡(jiǎn)得 令則所以物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期 9-2 如圖9.2所示在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，放置一電偶極矩P=ql的電偶極子，+q和-q相距l(xiāng)，且l不變。若有一外界擾動(dòng)使這對(duì)電荷偏過(guò)一微小角度，擾動(dòng)消息后，這對(duì)電荷會(huì)以垂直與電場(chǎng)并通過(guò)l的中心點(diǎn)o的直線為軸來(lái)回?cái)[動(dòng)。試證明這種擺動(dòng)是近似的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。設(shè)電荷的質(zhì)量皆為m，重力忽略不計(jì)。 解 取逆時(shí)針的力矩方向?yàn)檎较?，?dāng)電偶極子在如圖9.2所示位置時(shí)，電偶極子所受力矩為 電偶極子對(duì)中心O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律知 化簡(jiǎn)得 當(dāng)角度很小時(shí)有，若令，則上式變?yōu)? 所以電偶極子的微小擺動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。而且其周期為 9-3 汽車(chē)的質(zhì)量一般支承在固定與軸承的若干根彈簧上，成為一倒置的彈簧振子。汽車(chē)為開(kāi)動(dòng)時(shí)，上下為自由振動(dòng)的頻率應(yīng)保持在 附近，與人的步行頻率接近，才能使乘客沒(méi)有不適之感。問(wèn)汽車(chē)正常載重時(shí)，每根彈簧松弛狀態(tài)下壓縮了多少長(zhǎng)度？ 解 汽車(chē)正常載重時(shí)的質(zhì)量為m，振子總勁度系數(shù)為k，則振動(dòng)的周期為，頻率為　 正常載重時(shí)彈簧的壓縮量為 9-4 一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，一端懸掛在水平軸O點(diǎn)，如圖9.3所示。開(kāi)始棒在平衡位置OO，處于平衡狀態(tài)。將棒拉開(kāi)微小角度后放手，棒將在重力矩作用下，繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)。此裝置時(shí)最簡(jiǎn)單的物理擺。 若不計(jì)棒與軸的摩擦力和空氣的阻力，棒將擺動(dòng)不止。試證明擺角很小的情況下，細(xì)棒的擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)周期。 解 設(shè)在某一時(shí)刻，細(xì)棒偏離鉛直線的角位移為，并規(guī)定細(xì)棒在平衡位置向右時(shí)為正，在向左時(shí)為負(fù)，則力矩為 負(fù)號(hào)表示力矩方向與角位移方向相反，細(xì)棒對(duì)O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 化簡(jiǎn)得 當(dāng)很小時(shí)有，若令則上式變?yōu)? 所以細(xì)棒的擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期為 9-5 一放置在水平光滑桌面上的彈簧振子，振幅，周期，當(dāng)t=0時(shí)， （1）物體在正方向的端點(diǎn)； （2）物體在負(fù)方向的端點(diǎn)； (3) 物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng); (4）物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng); (5)物體在處向負(fù)方向運(yùn)動(dòng) (6)物體在處向正方向運(yùn)動(dòng)。求以上各種情況的振動(dòng)方程。 解 由題意知 （1）由初始條件得初想為是,所以振動(dòng)方程為 （2）由初始條件得初想為是，所以振動(dòng)方程為 （3）由初始條件得初想為是，所以振動(dòng)方程為 （4）由初始條件得初想為是，所以振動(dòng)方程為 （5）因?yàn)椋?，?。ㄒ驗(yàn)樗俣刃∮诹悖?，所以振?dòng)方程為 （6），所以，?。ㄒ?yàn)樗俣却笥诹悖?，所以振?dòng)方程為 9-6一質(zhì)點(diǎn)沿x軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.12m，周期為2s，當(dāng)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置在0.06m處，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求； （1）質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程； （2）t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加速度； （3）質(zhì)點(diǎn)x=-0.06m處，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，在回到平衡位置所需最短的時(shí)間。 解 （1）由題意可知：可求得（初速度為零），所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 （2） 任意時(shí)刻的速度為 所以 任意時(shí)刻的加速度為 所以 （3）根據(jù)題意畫(huà)旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖9.4所示。 由圖可知，質(zhì)點(diǎn)在x=-0.06m處，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，再回到平衡位置相位的變化為 所以 9-7 一彈簧懸掛0.01kg砝碼時(shí)伸長(zhǎng)8cm，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛0.025kg的物體，使它作自由振動(dòng)。請(qǐng)建立坐標(biāo)系，分析對(duì)下述3種情況列出初始條件，求出振幅和初相位，最后建立振動(dòng)方程。 （1）開(kāi)始時(shí)，使物體從平衡位置向下移動(dòng)4cm后松手； （2）開(kāi)始時(shí)，物體在平衡位置，給以向上的初速度，使其振動(dòng)； （3）把物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm后，又給以向上的初速度，同時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)。 解 （1）取物體處在平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正方向，建立如圖9.5所示坐標(biāo)系。 系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率為 根據(jù)題意，初始條件為 振幅，初相位 振動(dòng)方程為 （2）根據(jù)題意，初始條件為 振幅，初相位 振動(dòng)方程為 （3）根據(jù)題意，初始條件為 振幅，，得 振動(dòng)方程為 9-8 質(zhì)量為0.1kg的物體，以振幅做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其最大加速度為，求：（1）振動(dòng)周期；（2）通過(guò)平衡位置時(shí)的動(dòng)能；（3）總能量。 解 （1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體的最大加速度為 ，所以周期為。 （2）做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體通過(guò)平衡位置時(shí)具有最大速度 所以動(dòng)能為 （3）總能量為 9-9 彈簧振子在光滑的水平上面上做振幅為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如圖9.6所示，物體的質(zhì)量為M，彈簧的勁度系數(shù)為k，當(dāng)物體到達(dá)平衡位置且向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，一質(zhì)量為m的小泥團(tuán)以速度從右打來(lái)，并粘附于物體之上，若以此時(shí)刻作為起始時(shí)刻，求： （1）系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率； （2）按圖示坐標(biāo)列出初始條件； （3）寫(xiě)出振動(dòng)方程； 解 （1）小泥團(tuán)粘附于物體之后與物體一起做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，總質(zhì)量為M+m，彈簧的勁度系數(shù)為k，所以系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率為 （2）小泥團(tuán)粘附于物體之上后動(dòng)量守恒，所以有 按圖9.6所示坐標(biāo)初始條件為 （3）根據(jù)初始條件，系統(tǒng)振動(dòng)的初相位為；假設(shè)，系統(tǒng)的振動(dòng)振幅為A，根據(jù)能量守恒，有 其中 故得 振動(dòng)方程為 9-10 有一個(gè)彈簧振子，振幅，周期T=1s，初相位，（1）寫(xiě)出它的振動(dòng)方程；（2）利用旋轉(zhuǎn)矢量圖，作x-t圖。 解 （1）由題意可知，，所以彈簧振子的振動(dòng)方程為 （2）利用旋轉(zhuǎn)矢量圖做x-t圖如圖9.7所示 9-11 一物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，（1）當(dāng)它的位置在振幅一半處時(shí)，試?yán)眯D(zhuǎn)矢量計(jì)算它的相位可能為哪幾個(gè)值？做出這些旋轉(zhuǎn)矢量；（2）諧振子在這些位置時(shí)，其動(dòng)能。勢(shì)能各占總能量的百分比是多少？ 解 （1）根據(jù)題意做旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.8所示。 由圖9.8可知，當(dāng)它的位置在振幅的一半時(shí)，它的可能相位是 （2）物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的總能量為，在任意位置時(shí)的時(shí)能為，所以當(dāng)它的位置在振幅的一半時(shí)的勢(shì)能為，勢(shì)能占總能量的百分比為25%，動(dòng)能占總能量的百分比為75%。 9-12 手持一塊平板，平板上放以質(zhì)量為0.5kg的砝碼，現(xiàn)使平板在豎直方向上下振動(dòng)，設(shè)該振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，頻率為2Hz，振幅是0.04m,問(wèn)： （1） 位移最大時(shí)，砝碼對(duì)平板的正壓力多大？ （2）以多大的振幅振動(dòng)時(shí)，會(huì)使砝碼脫離平板？ (3) 如果振動(dòng)頻率加快一倍則砝碼隨板保持一起振動(dòng)的振幅上限是多大？ 解 （1）由題意可知，。因?yàn)槲矬w在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，物體在最大位移時(shí)加速度大小 根據(jù)牛頓第二定律有 解得（最低位置）， (最高位置) （2）當(dāng)，即時(shí) 會(huì)使砝碼脫離平板。 （3）頻率增大一倍，把代入得 9-13 有兩個(gè)完全相同的彈簧振子A和B，并排地放在光滑的水平面上，測(cè)得它們的周期都是2s?，F(xiàn)將兩個(gè)物體從平衡位置向右拉開(kāi)5cm，然后先釋放A振子，經(jīng)過(guò)0.5s后，再釋放B振子，如圖9.9所示，若以B振子釋放的瞬間作為時(shí)間的起點(diǎn)， （1）分別寫(xiě)出兩個(gè)物體的振動(dòng)方程； （2）它們的相位差為多少？分別畫(huà)出它們的x-t圖。 解 （1）由題可知，兩物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率為，若以B振子釋放的瞬時(shí)作為時(shí)間的起點(diǎn)，則B物體振動(dòng)的初相位是，振動(dòng)方程應(yīng)為 由于A物體先釋放0.5s時(shí)的時(shí)間，所以相位超前B物體，所以A物體振動(dòng)的初相位是，振動(dòng)方程應(yīng)為 （2）它們的相位差為 作A,B兩物體的振動(dòng)曲線如圖9.10所示。 9-14 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)方程分別為 試 用旋轉(zhuǎn)矢量求出合振動(dòng)方程。 解 作旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.11所示。 由平面幾何關(guān)系可知 合振動(dòng)的初相位是 所以合振動(dòng)的振動(dòng)方程為 9-15 有兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為0.2，合振動(dòng)的相位于第一個(gè)振動(dòng)的相位之差為，若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為0.173m，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅，第一、第二兩振動(dòng)的相位差。 解 做旋轉(zhuǎn)矢量如圖9.12所示。 由平面幾何關(guān)系可知 假設(shè)和的夾角為，則由平面幾何可知 把已知數(shù)代入解得， 9-16 質(zhì)量為0.4kg的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與互相垂直的兩個(gè)振動(dòng)： 式中x,y以m計(jì)，t以s計(jì)。 （1） 求運(yùn)動(dòng)軌跡方程； （2） 質(zhì)點(diǎn)在任一位置所受的力。 解 （1）由振動(dòng)方程消去時(shí)間因子得軌跡方程為 （2） 質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的加速度為 質(zhì)點(diǎn)在任一位置所受的力為 9-17 質(zhì)點(diǎn)參與兩個(gè)方向互相垂直的、同相位、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)； （1）證明質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)時(shí)簡(jiǎn)諧振動(dòng)； （2）求合振動(dòng)的振幅和頻率。 解 （1）根據(jù)題意，假設(shè)兩個(gè)分振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為 合成的軌跡是直線，在任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的距離為 所以質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 （3） 合振動(dòng)的振幅為，圓頻率為. 10