《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第10講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第10講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第10講　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 【課程要求】 1．理解對(duì)數(shù)的概念，掌握指數(shù)與對(duì)數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，會(huì)運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算． 2．掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用． 3．掌握以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)． 4．了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)的關(guān)系(a>0且a≠1)． 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p25 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞

2、)上是增函數(shù)．(　　) (3)函數(shù)y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．(　　) (4)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)且過點(diǎn)(a，1)，，函數(shù)圖象只在第一、四象限．(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．[必修1p68T4]log29·log34·log45·log52＝____________． [解析]原式＝2log23·log34·log45·log52＝2····＝2. [答案]2 3．[必修1p82A組T6]已知a＝2－，b＝log2，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為__________

3、__． [解析]∵01，∴c>a>b. [答案]c>a>b 4．[必修1p74A組T7]函數(shù)y＝的定義域是__________． [解析]由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1. ∴0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，則下列等式一定成立的是(　　) A．d＝acB．a(chǎn)＝cd C．c＝adD．d＝a＋c [解析]由log5b＝a知b＝5a，由lgb＝c知c＝lg5a＝alg5，由5d＝10知d＝log510＝＝，∴cd＝alg5·＝a，故選B. [答案]B

4、 6．已知a>0，a≠1，函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象可能是(　　) [解析]函數(shù)y＝loga(－x)的圖象與y＝logax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，符合條件的只有B. [答案]B 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．對(duì)數(shù) 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的__對(duì)數(shù)__，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對(duì)數(shù)式 性質(zhì) 對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?__x＝logaN__ loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝__N__ 運(yùn)算 法則 loga(M·N)＝__logaM＋logaN_

5、_ loga＝__logaM－logaN__ logaMn＝__nlogaM__(n∈R) a>0，且a≠1， M>0，N>0 換底 公式 換底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) y＝logax(a＞0，且a≠1) 圖象 a＞1 0＜a＜1 圖象 特征 在y軸__右側(cè)__，過定點(diǎn)(1，0) 當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象是__上升__的 當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象是__下降__的 性 質(zhì) 定義域 (0，＋∞) 值

6、域 R 單調(diào)性 在(0，＋∞)上是__增函數(shù)__ 在(0，＋∞)上是__減函數(shù)__ 函數(shù)值 變化 規(guī)律 當(dāng)x＝1時(shí)，__y＝0__ 當(dāng)x>1時(shí)，__y>0____；當(dāng)01時(shí)，__y<0__；當(dāng)00__ 3.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線__y＝x__對(duì)稱． 【知識(shí)拓展】 1．換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論 (1)logab＝； (2)logambn＝logab. 其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．對(duì)數(shù)函

7、數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較 如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0

8、中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48)(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1033B．1053 C．1073D．1093 [解析]由題意，lg＝lg＝lg3361－lg1080 ＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93， 故與最接近的是1093. 故選D. [答案]D [小結(jié)]對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路 (1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)

9、數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并． (2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算． 1．設(shè)2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于(　　) A.B．10C．20D．100 [解析]由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 則＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. 解得m＝. [答案]A 2．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(1))＋f的值是__________． [解析]因?yàn)閒(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 因?yàn)閘og3＜0， 所以f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3. 所

10、以f(f(1))＋f＝2＋3＝5. [答案]5 3．求值：2log3－log3－31＋log32＝________． [解析]2log3－log3－31＋log32 ＝2(log32－1)－(log34－3)－3log36 ＝2log32－2－2log32＋3－6 ＝－5. [答案]－5 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例2　(1)函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的圖象大致為(　　) [解析]由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．設(shè)g(x)＝loga|x|，先畫出x>0時(shí)，g(x)的圖象，然后根據(jù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱畫出x<0時(shí)g(

11、x)的圖象，最后由函數(shù)g(x)的圖象向上整體平移一個(gè)單位即得f(x)的圖象，結(jié)合圖象知選A. [答案]A (2)已知函數(shù)f(x)＝且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [解析]如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線在y軸上的截距．由圖可知，當(dāng)a>1時(shí)，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個(gè)交點(diǎn)． [答案] (1，＋∞) [小結(jié)](1)對(duì)一些可通過平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解． (2)一些對(duì)數(shù)型方程、不

12、等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解． 4．已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象交于點(diǎn)P(x0，y0)，如果x0≥2，那么a的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C．[8，＋∞) D．[16，＋∞) [解析]由已知中兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P(x0，y0)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，若x0≥2，則01且≥x0≥2，解得a≥16. [答案]D 5．當(dāng)0

13、，當(dāng)01時(shí)，不符合題意，舍去． 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是. [答案]B 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 例3　(1)設(shè)a＝log412，b＝log515，c＝log618，則(　　) A．a(chǎn)>b>cB．b>c>a C．a(chǎn)>c>bD．c>b>a [解析]a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63， ∵log43

14、>log53>log63，∴a>b>c. [答案]A (2)若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，4) B．(－4，4] C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4，4) [解析]由題意得x2－ax－3a>0在區(qū)間(－∞，－2]上恒成立且函數(shù)y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上單調(diào)遞減，則≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4，4)，故選D. [答案]D (3)若函數(shù)f(x)＝loga(a>0，a≠1)在區(qū)間內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　

15、) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D. [解析]令M＝x2＋x，當(dāng)x∈時(shí)，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函數(shù)y＝logaM為增函數(shù)，又M＝－， 因此M的單調(diào)遞增區(qū)間為. 又x2＋x>0，所以x>0或x<－， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)． [答案]A [小結(jié)](1)在解決與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時(shí)，要優(yōu)先考慮利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解．在利用單調(diào)性時(shí)，一定要明確底數(shù)a的取值對(duì)函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正的限制條件． (2)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用多用在復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性上，即求形如y＝logaf(x)的復(fù)

16、合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其一般步驟為：①求定義域，即滿足f(x)>0的x的取值集合；②將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y＝logau及u＝f(x)；③分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；④若這兩個(gè)函數(shù)同增或同減，則y＝logaf(x)為增函數(shù)，若一增一減，則y＝logaf(x)為減函數(shù)，即“同增異減”． 例4　已知函數(shù)f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，求函數(shù)h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果對(duì)任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． [解析] (1)h(x)＝(4－2log2x)·log2

17、x＝－2(log2x－1)2＋2， 因?yàn)閤∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]， 故函數(shù)h(x)的值域?yàn)閇0，2]． (2)由f(x2)·f()>k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x，因?yàn)閤∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t對(duì)一切t∈[0，2]恒成立， ①當(dāng)t＝0時(shí)，k∈R； ②當(dāng)t∈(0，2]時(shí)，k<恒成立，即k<4t＋－15， 因?yàn)?t＋≥12，當(dāng)且僅當(dāng)4t＝，即t＝時(shí)取等號(hào)， 所以4t＋－15的最小值為－3. 綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，－3)． [小結(jié)]1

18、.無(wú)論題型如何變化，都是圍繞對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，變換不同的角度來(lái)應(yīng)用．例3(1)是對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的直接應(yīng)用，利用單調(diào)性來(lái)比較大小、解不等式；例3(2)，(3)是對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的遷移應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性來(lái)求參數(shù)的范圍，所以弄清對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，并注意有時(shí)需對(duì)底數(shù)字母參數(shù)進(jìn)行討論． 2．與對(duì)數(shù)型函數(shù)有關(guān)的恒成立問題多與其定義域和值域有關(guān)．對(duì)于函數(shù)y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)，若定義域?yàn)镽，則f(x)＞0在R上恒成立；若值域?yàn)镽，則f(x)能取遍所有正實(shí)數(shù)． 6．若實(shí)數(shù)a，b，c滿足loga2

19、B．b0，a≠1)的定義域、值域都是[1，2]，則a＋b＝________．

20、[解析]當(dāng)01時(shí)，易知函數(shù)f(x)為增函數(shù)， 由題意有解得a＝2，b＝1，符合題意，此時(shí)a＋b＝3. 綜上可得：a＋b的值為或3. [答案]或3 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p27 (2019·全國(guó)卷Ⅱ理)若a>b，則(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．ln(a－b)>0B．3a<3b C．a(chǎn)3－b3>0D．|a|>|b| [解析]取a＝2，b＝1，滿足a>b，但ln(a－b)＝0，則A錯(cuò)，排除A； 由9＝32>31＝3，知B錯(cuò)，排除B； 取a＝1，b＝－2，滿足a>b，但|1|<|－2|，則D錯(cuò)，排除D； 因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x3是增函數(shù)，a>b，所以a3>b3，即a3－b3>0，C正確． 故選C. [答案]C 11