《（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.4 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題講義 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.4 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題講義 文（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、（通用版）2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.4 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題講義 文 [典例]　(1)(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(　　) A．[－2,2]　　　　 　　 　B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] (2)函數(shù)y＝f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是(　　) A．f(1)

2、x)． ∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1. 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3. (2)∵函數(shù)y＝f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)， ∴函數(shù)y＝f(x)在[2,4]上單調(diào)遞減，且在[0,4]上函數(shù)y＝f(x)滿足f(2－x)＝f(2＋x)， ∴f(1)＝f(3)，f

3、用奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性． (2)解決不等式問題時(shí)一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)

4、－x3 D．f(x)＝ln(x2＋3) 解析：選C　由條件①可知，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則可排除A、D選項(xiàng)，由條件②可知，f(x)為奇函數(shù)，則可排除B選項(xiàng)，故選C. 2．(2018·石家莊一模)設(shè)f(x)是定義在[－2b,3＋b]上的偶函數(shù)，且在[－2b,0]上為增函數(shù)，則f(x－1)≥f(3)的解集為(　　) A．[－3,3] B．[－2,4] C．[－1,5] D．[0,6] 解析：選B　因?yàn)閒(x)是定義在[－2b,3＋b]上的偶函數(shù)， 所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3， 由函數(shù)f(x)在[－6,0]上為增函數(shù)，得f(x)在(0,6]上為減函數(shù)，

5、故f(x－1)≥f(3)?f(|x－1|)≥f(3)?|x－1|≤3，故－2≤x≤4. [典例]　(2017·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－3,0]時(shí)，f(x)＝6－x，則f(919)＝________. [解析]　∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期為6， ∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)． 又f(x)為偶函數(shù)，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6. [答案]　6 [解題技法] 已知f(x)是周期函數(shù)且為偶函數(shù)，求函數(shù)值，常利用奇偶性及周期性進(jìn)

6、行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解． [題組訓(xùn)練] 1．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－f，且f(1)＝2，則f(2 018)＝________. 解析：因?yàn)閒(x)＝－f，所以f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)． 所以f(x)是以3為周期的周期函數(shù)． 則f(2 018)＝f(672×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：－2 2．已知f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)＝2a－3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析：∵f(

7、x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝2a－3<1，即a<2. 答案：(－∞，2) 考點(diǎn)三　函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 [典例]　(1)(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50　　　　　　　　 　B．0 C．2 D．50 (2)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f＝f(x)，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝log (1－x)，則f(x)在區(qū)間內(nèi)是(　　) A．減函數(shù)且f(x)>

8、0 B．減函數(shù)且f(x)<0 C．增函數(shù)且f(x)>0 D．增函數(shù)且f(x)<0 [解析]　(1)法一：∵f(x)是奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)． 由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)． 由f(x)為奇函數(shù)得f(0)＝0. 又∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1

9、)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50) ＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 法二：由題意可設(shè)f(x)＝2sin，作出f(x)的部分圖象如圖所示．由圖可知，f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2. (2)當(dāng)x∈時(shí)，由f(x)＝log (1－x)可知，f(x)單調(diào)遞增且f(x)>0，又函數(shù)

10、f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間上也單調(diào)遞增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函數(shù)的周期為，所以在區(qū)間上，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增且f(x)<0. [答案]　(1)C　(2)D [解題技法] (1)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性，知二斷一．特別注意“奇函數(shù)若在x＝0處有定義，則一定有f(0)＝0；偶函數(shù)一定有f(|x|)＝f(x)”在解題中的應(yīng)用． (2)解決周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的問題，通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，再利用奇偶性和單調(diào)性求解． [題組訓(xùn)練] 1．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是

11、(　　) A．0f(0)>f(1)， 即f(1)<0

12、當(dāng)x10恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函數(shù)．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(17)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是(　　) A．a(chǎn)

13、單調(diào)遞增，所以f(5)

14、 A．y＝cos x B．y＝x C．y＝ D．y＝ 解析：選D　函數(shù)y＝－2x為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減．函數(shù)y＝cos x是偶函數(shù)，且在R上不單調(diào)．函數(shù)y＝x是奇函數(shù)，但在R上單調(diào)遞增．函數(shù)y＝的定義域是{x|x≠0}，不是R.畫出函數(shù)y＝的大致圖象如圖所示，可知該函數(shù)是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減．故選D. 3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有f＋f(x)＝0，當(dāng)－≤x≤0時(shí)，f(x)＝2x＋a，則f(16)的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選A　由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)， ∴f(x)是以5為周期的周期函數(shù)， ∴f

15、(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)． ∵f(x)是R上的奇函數(shù)， ∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1. ∴當(dāng)－≤x≤0時(shí)，f(x)＝2x－1， ∴f(－1)＝2－1－1＝－， ∴f(1)＝，∴f(16)＝. 4．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且在區(qū)間[a，b](a

16、≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4， ∴－4≤f(x)≤3，即在區(qū)間[－b，－a]上，f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故選B. 5．(2018·惠州一調(diào))已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(1)＝2，則不等式f(log2x)>2的解集為(　　) A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞) C.∪(，＋∞) D．(，＋∞) 解析：選B　因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)， 所以f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)， 所以f(log2x)>2＝f(1)?f(|log2x|)>f(1)?|log2x|>1?log2x>1或log2x

17、<－1?x>2或0

18、，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則函數(shù)f(x)在[1,2]上的解析式是________________． 解析：令x∈[－1,0]，則－x∈[0,1]，結(jié)合題意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)， 令x∈[1,2]，則x－2∈[－1,0]，故f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)． 故函數(shù)f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)． 答案：f(x)＝log2(3－x) 9．已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且f＝0，則f(x)>0的解集為_______________． 解析：由奇函數(shù)y

19、＝f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且f＝0，可知函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增，且f＝0.由f(x)>0，可得x>或－

20、奇偶性； (2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的表達(dá)式． 解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)． 又f(x)的定義域?yàn)镽，∴f(x)是偶函數(shù)． (2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，－x∈[－1,0]，則f(x)＝f(－x)＝x； 從而當(dāng)1≤x≤2時(shí)，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. 故f(x)＝ 12．設(shè)函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求函數(shù)f(

21、x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x＋2)＝－f(x)， 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)． 故函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱． 又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖象如圖所示． 當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，設(shè)f(x

22、)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S， 則S＝4S△OAB＝4×＝4. B級(jí)——?jiǎng)?chuàng)高分自選 1．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則(　　) A．f(0)>f(log32)>f(－log23) B．f(log32)>f(0)>f(－log23) C．f(－log23)>f(log32)>f(0) D．f(－log23)>f(0)>f(log32) 解析：選C　∵log23>log22＝1＝log33>log32>0，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴f(log23)>f(log32)>f(0)，又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(log23

23、)＝f(－log23)， ∴f(－log23)>f(log32)>f(0)． 2．定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．現(xiàn)有以下三種敘述： ①8是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期； ②f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱； ③f(x)是偶函數(shù)． 其中正確的序號(hào)是________． 解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)， 則f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即4是f(x)的一個(gè)周期，8也是f(x)的一個(gè)周期，故①正確； 由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故②正確； 由f(4－x

24、)＝f(x)與f(x＋4)＝f(x)， 得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)， 即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故③正確． 答案：①②③ 3．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，對(duì)任意x1，x2∈，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)．　 (1)設(shè)f(1)＝2，求f，f； (2)證明：f(x)是周期函數(shù)． 解：(1)由f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，x1，x2∈，知f(x)＝f·f≥0，x∈[0,1]． ∵f(1)＝f＝f·f＝2，f(1)＝2， ∴f＝2. ∵f＝f＝f·f＝2，f＝2， ∴f＝2. (2)證明：依題設(shè)，y＝f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱， ∴f(x)＝f(2－x)． 又∵f(－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(2－x)，∴f(x)＝f(2＋x)， ∴f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期．