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大 學(xué) 物 理 學(xué) 習(xí) 題 解 答 陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)物理教學(xué)組 2006-5-8 說 明： 該習(xí)題解答與范中和主編的《大學(xué)物理學(xué)》各章習(xí)題完全對應(yīng)。每題基本上只給出了一種解答，可作為教師備課時的參考。 題解完成后尚未核對，難免有錯誤和疏漏之處。望使用者諒解。 編 者 2006-5-8 第2章 運動學(xué) 2－1 一質(zhì)點作直線運動，其運動方程為 , x以m計，t以s計。試求：（1）質(zhì)點從t = 0到t = 3 s時間內(nèi)的位移；（2）質(zhì)點在t = 0到t = 3 s時間內(nèi)所通過的路程 解 （1）t = 0時，x0 = 2 ；t =3時，x3 = －1；所以， （2）本題需注意在題設(shè)時間內(nèi)運動方向發(fā)生了變化。對x求極值，并令 可得t = 1s ,即質(zhì)點在t = 0到t = 1s內(nèi)沿x正向運動，然后反向運動。 分段計算 ， 路程為 2－2 已知質(zhì)點沿x軸作直線運動，其運動方程為。試求：（1）質(zhì)點在最初4s內(nèi)位移；（2）質(zhì)點在最初4s時間內(nèi)所通過的路程 解 （1）t = 0時，x0 = 2 ；t = 4時，x4 = －30 所以，質(zhì)點在最初4s內(nèi)位移的大小 （2）由 可求得在運動中質(zhì)點改變運動方向的時刻為 t1 = 2 s , t2 = 0 (舍去) 則 ， 所以，質(zhì)點在最初4 s時間間隔內(nèi)的路程為 2－3 在星際空間飛行的一枚火箭，當(dāng)它以恒定速率燃燒它的燃料時，其運動方程可表示為 ，其中是噴出氣流相對于火箭體的噴射速度， 是與燃燒速率成正比的一個常量。試求：（1）t = 0時刻，此火箭的速度和加速度；（2）t = 120 s時，此火箭的速度和加速度 解 ； （1）t = 0時， v = 0 ， （2）t = 120s時， v x l v0 h 2－4 如圖所示，湖中有一只小船，岸上有人用繩跨過定滑輪拉船靠岸。設(shè)滑輪距水面高度為h ，t = 0時，船與滑輪間的繩長為l0 。試求：當(dāng)人以勻速v0拉繩時，船在距岸邊x處的速度和加速度。 解 （1） 設(shè)任意時刻 t ，繩長為l，由題意；船到岸邊的水平距離為x ，則 小船的運動速度為 負號表示小船在水面上向岸靠近。 小船的運動速度為 負號表示加速度的方向指向岸邊，小船在水面上加速靠岸。 2－5 一升降機以加速度上升，當(dāng)上升速度為時，有一螺絲從升降機的天花板上松脫，天花板與升降機的底面相距2.74 m 。計算：（1）螺絲從升降機的天花板落到底面所需要的時間；（2）螺絲相對升降機外固定柱子的下降距離 . 解 （1）以地面為參考系，取Oy坐標(biāo)軸向上 ，升降機的運動方程為 螺絲的運動方程為 當(dāng)螺絲落至底面時，有 y1 = y2 ,即 所以 (2)螺絲相對升降機外固定柱子下降的距離為 2－6 已知一質(zhì)點的運動方程為 (SI)。試求：（1）質(zhì)點的運動軌跡；（2）t = 1s和t = 2 s時刻，質(zhì)點的位置矢量；（3）1s末和2 s末質(zhì)點的速度；（4）質(zhì)點的加速度。 解 （1）質(zhì)點在x 、y方向運動方程的分量形式為 x = 2t ， y = 2－t 2 消去時間t , 可得 其運動軌跡為一拋物線 （2）時 ；時 （3）質(zhì)點運動的速度 v 時 v1 即 ，（q1為v1與x 軸的夾角） 時 v2 即 ，（q2為v2與x 軸的夾角） （4）質(zhì)點運動的加速度 2－7 一質(zhì)點在Oxy平面上運動，其運動方程為 試求：（1）質(zhì)點的軌跡方程；（2）質(zhì)點的速度、加速度。 解 （1） 質(zhì)點運動方程的分量式為， 消去時間參數(shù)t，可得運動的軌跡方程 （2）速度 v 加速度 2－8 一質(zhì)點在Oxy平面上運動，其運動方程為 試求質(zhì)點在5s時的速度和加速度 。 解 速度 v 加速度 t = 5 s時的速度為 加速度 2－9 一質(zhì)點從坐標(biāo)原點開始沿拋物線 y = 0.5 x2 運動，它在Ox軸上分速度為一恒量，試求：（1）質(zhì)點的運動方程；（2）質(zhì)點位于x = 2 m處的速度和加速度 。 解 （1）因為常數(shù)，故ax = 0 。當(dāng)t = 0時，x = 0 ，可得質(zhì)點在x方向的運動方程為 又由質(zhì)點的拋物線方程，有 所以 （2）任意時刻 ； 由和x = 2，可得 t = 0.5 s 所以，當(dāng)質(zhì)點位于x = 2.0 m時，其速度 ，加速度 2－10 一汽艇以速率沿直線行駛。發(fā)動機關(guān)閉后，汽艇因受到阻力而具有與速度v 成正比且方向相反的加速度，其中k為常數(shù)。試求發(fā)動機關(guān)閉后，（1）任意時刻t汽艇的速度；（2）汽艇能滑行的距離。 解 本題注意根據(jù)已知條件在計算過程中進行適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q。 （1）由 ， 得 （2）因為 ， 所以 發(fā)動機關(guān)閉后汽艇能滑行的距離為 2－11 一物體沿x軸作直線運動，其加速度為，k是常數(shù)。在t = 0時，，。試求（1）速率隨坐標(biāo)變化的規(guī)律；（2）坐標(biāo)和速率隨時間變化的規(guī)律。 解 本題注意變量變換。 （1）因為 ； 所以 （2）因為 ， 可得 又因為 ， 所以 2－12 一質(zhì)點沿 x 軸作直線運動，其速度大小，（SI制）。質(zhì)點的初始位置在 x 軸正方向10 m處，試求：（1）時，質(zhì)點的加速度；（2）質(zhì)點的運動方程； （3）第二秒內(nèi)的平均速度。 解 根據(jù)題意可知，時， ， （1）質(zhì)點的加速度 時， （2） 由 兩邊積分 因此，質(zhì)點的運動方程為 （3）第二秒內(nèi)的平均速度為 2－13 質(zhì)點作圓周運動，軌道半徑r = 0.2 m，以角量表示的運動方程為 （SI）。試求：（1）第3s末的角速度和角加速度；（2）第3s 末的切向加速度和法向加速度的大小。 解 （1）因為 故 ， 以t = 3s代入， ， （2） ， 2－14 一質(zhì)點在半徑為r = 0.10m的圓周上運動，其角位置為。（1）在 t = 2.0s時，質(zhì)點的法向加速度和切向加速度各為多少？（2）t為多少時，法向加速度和切向加速度的量值相等？ 解 (1)由于，則 ， 法向加速度 切向加速度 t = 2.0s時，， （2）要使,則有 所以 t = 0.55 s 2－15 一汽車發(fā)動機曲軸的轉(zhuǎn)速，在12 s內(nèi)由20 r/s均勻地增加到45 r/s 。試求： （1）發(fā)動機曲軸轉(zhuǎn)動的角加速度； （2）在這段時間內(nèi)，曲軸轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。 解 （1）由于角速度（n為單位時間內(nèi)的轉(zhuǎn)數(shù)），根據(jù)角加速度的定義，在勻速轉(zhuǎn)動中角加速度為 （2）發(fā)動機曲軸轉(zhuǎn)過的角度為 在12 s內(nèi)曲軸轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為 圈 2－16 某種電機啟動后轉(zhuǎn)速隨時間變化的關(guān)系為，式中。求：（1) t = 6 s時的轉(zhuǎn)速；(2) 角加速度隨時間變化的規(guī)律；(3) 啟動后6 s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。 解 (1)根據(jù)題意，將t = 6 s代入，即得 （2）角加速度隨時間變化的規(guī)律為 （3）t = 6 s時轉(zhuǎn)過的角度為 則t = 6 s時電動機轉(zhuǎn)過的圈數(shù) 圈 2－17 半徑為r = 0.50m的飛輪在啟動時的短時間內(nèi)，其角速度與時間的平方成正比，在t = 2 s時，測得輪緣上一點的速度值為。求：（1）該輪在t′ = 0.5s的角速度，輪緣上一點的切向加速度和總加速度；（2）該點在2s內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度。 解 由題意 ，因ωR = v ,可得比例系數(shù) 所以 (1) 則t′= 0.5s時，角速度為 角加速度 切向加速度 總加速度 (2) 在2 s內(nèi)該點所轉(zhuǎn)過的角度 2－18 一質(zhì)點在水平面內(nèi)以順時針方向沿半徑為2 m 的圓形軌道運動。已知質(zhì)點的角速度與時間的平方成正比，即（SI制）。式中k為常數(shù)。已知質(zhì)點在第2 s末的速度為32 m /s 。試求t = 0.5 s時質(zhì)點的速度和加速度。 解 首先確定常數(shù)k 。已知t = 2 s時，v = 32 m/s , 則有 故 ，， 當(dāng)t ＝ 0.5 s ， ， ， 2－19 由山頂上以初速度v0水平拋出一小球，若取山頂為坐標(biāo)原點，沿v0方向為x 軸正方向，豎直向下為 y 軸正方向，從小球拋出瞬間開始計時。試求：（1）小球的軌跡方程；（2）在t 時刻，小球的切向加速度和法向加速度。 解 （1）小球在x軸作勻速直線運動 ， y軸上作自由落體 上述兩方程聯(lián)立消t，可得小球的軌跡方程 （2） ， t時刻，小球的速率 t時刻，小球的切向加速度 因為 ，所以，法向加速度 2－20 已知聲音在空氣中傳播的速率為344 m/s 。當(dāng)正西方向的風(fēng)速為30 m/s時，聲音相對于地面向東、向西和向北傳播的速率各是多大？ 解 ， 向東傳播的聲音的速率 向西傳播的聲音的速率 向北傳播的聲音的速率 2－21 一架飛機從A處向東飛到B處，然后又向西飛回到A處。 已知A、B間的距離為l，空氣相對地面的速率為u，飛機相對空氣的速率v ’ 保持不變。試證： （1）假定空氣是靜止的（即u＝0），飛機往返飛行時間為； （2）假定空氣的速度方向向東，飛機往返飛行時間為； （3）假定空氣的速度方向向北，飛機往返飛行的時間為。 試證：由速度關(guān)系 v = u + v （1）u＝0時，飛機往返飛行時間為 （2）空氣相對地面的速度為u向東，從A B 所需時間為 從B A 所需時間為 所以，飛機往返飛行時間為 （3）空氣相對地面的速度為u向北，如圖2－21所示， v v u ( a ) A v v u ( b ) B 習(xí)題 2－21 從A B，飛機相對地面的速度為；從B A飛機相對地面的速度的大小與從A B等值，但方向相反。所以，飛機往返飛行的時間為 第3章 牛頓定律及其內(nèi)在隨機性 3-1 一木塊能在與水平面成q 角的斜面上勻速下滑。若使它以速率v0沿此斜面向上滑動，試證明它能沿該斜面向上滑動的距離為 v02/（4gsinθ）。 上滑 f mg N 下滑 f mg N 解 選定木塊為研究對象，取沿斜面向上為x軸正向， 下滑 （1） 上滑 （2） 由式（2）知，加速度為一常量，有 （3） 解上述方程組，可得木塊能上滑的距離 3-2 在一水平直路上，一輛車速的汽車的剎車距離為s = 35 m 。如果路面相同，只是有1:10的下降斜度，這輛汽車的剎車距離將變?yōu)槎嗌伲? 解： 在水平路上為定值，則 ，而 所以 設(shè)斜面夾角為a，剎車距離為，加速度為，則 所以 代入已知數(shù)值，注意sina = 0.1 ,可得 3-3 如圖所示，質(zhì)量m = 0.50kg的小球掛在傾角的光滑斜面上。 mg N T （1）當(dāng)斜面以加速度a = 2.0m/s2水平向右運動時，繩中的張力及小球?qū)π泵娴恼龎毫Ω魇嵌啻?？?）當(dāng)斜面的加速度至少為多大時，小球?qū)⒚撾x斜面？ 解：(1)對小球 x向： y向： 可得 小球?qū)π泵娴膲毫? （2）小球剛要脫離斜面時N = 0，則 ， 由此二式可解得 3-4 在水平面上一輛汽車以速率v行駛，當(dāng)汽車與前面一堵墻相距為d時，司機才發(fā)現(xiàn)自己必須制動或拐彎。設(shè)車輛與地面之間的靜摩擦系數(shù)為ms .問若司機制動停車（不拐彎），他需要的最小距離d1為多大？若他不制動而作90o拐彎（作圓弧形行駛），他需要的最小距離d2又有多大？哪種辦法最安全？ 解：汽車制動時，受到摩擦力作用，作勻減速直線運動，在拐彎情況下，汽車作圓周運動，摩擦力提供向心力。通過求出兩種情況下汽車制動的距離，比較可以知道第一種方法更安全。 設(shè)汽車質(zhì)量為m加速度為a，則在制動時有 ， 所以 若不制動而拐彎，則有 所以 由于d1< d2 可知制動安全。 3-5 月球的質(zhì)量是地球的，月球的半徑為地球半徑的 。不計自轉(zhuǎn)的影響，試計算地球上體重600N的人在月球上時體重多大？ 解： 因為地球上人體重為 所以月球上體重為 3-6 一枚質(zhì)量為3.03103kg的火箭，放在與地面成58.0傾角的發(fā)射架上，點火后發(fā)動機以恒力61.2 kN作用于火箭，火箭軌跡始終與地面成 58.0的夾角。飛行48.0s后關(guān)閉發(fā)動機，計算此時火箭的高度及距發(fā)射點的距離（忽略燃料質(zhì)量和空氣阻力）。 解 同理 火箭距發(fā)射點O的距離為 f N m 3-7 在光滑水平面上固定了一個半徑為R的圓環(huán)，一個質(zhì)量為m的物體A以初速度為v0靠圓環(huán)內(nèi)壁作圓周運動，物體與環(huán)壁的摩擦系數(shù)為m，試求物體A任意時刻的速率v？ 解：選取自然坐標(biāo), 切向 法向，而 ，所以 由上式得 則 3-8 光滑的水平桌面上放置一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運動，其摩擦因數(shù)為m 。開始時物體的速率為v0 ,求：（1）t時刻物體的速率；（2）當(dāng)物體速率從v0減少到時，物體所經(jīng)歷的時間及經(jīng)過的路程。 解： (1)取自然坐標(biāo)，有 ， 摩擦力的大小，由上述各式可得 取初始條件t = 0時v = v 0 , 并對上式積分 所以 （2）當(dāng)物體的速率從v 0減少到時，由上式可得 物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程 3-9 一質(zhì)量為10kg的質(zhì)點在力（F的單位為N，t的單位為s）的作用下，沿x軸作直線運動。在t = 0時，質(zhì)點位于x = 5.0m處，其速度。求質(zhì)點在任意時刻的速度和位置。 解：由題意 依據(jù)初始條件，t0 = 0時，積分 所以 又因v = d x/d t,并由初始條件：t0 = 0時x 0=5.0m，積分 所以 3-10 質(zhì)量為m的質(zhì)點在外力F 的作用下沿x 軸運動，已知t = 0時質(zhì)點應(yīng)位于原點，且初始速度為零，力F 隨距離線性地減小，x = 0時，F(xiàn) = F0 ; x = L, F = 0.試求質(zhì)點在;x = L處的速率。 解： 由題意，力F與x的關(guān)系為 由牛頓第二定律 ，而 則 積分 所以 3-11 輕型飛機連同駕駛員總質(zhì)量為1.0103kg 。飛機以的速率在水平跑道上著陸后，駕駛員開始制動，若阻力與時間成正比，比例系數(shù) ，求：（1）10s后飛機的速率；（2）飛機著陸后10s內(nèi)滑行的距離 。 解： 以地面飛機滑行方向為坐標(biāo)正方向，有 得 t =10s時， 又 故飛機著陸后10s內(nèi)所滑行的距離 3-12 一物體自地球表面以速率v0豎直上拋。假定空氣對物體阻力的值為f ＝kmv2，其中 m為物體的質(zhì)量，k為常量。試求：（1）該物體能上升的高度；（2）物體返回地面時速度的值（設(shè)重力加速度為常量）。 上拋 mg f mg f 下落 解 以地面為原點，y軸豎直向上 （1）上拋 ； 積分 ； 故有 （2）下落 積分 則 習(xí)題3－12圖 3-13如圖所示，電梯相對地面以加速度a豎直向上運動，電梯中有一滑輪固定在電梯頂部，滑輪兩側(cè)用輕繩懸掛著質(zhì)量分別為m1和m2的物體A和B，且ml＞m2。設(shè)滑輪的質(zhì)量和滑輪與繩索間的摩擦均略去不計，如以電梯為參考系，求物體相對地面的加速度和繩的張力。 解 取坐標(biāo) y 向下，設(shè)為物體相對電梯的加速度，有 ，由上述各式可得 繩的張力 物體A對地面的加速度 B對地面的加速度為 第4章 動量守恒與能量守恒 4－1 一粒子彈在槍膛中所受的合力為 ；式中F和t的單位分別為m和s，假設(shè)子彈出槍口時所示合力為零，此時子彈的速度為。試求：（1）子彈在槍膛中經(jīng)歷的時間；（2）子彈在槍膛中所受的沖量；（3）子彈的質(zhì)量。 解 （1）由題意 ；所以 （2）子彈在槍膛中所受的沖量 （3）由動量定理，可得子彈的質(zhì)量 x mv1 mv2 I a 習(xí)題4－2 用圖 4－2 一個質(zhì)量為m = 0.14 kg的壘球沿水平方向以的速率投來，經(jīng)棒打擊后，沿與水平方向成的方向向回飛出，速率變?yōu)?。?）求棒給球的沖量的大小與方向。（2）如果球與棒接觸的時間為，求棒對球的平均沖力的大小。它是壘球本身重量的幾倍？ 解 （1）如圖所示，設(shè)壘球飛來方向為x軸方向，棒對球的沖量大小為 與壘球投來方向的夾角q 為 （2）棒對球的平均沖力 此力為壘球本身重量的 = 616倍 4－3 自動步槍連發(fā)時每分鐘射出120發(fā)子彈，每發(fā)子彈的質(zhì)量為m =7.910－3 kg，子彈出槍口的速率為735 m / s 。子彈射出時，槍托每分鐘對肩部的平均壓力為多少？ 解 以分鐘計，槍對子彈的平均推力為 由牛頓第三定律可知，槍托對肩的壓力等于11.6 N 。 4－4 高空作業(yè)時系安全帶是非常必要的。假如一個質(zhì)量為50 kg的雜技演員，在走鋼絲練習(xí)時不慎從高空豎直跌落下來，由于安全帶的保護，最終使他被懸掛起來。已知安全帶的長度為5 m ，安全帶彈性緩沖作用時間約為0.5 s。若取重力加速度，則安全帶對雜技演員的平均作用力為多少？ 解 以雜技演員為研究對象，人跌至5 m處時的速率為 在緩沖過程中，根據(jù)動量定理，有 可得 4－5 以炮彈以速率v0沿傾角q 的方向發(fā)射出去后，在軌道的最高點爆炸為相等的兩塊，一塊沿仰角上飛，一塊沿的俯角下沖，求剛爆炸后這兩塊碎片的速率各為多少？ 習(xí)題4－25 用圖 v2 y x v0cosq v1 450 450 解 如題圖所示，炮彈炸裂前速率為，沿水平方向，炸裂后兩塊分別以v1和v2飛行。忽略爆炸過程中重力的作用，炮彈及碎塊的動量守恒。于是有 水平方向： 豎直方向： 聯(lián)立解此二式，可得 習(xí)題4－6 用圖 O v0 y x v1 x1 h x2 v2 4－6 一作斜拋運動的物體，在最高點炸裂為質(zhì)量相等的兩塊，最高點距離地面為19.6 m。爆炸1.00 s后，第一塊落到爆炸點正下方的地面上，此處距拋出點的水平距離為。問第二塊落在距拋出點多遠的地面上。（設(shè)空氣的阻力不計） 解 取如圖示坐標(biāo)，爆炸前，物體在最高點A的速度的水平分量 物體爆炸后，第一塊碎片豎直落下 碎片落地時，有y1 = 0 , t = t1 ,則由上式得 根據(jù)動量守恒定律，在最高點處有 ，， 可解得爆炸后第二塊碎片拋出時的速度分量分別為 ， 爆炸后，第二塊碎片作斜拋運動，其運動方程為， 落地時，y2 = 0 ，可解得第二塊碎片落地點的水平位置 4－7 一載人小船靜止于湖面上，小船質(zhì)量為100kg，船頭到船尾共長3.6 m，人的質(zhì)量為50 kg ,試問當(dāng)人從船尾走到船頭時，船將移動多少距離？假定水的阻力不計。 解 假定船的質(zhì)量為M，速度為v，人的質(zhì)量為m，相對于船的速度為u，其方向與v的方向相反。選x軸沿v的方向，由該方向動量守恒有 上式各項乘時間t得 。 設(shè)t時間內(nèi)船走的路程為S，人相對于船走過的路程為，則有，故 4－8 A、B兩球在光滑水平面上運動，已知A球的質(zhì)量為、速度為，B球的質(zhì)量為、速度為 。兩球碰撞后合為一體，求碰撞后的速度。 解 以v表示碰撞后的速度。由動量守恒定律 所以 α 習(xí)題4－9 用圖 ? ? O v0 v y x Dx 4－9 質(zhì)量為M的人手里拿著一個質(zhì)量為m的物體，此人用與水平面成a 角的速率v0向前跳去 .當(dāng)他達到最高點時，他將物體以相對于人為u的水平速率向后拋出 .問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點） 解 取如圖所示坐標(biāo).把人與物視為一系統(tǒng)，當(dāng)人跳躍到最高點處，在向左拋物的過程中，滿足動量守恒，有 式中v為人拋物后相對地面的水平速率，v－u為拋出物對地面的水平速率。得 人的水平速率的增量為 而人從最高點到地面的運動時間為 所以，人跳躍后增加的距離 4－10 一人從10 m深的井中提水，起始時，桶及桶中水的總質(zhì)量為10 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.20 kg的水 .水桶被勻速地從井中提到井口，求人所做的功。 解 水桶在勻速上提過程中，a = 0，拉力與水桶重力平衡，有 取坐標(biāo)y豎直向上，水桶位于y處時，拉力 人對水桶的拉力的功為 4－11 長度為2 m的細繩的一端系在天花板上，另一端系一質(zhì)量為0.20 kg的小球。現(xiàn)把小球移至使細繩與豎直方向成角的位置，然后從靜止釋放。試求：（1）在繩索從轉(zhuǎn)到角的過程中，重力和張力所做的功；（2）物體在最低位置時的動能和速率；（3）在最低位置時繩的張力。 解 如圖所示，重力的功l 習(xí)題4－11 用圖 mg T q O 張力的功 （2）在最低位置時的動能為 小球在最低位置的速率為 （3）當(dāng)小球在最低位置時，由牛頓定律可得 ； 4－12 最初處于靜止的質(zhì)點受到外力的作用，該力的沖量為，在同一時間間隔內(nèi)，該力所做的功為2 J, 問該質(zhì)點的質(zhì)量為多少？ 解 由題意， ， ，根據(jù)動量定理，有 由動能定理，有 所以 4－13 一質(zhì)量為m 的質(zhì)點，系在細繩的一端，繩的另一端固定在平面上。此質(zhì)點在粗糙水平面上作半徑為r的圓周運動。設(shè)質(zhì)點的最初速率是v0。當(dāng)它運動一周時，其速率為v0/2。求：（1）摩擦力做的功；（2）動摩擦因數(shù)；（3）在靜止以前質(zhì)點運動了多少圈？ 解（1）摩擦力做功為 （2）由于，故有 可得動摩擦因數(shù)為 （3）一周中損失的動能為 ，則在靜止前可運行的圈數(shù)為 圈 4－14 用鐵錘把釘子敲入墻面木版。設(shè)木版對釘子的阻力與釘子進入木版的深度成正比。若第一次敲擊，能把釘子釘入木板 。第二次敲擊時，保持第一次敲擊釘子的速度不變，那么第二次能把釘子釘入多深？ x 習(xí)題4－14 用圖 x1 O F = kx x2 解 F = kx（k為常數(shù)），由動能定理 ， 按題意， ，即 可得 4－15 質(zhì)量為3 kg的質(zhì)點在力F作用下沿直線運動，已知質(zhì)點的運動方程為；x和t的單位分別為m和s 。試求：（1）在最初4 s內(nèi)作用力F所做的功；（2） t = 1s時，力F對質(zhì)點所做功的瞬時功率。 解 （1）由 得 時，，時， 由動能定理 （2）由 得 時，，則 時，，所以 4－16 質(zhì)量為1kg 的物體，以初速度從高度240 m處自由落下，并陷入沙坑中，陷入的深度為 0.2 m ，不計空氣阻力，求沙對物體的平均阻力。 解 物體下落h距離 陷入沙坑深度S 所以 代入數(shù)值得 f = 1.2104 N 4－17 勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直懸掛，彈簧下端掛一物體，平衡時彈簧已有一伸長。若以物體的平衡位置為豎直y軸的原點，取物體的平衡位置作為彈性勢能和重力勢能的零點。試證：當(dāng)物體的位置坐標(biāo)為y時，彈性勢能和重力勢能之和為。 證 設(shè)在平衡時彈簧已被拉長，則 當(dāng)物體再下降距離y時，彈性勢能為 以平衡位置為重力勢能零點，則此時重力勢能為 此時彈性勢能和重力勢能的和為 4－18 有一種說法認為地球上的一次災(zāi)難性物種（如恐龍）絕滅是由于6500萬年前一顆大的小行星撞入地球引起的。設(shè)小行星的半徑是10km，密度為6.0103 kg/ m3（和地球的一樣）它撞入地球?qū)⑨尫哦嗌僖菽?？這能量是唐山地震估計能量的多少倍？（1976年，,唐山地震釋放的能量約為1018J。） 解 小行星落到地面上所釋放的引力勢能為 由于小行星運行軌道半徑比地球半徑大的多，所以有 此能量約是唐山地震釋放能量（約1018J）的106倍。 4－19 兩顆中子星質(zhì)量都是1030 kg ，相距1010 m 。如果它們最初都是靜止的。 （1）當(dāng)它們的距離減小到一半時，它們的速度各是多大？ （2）當(dāng)它們就要碰到時，它們的速度又將各是多大？ 解 （1）由機械能守恒可得，對兩中子星的距離r減小到一半的過程，有 由此得 （2）同理，要碰上的過程，有 由此得 = 4.1107 m / s q 習(xí)題4－20圖 R m 4－20 如題圖所示，有一半徑為R的半球形光滑面，有一物塊從半球形光滑面的最高點由靜止沿球面滑下，若摩擦力略去不計。求此物塊離開半球面的位置以及物塊在該位置的速度。 解 系統(tǒng)機械能守恒 物塊沿法向 物塊脫離球面時，支持力T= 0，所以 物塊此時的速率為 v的方向與重力P方向的夾角為 4－21 一質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星沿一圓形軌道運動，離開地面的高度等于地球半徑的2倍（即2R）。試以m、R ，引入恒量G ，地球質(zhì)量M表示出：（1）衛(wèi)星的動能；（2）衛(wèi)星在地球引力場中的引力勢能；（3）衛(wèi)星的總機械能。 解 （1）對衛(wèi)星用牛頓第二定律 由此式可得衛(wèi)星的動能為 （2）引力勢能為 （3）衛(wèi)星的總機械能為 4－22 一輕彈簧的原長為，勁度系數(shù)為k，上端固定，下端懸掛一質(zhì)量為m的物體，先用手托住，使彈簧保持原長。然后突然將物體釋放，物體達最低位置時彈簧的最大伸長量和彈性力是多少？物體經(jīng)過平衡位置時的速率為多少？ 解 以v表示物體再落下一段距離y時的速度，則機械能守恒定律給出 物體達到最低位置時，，上式給出 此時彈力為最大值 物體經(jīng)過平衡位置時，應(yīng)有 由以上各式得 由此得物體的速度為 4－23 質(zhì)量m1的彈丸A ，穿過如題圖所示的擺錘B后，速率由v減少到v/2 。已知擺錘的質(zhì)量為m2，擺線長度為l ，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個完全的圓周運動 ，v的最小值應(yīng)為多少？ 解 碰撞 m2 習(xí)題4－23 用圖 O l m1 v B A 擺錘達最高點（v3為擺錘在最高點的速率） 擺錘從最低點到最高點 所以 4－24 如題圖所示，有一自動卸貨礦車，滿載時的質(zhì)量為M ，從與水平成傾角a ＝ 30o斜面上的點B由靜止下滑。設(shè)斜面對車的阻力為車重的0.25倍，礦車下滑距離l時，與緩沖彈簧一道沿斜面運動。當(dāng)?shù)V車使彈簧產(chǎn)生最大壓縮形變時，礦車自動卸貨，然后礦車借助彈簧的彈性力作用，使之返回原位置B再裝貨。試問要完成這一過程，空載時與滿載時車的質(zhì)量之比應(yīng)為多大？ M B 習(xí)題4－24 用圖 α l 解 設(shè)彈簧被壓縮的最大距離為x，礦車在下滑和上行的全過程中，摩擦力所做的功為 式中M和m分別為礦車滿載和空載時的質(zhì)量。 根據(jù)功能原理，在礦車運動的全過程中，摩擦力所做的功應(yīng)等于系統(tǒng)機械能增量的負值，故有 由于礦車返回原位時速度為零，故DEk = 0 ；而,故有 可解得 m1 m2 v 習(xí)題4－25 用圖 4－25 如圖所示，質(zhì)量為m1的鋼球以速率為v射向質(zhì)量為m2 的靶，靶中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為k的彈簧，此靶最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，但可在水平面上作無摩擦滑動。求子彈射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離 . 解 設(shè)彈簧的最大壓縮量為x0 。小球與靶共同運動的速率為v1 。 由機械能守恒定律，有 所以 4－26 質(zhì)量為，速率為的粒子A與另一個質(zhì)量為其一半而靜止的粒子B發(fā)生二維完全彈性碰撞，碰撞后粒子A的速率為。求：（1）粒子B的速率及相對粒子A原來速度方向的偏角；（2）粒子A 的偏轉(zhuǎn)角。 習(xí)題4－26 用圖 y x vA a vA vB b 解 取如題圖所示的坐標(biāo)，在碰撞前后系統(tǒng)動量守恒定律，有 又由機械能守恒定律，有 碰撞后B粒子的速率為 各粒子相對原粒子方向的偏角分別為 m α 習(xí)題4－27 用圖 ?? A h v0 M 4－27 如圖所示，一質(zhì)量為M的物塊放置在斜面的最低端A處，斜面的傾角為a ，高度為h ，物塊與斜面的動摩擦因數(shù)為 m ，今有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0沿水平方向射入物塊并留在其中，且使物塊沿斜面向上滑動。求物塊滑出頂端時的速度大小 . 解 子彈與物塊撞擊過程，在沿斜面的方向上，根據(jù)動量守恒有 在物塊上滑的過程中，物塊剛滑出斜面頂端時的速度為v2 ,并取A點的重力勢能為零。由系統(tǒng)的功能原理可得 所以 第5章 角動量守恒定律及剛體的轉(zhuǎn)動 5-1 質(zhì)點在有心力作用下沿光滑水平面上的圓周運動，當(dāng)圓的半徑為r0時，質(zhì)點的速率為v0 。若在有心力作用下使圓半徑逐漸減小。試求圓半徑減小到r 時，質(zhì)點的速率v 是多少？ 解 在有心力作用下，質(zhì)點的角動量守恒 由此可得 5-2 哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓。彗星離太陽最近的距離是，近日點時它的速率是。彗星離太陽最遠的距離，遠日點時彗星的速率是多少？ 解 彗星運行受的引力指向太陽，所以它對太陽的角動量守恒 由此得 4-3 若將月球軌道看作是圓，其轉(zhuǎn)動周期按27.3d計算。試求月球?qū)Φ厍蛑行牡慕莿恿考奥用嫠俣取? 解 月球?qū)Φ厍蛑行牡慕莿恿繛? =2.861034 kg m2 / s 月球?qū)Φ匦牡穆用嫠俣? 5-4 1988年12月，我國發(fā)射的通信衛(wèi)星在到達同步軌道之前，先要在一個大的橢圓形“轉(zhuǎn)移軌道”上運行若干圈。此轉(zhuǎn)移軌道的近地點高度為h1 = 205.5 km，遠地點高度為h2 = 35835.7 km ，衛(wèi)星越過近地點時的速率為v1 = 10.2 km / s 。已知地球半徑為。（1）求衛(wèi)星越過遠地點時的速率v2 ；（2）求衛(wèi)星在此軌道上運行的周期； （提示：橢圓面積公式）。 解 （1）由衛(wèi)星對地心的角動量守恒 可得衛(wèi)星越過遠地點時的速率為 = 1.59 k m / s （2）橢圓面積 掠面速度 衛(wèi)星的運行周期 5-5（1）設(shè)氫原子中電子在圓形軌道上以速率v繞質(zhì)子運動。作用在電子上的向心力大小為（庫侖力），其中e為電子的電量，r為軌道半徑，為恒量（真空中電熔率）。試證明軌道半徑為 （2）假設(shè)電子繞核的角動量為h/2p的整數(shù)倍，其中h為普朗克常量。試證明電子的可能軌道半徑由下式確定： （3）是由以上兩式消去v，從而證明符合這兩個要求的軌道半徑必須滿足以下關(guān)系式： 證 （1）電子繞質(zhì)子作圓周運動的向心力是，有 則電子的軌道半徑為 （2）根據(jù)題意，即，有 則電子可能的軌道半徑為 （3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)果消去v ，得 5-6 質(zhì)量m = 5 kg的質(zhì)點在xoy平面上運動，作用在質(zhì)點上的力為 （力的單位為N ，時間的單位為s ），已知t = 0 時，質(zhì)點靜止于坐標(biāo)原點處。試求：2秒末（1）該質(zhì)點的動量；（2）作用力F對原點的力矩；（3）該質(zhì)點對原點的角動量。 解（1） 由得 兩邊積分得： 當(dāng)時 ， （2）由得 兩邊積分得： 當(dāng)時 ， （3）由質(zhì)點角動量定義得： F l1 l2 f N N 5-7 飛輪的質(zhì)量為60 kg，直徑為0.50 m，轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，現(xiàn)要求在5.0 s內(nèi)使其制動，求制動力F，假定閘瓦與飛輪之間的摩擦因數(shù)= 0.40，飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。 解 如圖所示。根據(jù)閘桿的力矩平衡，有 而，則閘瓦作用于輪的摩擦力矩為 （1） 摩擦力矩是恒力矩，飛輪作勻角加速轉(zhuǎn)動，有 （2） 飛輪繞軸的轉(zhuǎn)動慣量，根據(jù)轉(zhuǎn)動定理，由式（1）、（2）可得制動力 5-8 一燃氣輪機在試車時，燃氣作用在渦輪上的力矩為2.03103 N.m，渦輪的轉(zhuǎn)動慣量為25.0 kg?m2。當(dāng)輪的軸速由2.80103 r/min 增大到1.12104 r/min時，所經(jīng)歷的時間t為多少？ 解：在勻變速轉(zhuǎn)動中 （1） 由轉(zhuǎn)動定理有： （2） 由式（1）、（2）得 =10.8 s 5-9 用落體觀察法測定飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，如圖所示使質(zhì)量為m的重物由靜止開始下落，帶動飛輪轉(zhuǎn)動。記錄重物下落的距離和時間，便可計算出飛輪的轉(zhuǎn)動慣量。試寫出它的計算式（軸承進摩擦忽略不計）。 B mg T T 解 對滑輪，根據(jù)轉(zhuǎn)動定理，有 對重物，由牛頓定律，有 由于 重物勻加速下落，則有 由上述各式可解得 5-10 半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，求通過圓盤邊緣且與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。 解 根據(jù)平行軸定理和繞圓盤中心軸O的轉(zhuǎn)動慣量可得 x O O O1 O1 R x 5-11 試證明質(zhì)量為m，半徑為R的勻質(zhì)球體，以直徑為軸的轉(zhuǎn)動關(guān)量為，如以和球體相切的線為軸，其轉(zhuǎn)動慣量又為多少？ 證 在垂直于轉(zhuǎn)軸方向取小圓盤為微元，微元盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量 式中，則 又由平行軸定理可得 5-12 質(zhì)量面密度為的勻質(zhì)矩形板，試證通過與板面垂直的幾何中心軸線的轉(zhuǎn)動慣量為，其中a為矩形板的長，b為它的寬。 證 取矩形板的幾何中心為坐標(biāo)原點，在板上取一質(zhì)元，它對與板面垂直的，通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為 整個矩形板對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為 5-13 質(zhì)量為m，內(nèi)外半徑分別為R1和R2（R1 < R2）的、長為L的勻質(zhì)圓筒。試求該圓筒對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。 解：以為軸、r為半徑取厚度為的薄圓筒，其體積，質(zhì)量圓柱體的體密度為 5-14 如題圖所示的系統(tǒng)，滑輪C可視為半徑為R = 0.01 m、質(zhì)量為mC = 15kg的勻質(zhì)圓盤，滑輪與繩子間無滑動，水平面光滑，若滑塊A的質(zhì)量為mA = 50 kg，重物B的質(zhì)量為mB=200kg。求重物B的加速度及繩中的張力。 B mBg T2 T1 T2 A mAg N T1 解： 對A，有 對B，有 對滑轉(zhuǎn)C，有 又因為 ， 可解得 ， ， 5-15 如題圖所示，質(zhì)量為m1=16 kg 的實心圓柱體A，其半徑為r =15 cm可以繞其固定水平軸轉(zhuǎn)動，阻力忽略不計，一條輕繩繞在圓柱體上，其另一端系一個質(zhì)量為m2 = 8.0 kg的物體B，求：（1）物體B由靜止開始下降1.0 s后的距離；（2）繩的張力。 B m2g T T A 解 （1）對實心圓柱體A, 對物體B ，有 又因為 ， 可解得物體下落的加速度 在t =1.0 s時，B 下落的距離為 （2）繩中的張力為 5-16 如題圖所示之裝置，定滑輪是半徑為R，質(zhì)量為2m勻質(zhì)圓盤，滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量均為m的物體A、B。置于傾角為的光滑斜面上，若B向下作加速運動時，求：（1）其下落的加速度大小；（2）滑輪兩邊繩子的張力。（設(shè)繩的質(zhì)量及伸長均不及，繩與滑輪間無滑動，滑輪與軸承近光滑）。 A mg N T1 B mg T2 T1 T2 解 對A，沿斜面方向有 對B，有 對滑輪 且有 由于 解上述各方程可得 ， ， 習(xí)題5－17圖 m k 5-17 如題圖所示，質(zhì)量可忽略不計的細繩，繞過半徑為30 cm，轉(zhuǎn)動慣量為0.50 kg?m2的定滑輪，一端與勁度系數(shù)k =2.0 N?m－1的彈簧連接，另一端懸掛質(zhì)量為0.06 kg的物體。當(dāng)物體落下0.40 m時的速率是多大？（設(shè)開始時物體靜止且彈簧無伸長） 解 物體下落過程中，物體彈簧滑輪和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒，設(shè)物體下落h時，速度為v，滑輪角速度為，設(shè)物體初始位置勢能為零。于是有 習(xí)題5－18圖 M m 1 m2 a 考慮到 得 5-18 一不變的力矩作用在鉸車的鼓輪上使輪轉(zhuǎn)動，如題圖所示，勻質(zhì)圓柱形鼓輪的半徑為r，質(zhì)量為m1。繞在鼓輪上的輕繩系以質(zhì)量為m2的重物，使其沿傾角為的斜面上升。重物和斜面的滑動摩擦因數(shù)為。在開始時此系統(tǒng)靜止，試求鼓輪轉(zhuǎn)過角時的角速度。 解 根據(jù)質(zhì)點系動能定理，在鼓輪轉(zhuǎn)過角的過程中，（設(shè)鼓輪轉(zhuǎn)過角時的角速度為）則有 習(xí)題5－19圖 5-19 如題圖所示，半徑分別為r1、r2的兩個薄傘形輪，它們各自對通過盤心且垂直面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1和J2。開始時輪Ⅰ以角速度轉(zhuǎn)動，問與輪Ⅱ成正交嚙合后，兩輪的角速度分別為多大？ 解 設(shè)相互作用力為F ，在嚙合的短時間內(nèi)，根據(jù)角動量定理，對輪Ⅰ有 對輪Ⅱ有 兩輪嚙合后應(yīng)有相同的線速度，故有 由上述各式可解得 5-20 一質(zhì)量為20.0 kg的小孩，站在一半徑為3.00 m，轉(zhuǎn)動慣量為450 kg?m2的靜止水平轉(zhuǎn)臺邊緣上，轉(zhuǎn)臺與軸間的摩擦不計。如果此小孩對轉(zhuǎn)臺以1.00 m?s-1的速率沿轉(zhuǎn)臺邊緣行走，問轉(zhuǎn)臺的角速度有多大？ 解 人相對地面的角速度為 根據(jù)系統(tǒng)的角動量守恒定律，有 習(xí)題5－21圖 q A P m v0 r O w 式中分別為轉(zhuǎn)臺、人對轉(zhuǎn)臺中心軸的轉(zhuǎn)動慣量 。可得轉(zhuǎn)臺的角速度為 式中負號表示轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的方向與人對地面的轉(zhuǎn)動方向相反 。 5-21 如題圖所示，有一根質(zhì)量很小的長度為L的勻質(zhì)細桿，可繞通過其中心點O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，當(dāng)細桿靜止于水平位置時，有一只小蟲以速率v0垂直落在距轉(zhuǎn)軸為1／4處，并背離點O向細桿的斷點爬行。設(shè)小蟲的質(zhì)量與細桿的質(zhì)量均為m。問欲使細桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動，小蟲向細桿端點A爬行的速率為多少？ 解 設(shè)細桿與小蟲一起轉(zhuǎn)動的角速度為，在碰撞前后，小蟲和細桿系統(tǒng)的角動量守恒，有 即 （1） 因細桿對轉(zhuǎn)軸的重力矩始終為零，當(dāng)小蟲爬到距轉(zhuǎn)軸為的點時，作用在小蟲和細桿系統(tǒng)的外力矩僅為小蟲對轉(zhuǎn)軸的重力矩，即 （2） 由題意，角速度恒定，所以有 （3） 式中J為小蟲爬到點p 時，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量，有 （4） 即得 （5） 將式（2）和式（4）代入式（5），得 考慮到，上式為 5-22 一質(zhì)量為1.12 kg，長為1.0 m的均勻細棒，支點在棒的上端點，開始時棒自由懸掛，以100N的力打擊它的下端點。打擊時間為0.02 s，（1）若打擊前棒是靜止的，求打擊時其角動量的變化；（2）求棒的最大偏轉(zhuǎn)角。 解（1）由剛體的角動量定理得 （2）選O處為重力勢能零點，棒和地球系統(tǒng) 所以 題5-23圖4.39 5-23 如圖所示，A與B兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器使之連接，A輪的轉(zhuǎn)動慣量J1=10.0 kg?m2，開始時B輪靜止，A輪以n1=600 r/min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動，然后使A與B連接，因而B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于n2=200 rmin為止。求：（1）B輪的轉(zhuǎn)動慣量；（2）嚙合過程中損失的機械能。 解 （1）取兩飛輪為系統(tǒng)，根據(jù)角動量守恒，有 則B輪的轉(zhuǎn)動慣量為 5-24圖 （2）系統(tǒng)在嚙合過程中機械能的變化為 式中負號表示嚙合過程機械能減少 . 5-24 如題圖所示，一質(zhì)量為m的小球由一繩索系著，以角速度在無摩擦的水平面上，一半徑為r作圓周運動。如果在繩的另一端作用一豎直向下的拉力，小球則以半徑為r/2作圓周運動。試求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所做的功。 解 （1）小球在轉(zhuǎn)動的過程 式中 ， 則 （2）由轉(zhuǎn)動的動能定理可得拉力的功為 O l m m v B A m 5-25 如圖所示，質(zhì)量為、長度為l的均勻細桿上端懸掛于O點，下端連接質(zhì)量也為的物體B（可視為質(zhì)點）。質(zhì)量為的子彈A，射穿物體B后，速率由v減小為 。如果細桿能在豎直平面內(nèi)完成一個完全的圓周運動，子彈A的速率v至少應(yīng)為多少？ 解 子彈與擺錘碰撞 式中和分別為子彈、擺錘和桿對軸的轉(zhuǎn)動慣量. 擺錘在轉(zhuǎn)動過程中，機械能守恒 可得子彈速度的最小值為 5-26 如題圖所示，回轉(zhuǎn)儀轉(zhuǎn)盤的質(zhì)量為m = 0.10 kg，半徑為R = 0.05 m，離Z軸的距離為d = 0.10 m，轉(zhuǎn)盤繞y軸以w =100 rad/s的角速度轉(zhuǎn)動。求：（1）該輪自轉(zhuǎn)的角動量；(2）作用與軸上的外力矩；(3）系統(tǒng)的進動角速度，并判斷進動方向。 5-26圖 解 （1）若忽略進動角動量，轉(zhuǎn)盤自轉(zhuǎn)的角動量為 （2）作用于軸上的外力矩為 （3）進動角速度為 第6章 機械振動 6—1 一質(zhì)點作簡諧振動，其運動方程為 試求：（1）振幅、頻率、角頻率、周期、和初相；（2）t = 2s時的位移、速度和加速度 。 解 （1）將與比較后可得：振幅A=0.10m ,角頻率ω＝20π s－1 ，則周期T=2π/ω=0.1s ，頻率n ＝1/T=10 HZ ，初相φ＝π/4 。 （2）位移、速度、加速度分別為 ； 將t =2 s代人，得 ， ， 6－2 一個小球和輕彈簧組成的系統(tǒng)，按 的規(guī)律振動。（1）求振動的角頻率、周期、振幅、初相、最大速度及最大加速度； （2）分別畫出位移、速度、加速度與時間的關(guān)系曲線。 解 （1）與簡諧振動的標(biāo)準(zhǔn)表示式比較，可得 ；；； ；；。 6－3 一質(zhì)點按規(guī)律 作簡諧振動，試求：質(zhì)點的速度、加速度，并分別畫出位移、速度、加速度隨時間變化的曲線。 解 6－4 一質(zhì)點作簡諧振動，已知x－t曲線如圖所示，試寫出此振動質(zhì)點的運動方程。 習(xí)題6－4 用圖 1/3 t/s x/m 0.10 －0.10 －0.05 4/3 7/3 解 由圖，A = 0.10 m ，