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1、江蘇省2022高考數學二輪復習專題五解析幾何高考提能圓的第二定義--阿波羅斯圓學案 一、問題背景 蘇教版《數學必修2》P112第12題： 已知點M(x，y)與兩個定點O(0,0)，A(3,0)的距離之比為，那么點M的坐標應滿足什么關系？畫出滿足條件的點M所構成的曲線． 二、阿波羅尼斯圓 公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯(Apollonius)在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結果： 到兩定點距離之比等于已知數的動點軌跡為直線或圓． 如圖，點A，B為兩定點，動點P滿足PA＝λPB. 則λ＝1時，動點P的軌跡為直線；當λ≠1時，動點P的軌跡為圓，后世稱

2、之為阿波羅尼斯圓． 證：設AB＝2m(m＞0)，PA＝λPB，以AB中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，則A(－m,0)，B(m,0)． 又設P(x，y)，則由PA＝λPB得＝λ， 兩邊平方并化簡整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)． 當λ＝1時，x＝0，軌跡為線段AB的垂直平分線； 當λ＞1時，2＋y2＝，軌跡為以點為圓心，為半徑的圓． 上述課本習題的一般化情形就是阿波羅尼斯定理． 三、阿波羅尼斯圓的性質 1．滿足上面條件的阿波羅尼斯圓的直徑的兩端是按照定比λ內分AB和外分AB所得的兩個分點． 2．直線CM平分∠A

3、CB，直線CN平分∠ACB的外角． 3.＝. 4．CM⊥CN. 5．當λ＞1時，點B在圓O內； 當0＜λ＜1時，點A在圓O內． 6．若AC，AD是切線，則CD與AO的交點即為B. 7．若過點B做圓O的不與CD重合的弦EF，則AB平分∠EAF. 四、范例欣賞 例1　設A(－c,0)，B(c,0)(c＞0)為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a(a＞0)，求P點的軌跡． 解　設動點P的坐標為(x，y)， 由＝a(a＞0)，得＝a. 化簡得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0. 當a≠1時，得x2＋x＋c2＋y2＝0

4、，整理得2＋y2＝2. 當a＝1時，化簡得x＝0. 所以當a≠1時，P點的軌跡是以為圓心， 為半徑的圓； 當a＝1時，P點的軌跡為y軸． 例2　如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2＝4，過動點P分別作圓O1，圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點)，使得PM＝PN，試建立適當的坐標系，并求動點P的軌跡方程． 解　以O1O2的中點O為原點，O1O2所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系， 則O1(－2,0)，O2(2,0)， 由已知PM＝PN，得PM2＝2PN2， 因為兩圓的半徑均為1， 所以PO－1＝2(PO－1)， 設P(x，y)，則(x＋2)2＋y2－1

5、＝2[(x－2)2＋y2－1]． 即(x－6)2＋y2＝33， 所以所求軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33. 例3　如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4，設圓C的半徑為1，圓心在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍． 解　(1)聯立得圓心為C(3,2)． 切線的斜率存在，設切線方程為y＝kx＋3. d＝＝r＝1， 得k＝0或k＝－. 故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)設點M(x，y)，由MA＝2MO，知

6、 ＝2， 化簡得x2＋(y＋1)2＝4. 即點M的軌跡為以(0，－1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D. 又因為點M在圓C上，故圓C與圓D的關系為相交或相切． 故1≤CD≤3，其中CD＝. 解得0≤a≤. 例4　在x軸正半軸上是否存在兩個定點A，B，使得圓x2＋y2＝4上任意一點到A，B兩點的距離之比為常數？如果存在，求出點A，B坐標；如果不存在，請說明理由． 解　假設在x軸正半軸上存在兩個定點A，B，使得圓x2＋y2＝4上任意一點到A，B兩點的距離之比為常數，設P(x，y)，A(x1,0)，B(x2,0)，其中x2＞x1＞0. 即＝對滿足x2＋y2＝4的任何實數對(x，y)

7、恒成立， 整理得，2x(4x1－x2)＋x－4x＝3(x2＋y2)，將x2＋y2＝4代入得， 2x(4x1－x2)＋x－4x＝12，這個式子對任意x∈[－2,2]恒成立， 所以一定有因為x2＞x1＞0， 所以解得x1＝1，x2＝4. 所以在x軸正半軸上存在兩個定點A(1,0)，B(4,0)，使得圓x2＋y2＝4上任意一點到A，B兩點的距離之比為常數. 五、跟蹤演練 1．滿足條件AB＝2，AC＝BC的△ABC的面積的最大值是________． 答案　2 解析　以AB中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，則A(－1,0)，B(1,0)，設C(x，y)， 由AC＝BC，得

8、＝·. 平方化簡整理得y2＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8≤8. ∴|y|≤2，則 S△ABC＝×2|y|≤2，∴S△ABC的最大值是2. 2．在△ABC中，邊BC的中點為D，若AB＝2，BC＝AD，則△ABC的面積的最大值是________． 答案　4 解析　以AB中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，則A(－1,0)，B(1,0)， 由BD＝CD，BC＝AD知，AD＝BD，D的軌跡為阿波羅尼斯圓，方程為(x－3)2＋y2＝8，設C(x，y)， 得D，所以點C的軌跡方程為2＋2＝8，即(x－5)2＋y2＝32. 所以S△ABC＝×2|y|＝|y|≤＝4，故S△

9、ABC的最大值是4. 3．在平面直角坐標系xOy中，設點A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在點P，使得PA＝PB，PC＝PD，則實數a的取值范圍是________． 答案　[－2－1,2－1] 解析　設P(x，y)，則＝·， 整理得(x－5)2＋y2＝8，即動點P在以(5,0)為圓心，2為半徑的圓上運動． 另一方面，由PC＝PD知動點P在線段CD的垂直平分線y＝a＋1上運動，因而問題就轉化為直線y＝a＋1與圓(x－5)2＋y2＝8有交點． 所以|a＋1|≤2， 故實數a的取值范圍是[－2－1，2－1]． 4.如圖，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，

10、B(－1,0)，AC邊的中點為D(2,0)，則點C的軌跡所包圍的圖形的面積等于________． 答案　4π 解析　因為AB＝2AD，所以點A的軌跡是阿波羅尼斯圓，易知其方程為(x－3)2＋y2＝4(y≠0)． 設C(x，y)，由AC邊的中點為D(2,0)，知A(4－x，－y)，所以C的軌跡方程為(4－x－3)2＋(－y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，所求的面積為4π. 5．如圖，已知平面α⊥平面β，A，B是平面α與平面β的交線上的兩個定點，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，在平面α上有一個動點P，使得∠APD＝∠BPC，求△PA

11、B的面積的最大值． 解　∵DA⊥α，PA?α， ∴DA⊥PA， ∴在Rt△PAD中，tan∠APD＝＝， 同理tan∠BPC＝＝. ∵∠APD＝∠BPC， ∴BP＝2AP. 在平面α上以線段AB的中點為原點，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，則A(－3,0)，B(3,0)， 設P(x，y)，則有＝2(y≠0)． 化簡得(x＋5)2＋y2＝16， ∴y2＝16－(x＋5)2≤16. ∴|y|≤4. △PAB的面積為S△PAB＝|y|·AB＝3|y|≤12，當且僅當x＝－5，y＝±4時取得等號，則△PAB的面積的最大值是12. 6．已知⊙O：x2＋y2＝1和點

12、M(4,2)． (1)過點M向⊙O引切線l，求直線l的方程； (2)求以點M為圓心，且被直線y＝2x－1截得的弦長為4的⊙M的方程； (3)設P為(2)中⊙M上任一點，過點P向⊙O引切線，切點為Q，試探究：平面內是否存在一定點R，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由． 解　(1)直線l的斜率存在， 設切線l方程為y－2＝k(x－4)， 易得＝1，解得k＝. ∴切線l的方程為y－2＝(x－4)． (2)圓心到直線y＝2x－1的距離為，設圓的半徑為r，則r2＝22＋()2＝9， ∴⊙M的方程為(x－4)2＋(y－2)2＝9. (3)假設存在這樣的點R(a，b)，點P的坐標為(x，y)，相應的定值為λ. 根據題意可得PQ＝， ∴＝λ， 即x2＋y2－1＝λ2(x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2)．(*) 又點P在圓M上，∴(x－4)2＋(y－2)2＝9，即x2＋y2＝8x＋4y－11，代入(*)式得 8x＋4y－12＝λ2[(8－2a)x＋(4－2b)y＋(a2＋b2－11)]， 若系數對應相等，則等式恒成立， ∴ 解得a＝2，b＝1，λ＝或a＝，b＝，λ＝， ∴可以找到這樣的定點R，使得為定值，如點R的坐標為(2,1)時，比值為，點R的坐標為時，比值為.