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第一章 小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之比例法 比和比例是傳統(tǒng)算術(shù)的重要內(nèi)容，在較早的年代，許多實(shí)際問題都是應(yīng)用比和比例的知識來解答的。近年來，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中比和比例的內(nèi)容雖然簡化了，但它仍是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，是升入中學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)的必要基礎(chǔ)。 用比例法解應(yīng)用題，實(shí)際上就是用解比例的方法解應(yīng)用題。有許多應(yīng)用題，用比例法解簡單、方便，容易理解。 用比例法解答應(yīng)用題的關(guān)鍵是：正確判斷題中兩種相關(guān)聯(lián)的量是成正比例還是成反比例，然后列成比例式或方程來解答。 （一）正比例 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。 如果用字母x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示比值（一定），正比例的數(shù)量關(guān)系可以用下面的式子表示： 例1 一個(gè)化肥廠4天生產(chǎn)氮肥32噸。照這樣計(jì)算，這個(gè)化肥廠4月份生產(chǎn)氮肥多少噸？（適于六年級程度） 解：因?yàn)槿债a(chǎn)氮肥的噸數(shù)一定，所以生產(chǎn)氮肥的噸數(shù)與天數(shù)成正比例。 設(shè)四月份30天生產(chǎn)氮肥x噸，則： 答略。 例2 某工廠要加工1320個(gè)零件，前8天加工了320個(gè)。照這樣計(jì)算，其余的零件還要加工幾天？（適于六年級程度） 解：因?yàn)槊恳惶旒庸さ臄?shù)量一定，所以加工的數(shù)量與天數(shù)成正比例。 還需要加工的數(shù)量是： 1320-320=1000（個(gè)） 設(shè)還需要加工x天，則： 例3 一列火車從上海開往天津，行了全程的60％，距離天津還有538千米。這列火車已行了多少千米？（適于六年級程度） 解：火車已行的路程∶剩下的路程=60％∶（1-60％）=3∶2。 設(shè)火車已行的路程為x千米。 答略。 米。這時(shí)這段公路余下的長度與已修好長度的比是2∶3。這段公路長多少米？（適于六年級程度） 解：余下的長度與已修好長度的比是2∶3，就是說，余下的長度是已 這段公路的長度是： 答略。 （二）反比例 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。 如果用字母x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示積（一定），反比例的數(shù)量關(guān)系可以用下面的式子表達(dá)： xy=k（一定） 例1 某印刷廠裝訂一批作業(yè)本，每天裝訂2500本，14天可以完成。如果每天裝訂2800本，多少天可以完成？（適于六年級程度） 解：由于要裝訂的本數(shù)一定，因此，每天裝訂的本數(shù)與可以裝訂的天數(shù)成反比例。 設(shè)x天可以完成，則： 答略。 例2 一項(xiàng)工程，原來計(jì)劃30人做，18天完成?，F(xiàn)在減少了3人，需要多少天完成？（適于六年級程度） 解：工作總量一定，每人的工作效率也是一定的，所以所需要的人數(shù)與天數(shù)成反比例。 現(xiàn)在減少3人，現(xiàn)在的人數(shù)就是： 30-3=27（人） 設(shè)需要x天完成，則： 答略。 例3 有一項(xiàng)搬運(yùn)磚的任務(wù)，25個(gè)人去做，6小時(shí)可以完成任務(wù)；如果相同工效的人數(shù)增加到30人，搬運(yùn)完這批磚要減少幾小時(shí)？（適于六年級程度） 解：題中的總?cè)蝿?wù)和每人的工作效率一定，所以搬運(yùn)磚的人數(shù)與所需要的時(shí)間成反比例。 設(shè)增加到30人以后，需要x小時(shí)完成，則： 6-5=1（小時(shí)） 答：增加到30人后，搬運(yùn)完這批磚要減少1小時(shí)。 例4 某地有駐軍3600人，儲備著吃一年的糧食。經(jīng)過4個(gè)月后，復(fù)員若干人。如果余下的糧食可以用10個(gè)月，求復(fù)員了多少人？（適于六年級程度） 解：按原計(jì)劃，4個(gè)月后余下的糧食可以用： 12-4=8（個(gè)月） 因?yàn)閺?fù)員一部分人后，人數(shù)少了，所以原來可以用8個(gè)月的糧食，現(xiàn)在就可以用10個(gè)月。 糧食的數(shù)量一定，人數(shù)與用糧的時(shí)間成反比例。 設(shè)余下的糧食供x人吃10個(gè)月，則： 答：復(fù)員了720人。 （三）按比例分配 按比例分配的應(yīng)用題可用歸一法解，也可用解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的方法來解。 用歸一法解按比例分配應(yīng)用題的核心是：先求出一份是多少，再求幾份是多少。這種方法比解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的方法容易一些。用解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的方法解按比例分配問題的關(guān)鍵是：把兩個(gè)（或幾個(gè)）部分量之比轉(zhuǎn)化為部分量占總量的（幾個(gè)部分量之和）幾分之幾。這種轉(zhuǎn)化稍微難一些。然而學(xué)會(huì)這種轉(zhuǎn)化對解答某些較難的比例應(yīng)用題和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是有益的。 究竟用哪種方法解，要根據(jù)題目的不同，靈活采用不同的方法。 有些應(yīng)用題敘述的數(shù)量關(guān)系不是以比或比例的形式出現(xiàn)的，如果我們用按比例分配的方法解這樣的題，要先把有關(guān)數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為比或比例的關(guān)系。 1.按正比例分配 甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的連比是： 4+5+8=17 答略。 例2 有甲、乙、丙三堆煤，甲堆比乙堆多12.5％，乙堆比丙堆少 解：因?yàn)榧锥驯纫叶讯?2.5％，所以要把乙堆看作“1”，這樣甲堆就是（1+12.5％）。 甲∶乙=（1+12.5％）∶1=9∶8 甲∶乙∶丙=9∶8∶10 已知甲堆比丙堆少6噸，這6噸所對應(yīng)的份數(shù)是1，所以，甲堆煤的噸數(shù)是： 69=54（噸） 乙堆煤的噸數(shù)是： 68=48（噸） 丙堆煤的噸數(shù)是： 610=60（噸） 答略。 2.按反比例分配 *例1 某人騎自行車往返于甲、乙兩地用了10小時(shí)，去時(shí)每小時(shí)行12千米，返回時(shí)每小時(shí)行8千米。求甲、乙兩地相距多少千米？（適于六年級程度） 解：此人往返的速度比是： 12∶8=3∶2 因?yàn)樵诰嚯x一定的情況下，時(shí)間與速度成反比例，所以，由此人往返的速度比是3∶2，可推出此人往返所用的時(shí)間比是2∶3。 去時(shí)用的時(shí)間是： 兩地之間的距離： 124=48（千米） 答略。 *例2 一個(gè)文藝演出隊(duì)去少數(shù)民族地區(qū)慰問演出，路上共用了110個(gè)小 這也是騎馬、乘輪船、坐火車的時(shí)間比。 將110小時(shí)按8∶2∶1的比例分配。 騎馬的時(shí)間是： 坐火車的時(shí)間是： 答略。 3.按混合比例分配 把價(jià)格不同、數(shù)量不等的同類物品相混合，已知各物品的單價(jià)及混合后的平均價(jià)（或總價(jià)和總數(shù)量），求混合量的應(yīng)用題叫做混合比例應(yīng)用題?；旌媳壤龖?yīng)用題在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用。 *例1 紅辣椒每500克3角錢，青辣椒每500克2角1分錢?，F(xiàn)將紅辣椒與青辣椒混合，每500克2角5分錢。問應(yīng)按怎樣的比例混合，菜店和顧客才都不會(huì)吃虧？（適于六年級程度） 解：列出表23-1。 表23-1 表中，價(jià)格一欄是根據(jù)題意填的，其他欄目是在分析題的過程中填的。 混合后的辣椒是每500克賣2角5分錢，而混合辣椒中紅、青兩種辣椒的比不能是1∶1，因?yàn)樵诨旌虾蟮睦苯分忻坑?00克紅辣椒，紅辣椒就要少賣5分錢，所以應(yīng)算是每500克紅辣椒損失了5分錢，在“損”一欄中，橫對紅辣椒和3角，填上5分；又因?yàn)樵诨旌虾蟮睦苯分忻坑?00克青辣椒，青辣椒就要多賣4分錢，所以應(yīng)算是每500克青辣椒多賣了（益）4分錢，在“益”一欄中，橫對青辣椒和2角1分，填上4分。 5與4的最小公倍數(shù)是20。 205＝4，204＝5， 只有在混合的辣椒中，有4份的紅辣椒，5份的青辣椒，500克混合后的辣椒正好賣2角5分錢。 4份的紅辣椒是4個(gè)500克，它的價(jià)錢是， 0.34=1.2（元） 5份的青辣椒是5個(gè)500克，它的價(jià)錢是， 0.215=1.05（元） 4份紅辣椒與5份青辣椒的總價(jià)是， 1.2+1.05=2.25（元） 而9個(gè)500克的混合辣椒的總價(jià)是， 0.259=2.25（元） 9份（9個(gè)500克）紅辣椒和青辣椒的總價(jià)正好與9個(gè)500克混合辣椒的總價(jià)相等。 所以在混合的辣椒中，紅辣椒與青辣椒的比應(yīng)是4∶5。這個(gè)比正好是益損兩數(shù)比的反比。 答略。 *例2 王老師買甲、乙兩種鉛筆共20支，共用4元5角錢。甲種鉛筆每支3角，乙種鉛筆每支2角。兩種鉛筆各買多少支？（適于六年級程度） 解：20支鉛筆的平均價(jià)格是： 4.520=0.225（元）=2.25（角） 列出表23-2。 表23-2 因?yàn)榧追N鉛筆每支3角，而平均價(jià)格是每支2.25角，所以每支甲種鉛筆損失了0.75角錢。在表中“損”一欄橫對“甲”填上0.75角/支；因?yàn)橐曳N鉛筆每支2角，而平均價(jià)格是每支2.25角，所以每支乙種鉛筆是增加（益）了0.25角。在表中“益”一欄橫對“乙”填上0.25角/支。 兩種鉛筆的混合比，正好是損、益兩數(shù)比的反比，所以在混合比一欄中，橫對甲填0.25，而橫對乙填0.75。把0.25和0.75化簡后得1和3。 現(xiàn)在可以認(rèn)為兩種鉛筆的總份數(shù)是： 1+3=4（份） 甲種鉛筆的支數(shù)是： 乙種鉛筆的支數(shù)是： 答略。 （四）連比 如果甲數(shù)量與乙數(shù)量的比是a∶b，乙數(shù)量與丙數(shù)量的比是b∶c，那么表示甲、乙、丙三個(gè)數(shù)量的比可以寫作a∶b∶c，a∶b∶c就叫做甲、乙、丙三個(gè)數(shù)量的連比。 注意：“比”中的比號相當(dāng)于除號，也相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線，而“連比”中的比號卻不是相當(dāng)于除號、分?jǐn)?shù)線。 *例1 已知甲數(shù)和乙數(shù)的比是5∶6，丙數(shù)和乙數(shù)的比是7∶8，求這三個(gè)數(shù)的連比。（適于六年級程度） 解：已知甲、乙兩數(shù)的比是5∶6，丙數(shù)與乙數(shù)之比為7∶8，即乙數(shù)與丙數(shù)之比為8∶7。第一個(gè)比的后項(xiàng)是6，第二個(gè)比的前項(xiàng)為8，這說明甲、丙兩個(gè)數(shù)不是以相同標(biāo)準(zhǔn)劃分的，甲、乙、丙三個(gè)數(shù)不能直接寫成連比。 用下面的方法可以統(tǒng)一甲、丙的標(biāo)準(zhǔn)，把甲、乙、丙三個(gè)數(shù)寫成連比。把5擴(kuò)大8倍，得40；把6擴(kuò)大8倍，得48。把6擴(kuò)大8倍得48，也就是把8擴(kuò)大6倍，得48，所以也要把7擴(kuò)大6倍得42。 甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的連比是：4O∶ 48∶42=20∶24∶21。 答略。 *例2 甲、乙、丙三堆煤共重1480噸，已知甲堆煤重量的 又根據(jù)，甲∶乙=3∶2，乙∶丙=5∶6，可求出甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的連比是： 甲∶乙∶丙=15∶10∶12 把1480噸煤按15∶10∶12的比例分配。 甲堆煤重： 乙堆煤重： 答略。 答略。