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第1章《集合與簡易邏輯》單元測試題 劉　忠（江西省永豐中學(xué)特級教師） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．已知集合A＝｛（x,y）|x2+y2=4｝,B=｛（x,y）|x2+y2=1｝，則A、B的關(guān)系為（　 ） A. B. C. D. A∩B= 答案：D. 解：因?yàn)榧螦、B都是以原點(diǎn)為圓心的圓，其半徑分別為2、1（注意：圓是曲線，不包括其內(nèi)部），∴A∩B=Φ. 評析：本題易錯(cuò)選C.主要是由于韋恩圖的干擾. 2. 已知集合的元素個(gè)數(shù)為（ 　 ） 　 A. 0 　 B. 1或2 　 C. 0或1或2 D. 不確定 答案：A . 解：∵沒有既是直線又是圓的圖形，∴. 評析：本題易錯(cuò)選C.認(rèn)為直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或1或2 . 3. 對于以下集合與集合的關(guān)系：其中正確關(guān)系的個(gè)數(shù)為（ ） A.3　　　 B.　 4　　 　C. 5　　　　　 D. 6 答案：D.解：以上六個(gè)關(guān)系都正確的.本題易錯(cuò)選C，認(rèn)為是錯(cuò)誤的. 4. 若,則集合中的所有元素之和為( ) A. 15 B. 14 C. 27 D. -14 答案：A. 解：∵＝，∴中的所有元素之和為15，故選A. 5. 若集合，則等于( ) A. B. C. D. 答案：B. 解：因?yàn)?，所以故選B. 6．若A、B、C為三個(gè)集合，，則一定有（ ） A.　　　　 B.　　　 　C.　　　　 D. 答案：A. 解：由知，，故. 7、有限集合中元素個(gè)數(shù)記作card，設(shè)、都為有限集合，給出下列命題： ①的充要條件是card= card+ card； ②的必要條件是cardcard； ③的充分條件是cardcard； ④的充要條件是cardcard. 其中真命題的序號(hào)是（ ） A. ③、④ B. ①、② C. ①、④ D. ②、③ 答案：B解：由card= card+ card+ card知card= card+ cardcard=0，故①正確；由的定義知cardcard，故②正確；若cardcard，亦可能成立，故③不正確；④顯然不正確. 8.已知集合，則的關(guān)系最恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)是（ ） A. B. C.A＝B D. 答案：C. 解：=｛x|0｝＝＝B，故選C. 評析：本題易錯(cuò)選A，原因是認(rèn)為. 9.已知集合A= 、B=分別為函數(shù)f(x)的定義域和值域，且,　則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）　　 A.　 　　 B.　 　 C.　 D. 答案：B.解：∵集合A、B分別為函數(shù)的定義域和值域，∴、. ∵A=,　再由且，知，即；又.綜上，知.　故選B. 評析：本題易錯(cuò)選C，原因是忽視了的條件. 10.（理科）若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 答案：C.解：因?yàn)楸硎緮?shù)軸上坐標(biāo)為－2,1的兩點(diǎn)這間的距離，所以，因此要使不等式無解，只需，故選C. （文科）若不等式對一切恒成立，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 答案：C.解：當(dāng)時(shí)不等式顯然成立；當(dāng)時(shí).所以，故選C. 評析：本題易錯(cuò)選B，原因是丟掉了的情況. 11.（理科）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（ ） A. B. C. D. （文科）若二次不等式的解集是,那么不等式的解集是 （ ） A.{x|x< -10或x > 1} B.{x|－< x <} C.{x|4< x <5} D.{x|-5< x < -4} （理科）答案：A. 解：易知，所以，所以即，所以，所以的解集為，故選A. （文科）答案：A. 解：易知，且又由知，所以即，所以，故選A. 12. （理科）設(shè)集合I=，若集合A、B滿足A∪B=I，則稱(A,B)為集合I的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)，(A,B)與(B,A)為集合I的同一種分拆.則集合I的不同分拆的種數(shù)為（ ） A. B. C. D. （文科）若,則B的個(gè)數(shù)為（ ） Ⅱ Ⅲ B A I A. B. C. D. （理科）答案：A.解：如圖，滿足題意的集合A、B的組數(shù)＝A∪B中所有的元素進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的方法數(shù)＝，故選A. （文科）答案：B.解：集合B除了要有元素這個(gè)元素外，還需有元素這個(gè)元素中的１個(gè)或２個(gè)或…或個(gè)，所以集合B的個(gè)數(shù)為，故選B. 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分. 13.命題“若，則或”的逆否命題是 . 答案：若，則. 14.已知集合A=，集合B={a, a2,ab}，若A=B，則實(shí)數(shù) . 答案：1. 解：∵A=B，∴由及知因此1. 15. 設(shè)是集合A到集合B的映射，如果B＝，則＝　　　. 解：∵集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有惟一的象，但B中的元素未必都有原象，∴CB.再由映射的定義，知或或，故＝. 16. （理科）對于以下命題： （1）若,則B的個(gè)數(shù)為； （2）設(shè)命題p：“對一切實(shí)數(shù)x，”，則非p是 “ 對一切實(shí)數(shù)x， ”； （3）已知都是的必要條件，的充分條件，是的充分條件,則是的必要條件 ； （4）若A表示滿足條件p的集合，B表示滿足條件q的集合，則“p是q的充分不必要條件“AB”. 其中正確命題的序號(hào)是 （將所有正確命題的序號(hào)都填上）. （文科）對于以下命題： （1）含有n個(gè)元素的集合，其子集的個(gè)數(shù)為2n； （2）對于命題“矩形的對角線相等”，其否命題是“不是矩形的四邊形對角線不相等”； （3）已知命題A、B、C，若非A是非B的充分條件，B是C的必要條件，則A是C的必要條件； （4）若A表示滿足條件p的集合，B表示滿足條件q的集合，則 “p是q的充分條件” “AB”. 其中正確命題的序號(hào)是 （將所有正確命題的序號(hào)都填上）. （理科）答案：（3），（4）.解：命題（1）的正確答案為2n.事實(shí)上，集合B除了要有元素這個(gè)元素外，還需有元素這個(gè)元素中的１個(gè)或２個(gè)或…或個(gè)，所以集合B的個(gè)數(shù)為；命題（2）的正確答案為“ 存在一個(gè)實(shí)數(shù)x， ”. （文科）答案：（1）、（2）、（3）、（4）. 三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17．（本小題滿分12分） 已知三個(gè)非零實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，且，求證：不可能成等差數(shù)列. 證明：（反證法）假設(shè)成等差數(shù)列，則. 又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以， 所以，所以，這與矛盾， 故假設(shè)不成立，即不可能成等差數(shù)列. 18．（本小題滿分12分） 已知p:方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根；q:方程無實(shí)根.若“p或q”為真，“p且q”為假，求m的取值范圍. 解：；. 因?yàn)椤皃或q”為真，“p且q”為假，所以p、q一真一假. （1）若p真q假，則； （2）若q真p假，則. 綜上所述，m的取值范圍是. 19. （本小題滿分12分） 設(shè)集合.若，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：∵，又，所以或，或，或. （1）當(dāng)時(shí)，. （2）當(dāng)時(shí)， （3）當(dāng)時(shí)， （4）當(dāng)時(shí)， 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 20. （本小題滿分12分） 已知, ={正實(shí)數(shù)}，若A∩R+=Φ,求實(shí)數(shù)p的取值范圍 . 解：（1）A=時(shí)，； （2）A時(shí)，∵方程無零根，∴兩根均為負(fù)，∴. 綜（1）（2）知， 21. （本小題滿分12分） （理科）設(shè)集合，. （1）當(dāng)時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)； （2）若B=，求m的取值范圍； （3）若，求m的取值范圍. （文科）解關(guān)于的不等式. 解：（理科）化簡集合A=，集合. （1）,即A中含有8個(gè)元素，A的非空真子集數(shù)為個(gè). （2）顯然只有當(dāng)m-1=2m+1即m= －2時(shí)，B=. （3）①m= －2時(shí)，； ②當(dāng)m<－2 時(shí)，，所以B=,因此，要，則只要，所以m的值不存在； ③當(dāng)m>－2 時(shí), B=（m-1,2m+1）,因此，要，則只要. 綜上所述，知m的取值范圍是：m=－2或 （文科）因?yàn)?，所? （1）當(dāng)時(shí)，； （2）當(dāng)時(shí)，； （3）當(dāng)時(shí)，. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為. 22. （本小題滿分14分） （理科）對于函數(shù)f(x),若f(x)=x,則稱x為f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”，若，則稱x為f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B，即}，. (1)求證：AB； (2)若，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. （文科）已知集合， ，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍． （理科）證明(1)：若A=φ，則AB 顯然成立； 若A≠φ，設(shè)t∈A，則f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,從而 AB. 解(2)：A中的元素是方程f(x)=x 即的實(shí)根. 由 A≠φ，知 a=0 或 即 . B中元素是方程 即 的實(shí)根， 由AB，知上方程左邊含有一個(gè)因式， 即方程可化為，因此， 要A=B，即要方程 ①要么沒有實(shí)根，要么實(shí)根是方程 ②的根. 若①?zèng)]有實(shí)根，則，由此解得 ； 若①有實(shí)根且①的實(shí)根是②的實(shí)根，則由②有 ，代入①有 2ax+1=0. 由此解得 ,再代入②得 由此解得. 綜上所述， a的取值范圍是. （文科）原命題等價(jià)于方程組在上有解， 即在上有解. 令，則由知拋物線過點(diǎn).因此： ①拋物線在上與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于，所以. ②拋物線在上與軸有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于 解之得. 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．