《2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（全國卷2含解析）(1)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（全國卷2含解析）(1)（17頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（全國卷2） 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。 2．作答時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)公式，可直接計(jì)算得 詳解： ，故選D. 點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)題是每年高考的必考內(nèi)容，一般以選擇或填空形式出現(xiàn)，屬簡單得分題，高考中復(fù)數(shù)主要考查的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)

2、的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在解決此類問題時(shí)，注意避免忽略中的負(fù)號導(dǎo)致出錯(cuò). 2. 已知集合，，則 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解. 詳解：, , 故選C 點(diǎn)睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類問題時(shí)要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算. 3. 函數(shù)的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通過研究函數(shù)奇

3、偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像. 詳解：為奇函數(shù)，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此選B. 點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)． 4. 已知向量，滿足，，則 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果. 詳解：因?yàn)? 所以選B. 點(diǎn)睛：向量加減乘： 5. 從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加

4、社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率. 詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為， 從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能， 選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能 則選中的2人都是女同學(xué)的概率為， 故選D. 點(diǎn)睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第三步，利

5、用公式求出事件的概率. 6. 雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果. 詳解： 因?yàn)闈u近線方程為，所以漸近線方程為，選A. 點(diǎn)睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：. 7. 在中，，，，則 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB. 詳解：因?yàn)? 所以，選A. 點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件

6、靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的. 8. 為計(jì)算，設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)程序框圖可知先對奇數(shù)項(xiàng)累加，偶數(shù)項(xiàng)累加，最后再相減.因此累加量為隔項(xiàng). 詳解：由得程序框圖先對奇數(shù)項(xiàng)累加，偶數(shù)項(xiàng)累加，最后再相減.因此在空白框中應(yīng)填入，選B. 點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng). 9. 在正方體中，為棱

7、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：利用正方體中，，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可. 詳解：在正方體中，， 所以異面直線與所成角為， 設(shè)正方體邊長為， 則由為棱的中點(diǎn)，可得， 所以 則. 故選C. 點(diǎn)睛：求異面直線所成角主要有以下兩種方法： （1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角. （2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為

8、銳角，所以②對應(yīng)的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值. 10. 若在是減函數(shù)，則的最大值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值 詳解：因?yàn)椋? 所以由得 因此，從而的最大值為，選A. 點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)： (1). (2)周期 (3)由 求對稱軸， (4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間. 11. 已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：設(shè)，則根據(jù)平面幾何知識可求，再結(jié)合橢圓定義可求離

9、心率. 詳解：在中， 設(shè)，則， 又由橢圓定義可知 則離心率， 故選D. 點(diǎn)睛：橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點(diǎn)三角形”是橢圓問題中的常考知識點(diǎn)，在解決這類問題時(shí)經(jīng)常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義. 12. 已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足．若，則 A. B. 0 C. 2 D. 50 【答案】C 【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果. 詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且， 所以,

10、因此， 因?yàn)椋裕? ，從而，選C. 點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。、 13. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________． 【答案】y=2x–2 【解析】分析：求導(dǎo)，可得斜率，進(jìn)而得出切線的點(diǎn)斜式方程. 詳解：由，得 則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為， 則所求切線方程為，即. 點(diǎn)睛：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟：①求出函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率；②寫出切線的點(diǎn)斜式方程；③化簡整理. 14. 若滿足約束條件 則

11、的最大值為__________． 【答案】9 【解析】分析：作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知當(dāng)時(shí)，. 點(diǎn)睛：線性規(guī)劃問題是高考中常考考點(diǎn)，主要以選擇及填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等. 15. 已知，則__________． 【答案】 【解析】分析：利用兩角差的正切公式展開，解方程可得. 詳解：， 解方程得. 點(diǎn)睛：本題主要考查學(xué)生對于兩角和差公式的掌握情況，屬于簡單題型，解決此類問題的核心是要公式記憶準(zhǔn)確，特殊角的三角函數(shù)值運(yùn)算準(zhǔn)確. 16. 已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為

12、，若的面積為，則該圓錐的體積為__________． 【答案】8π 【解析】分析：作出示意圖，根據(jù)條件分別求出圓錐的母線，高，底面圓半徑的長，代入公式計(jì)算即可. 詳解：如下圖所示， 又， 解得，所以， 所以該圓錐的體積為. 點(diǎn)睛：此題為填空題的壓軸題，實(shí)際上并不難，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，利用平面幾何知識求解相應(yīng)線段長，代入圓錐體積公式即可. 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23為選考題?？忌鶕?jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．

13、 （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】解： （1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2． 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16． 【解析】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果，（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值. 詳解：（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2．

14、 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16． 點(diǎn)睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件. 18. 下圖是某地區(qū)2000年至2020年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖． 為了預(yù)測該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2020年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2020年至2020年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型②：． （1）分別

15、利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； （2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由． 【答案】解： （1）利用模型①，該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 =–30.4+13.5×19=226.1（億元）． 利用模型②，該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 =99+17.5×9=256.5（億元）． （2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 理由如下： （i）從折線圖可以看出，2000年至2020年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①

16、不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢．2020年相對2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2020年至2020年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2020年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2020年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2020年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． （ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對于2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 以上給出了2種理由

17、，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分． 【解析】分析：（1）兩個(gè)回歸直線方程中無參數(shù)，所以分別求自變量為2020時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)值，就得結(jié)果，（2）根據(jù)折線圖知2000到2020，與2020到2020是兩個(gè)有明顯區(qū)別的直線，且2020到2020的增幅明顯高于2000到2020，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2020的預(yù)測. 詳解：（1）利用模型①，該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 =–30.4+13.5×19=226.1（億元）． 利用模型②，該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 =99+17.5×9=256.5（億元）． （2）利

18、用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 理由如下： （i）從折線圖可以看出，2000年至2020年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢．2020年相對2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2020年至2020年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2020年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2020年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2020年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． （ii

19、）從計(jì)算結(jié)果看，相對于2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分． 點(diǎn)睛：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預(yù)測值；若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過點(diǎn)求參數(shù). 19. 如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)． （1）證明：平面； （2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離． 【答案】解： （1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC

20、，且OP=． 連結(jié)OB．因?yàn)锳B=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2． 由知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC． （2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離． 由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°． 所以O(shè)M=，CH==． 所以點(diǎn)C到平面POM的距離為． 【解析】分析：（1）連接，欲證平面，只需證明即可；（2）過點(diǎn)作，垂足為，只需論證的長即為所求，再利用平面幾何知識求解即可. 詳解：（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)

21、P⊥AC，且OP=． 連結(jié)OB．因?yàn)锳B=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2． 由知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC． （2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離． 由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°． 所以O(shè)M=，CH==． 所以點(diǎn)C到平面POM的距離為． 點(diǎn)睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明為主，解題的核心是能將問題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二問可以通過作出點(diǎn)到平面的距離線段求解，也可

22、利用等體積法解決. 20. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，． （1）求的方程； （2）求過點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 【答案】解： （1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）． 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以． 由題設(shè)知，解得k=–1（舍去），k=1． 因此l的方程為y=x–1． （2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為 ，即． 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x0，y0），則 解得或 因此所求圓的方程為 或． 詳解：（1）由題意得F（1，0）

23、，l的方程為y=k（x–1）（k>0）． 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以． 由題設(shè)知，解得k=–1（舍去），k=1． 因此l的方程為y=x–1． （2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為 ，即． 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x0，y0），則 解得或 因此所求圓的方程為 或． 點(diǎn)睛：確定圓的方程方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程． (2)待定系數(shù)法 ①若已知條件與圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，從而求出的值； ②若已知條件沒有明確給出圓心

24、或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進(jìn)而求出D、E、F的值． 21. 已知函數(shù)． （1）若，求的單調(diào)區(qū)間； （2）證明：只有一個(gè)零點(diǎn)． 【答案】解： （1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=，f ′（x）=． 令f ′（x）=0解得x=或x=． 當(dāng)x∈（–∞，）∪（，+∞）時(shí)，f ′（x）>0； 當(dāng)x∈（，）時(shí)，f ′（x）<0． 故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減． （2）由于，所以等價(jià)于． 設(shè)=，則g ′（x）=≥0，僅當(dāng)x=0時(shí)g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個(gè)零

25、點(diǎn)，從而f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)． 又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn)． 綜上，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)． 【解析】分析：（1）將代入，求導(dǎo)得，令求得增區(qū)間，令求得減區(qū)間；（2）令，即，則將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)問題，研究函數(shù)單調(diào)性可得. 詳解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=，f ′（x）=． 令f ′（x）=0解得x=或x=． 當(dāng)x∈（–∞，）∪（，+∞）時(shí)，f ′（x）>0； 當(dāng)x∈（，）時(shí)，f ′（x）<0． 故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減． （2）由于，所以等價(jià)于． 設(shè)=，則g ′（x）=≥0，僅當(dāng)x=0時(shí)g ′（x

26、）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)． 又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn)． 綜上，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)． 點(diǎn)睛：（1）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③由（或）解出相應(yīng)的的取值范圍，當(dāng)時(shí)，在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在相應(yīng)區(qū)間上是減增函數(shù). （2）本題第二問重在考查零點(diǎn)存在性問題，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為求證函數(shù)有唯一零點(diǎn)，可先證明其單調(diào)，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行論證. （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。

27、 22. [選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）． （1）求和的直角坐標(biāo)方程； （2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率． 【答案】解： （1）曲線的直角坐標(biāo)方程為． 當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為， 當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為． （2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程 ．① 因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為，，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 【解析】分析：(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)代入消元法將直線的參

28、數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，此時(shí)要注意分 與兩種情況.(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得之間關(guān)系，求得，即得的斜率． 詳解：（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為． 當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為， 當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為． （2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程 ．① 因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為，，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用 過點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0) 若M1，M2是l上的兩點(diǎn)，其對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則 (

29、1)M1，M2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若線段M1M2的中點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為t，則t＝，中點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離|MM0|＝|t|＝. (4)若M0為線段M1M2的中點(diǎn)，則t1＋t2＝0. 23. [選修4－5：不等式選講] 設(shè)函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （2）若，求的取值范圍． 【答案】解： （1）當(dāng)時(shí)， 可得的解集為． （2）等價(jià)于． 而，且當(dāng)時(shí)等號成立．故等價(jià)于． 由可得或，所以的取值范圍是． 【解析】分析：（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍． 詳解：（1）當(dāng)時(shí)， 可得的解集為． （2）等價(jià)于． 而，且當(dāng)時(shí)等號成立．故等價(jià)于． 由可得或，所以的取值范圍是． 點(diǎn)睛：含絕對值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向．