《2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷2含解析）（通用）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷2含解析）（通用）（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷2） 注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。 2．作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則化簡復(fù)數(shù)，即得結(jié)果. 詳解：選D. 點睛：本題考查復(fù)數(shù)除法法則，考查學(xué)生基本運算能力. 2. 已知集合，則中元素的個數(shù)為 A.

2、 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根據(jù)枚舉法，確定圓及其內(nèi)部整點個數(shù). 詳解： ， 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 所以共有9個，選A. 點睛：本題考查集合與元素關(guān)系，點與圓位置關(guān)系，考查學(xué)生對概念理解與識別. 3. 函數(shù)的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像. 詳解：為奇函數(shù)，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此選B. 點睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，

3、由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)． 4. 已知向量，滿足，，則 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果. 詳解：因為 所以選B. 點睛：向量加減乘： 5. 雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果. 詳解： 因為漸近線方程為，所

4、以漸近線方程為，選A. 點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：. 6. 在中，，，，則 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB. 詳解：因為 所以，選A. 點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的. 7. 為計算，設(shè)計了下面的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)程序框圖可知先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，最后再相減.因此累加量為隔項. 詳

5、解：由得程序框圖先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，最后再相減.因此在空白框中應(yīng)填入，選B. 點睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項. 8. 我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解

6、析】分析：先確定不超過30的素數(shù)，再確定兩個不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率. 詳解：不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因為，所以隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C. 點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法： (1)列舉法. (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化. (4)排列組合法：適用于限

7、制條件較多且元素數(shù)目較多的題目. 9. 在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果. 詳解：以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以, 因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C. 點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第

8、四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 10. 若在是減函數(shù)，則的最大值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值 詳解：因為， 所以由得 因此，從而的最大值為，選A. 點睛：函數(shù)的性質(zhì)： (1). (2)周期 (3)由 求對稱軸， (4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間. 11. 已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則 A. B. 0 C. 2 D. 50 【答案】C 【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果. 詳解：因為是定

9、義域為的奇函數(shù)，且， 所以, 因此， 因為，所以， ，從而，選C. 點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解． 12. 已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率. 詳解：因為為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c, 由斜率為得，， 由正弦定理得, 所以，選D. 點睛：解決橢圓和

10、雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13. 曲線在點處的切線方程為__________． 【答案】 【解析】分析：先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式求切線方程. 詳解： 點睛：求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點. 14. 若滿足約束條件 則的最大值為__

11、________． 【答案】9 【解析】分析：先作可行域，再平移直線，確定目標(biāo)函數(shù)最大值的取法. 詳解：作可行域，則直線過點A(5,4)時取最大值9. 點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得. 15. 已知，，則__________． 【答案】 【解析】分析：先根據(jù)條件解出再根據(jù)兩角和正弦公式化簡求結(jié)果. 詳解：因為，， 所以， 因此 點睛：三角函數(shù)求值的三種類型

12、 (1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù). (2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異. ①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用； ②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的. (3)給值求角：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角. 16. 已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________． 【答案】 【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線長，再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最

13、后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果. 因為與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為 因此圓錐的側(cè)面積為 點睛：本題考查線面角，圓錐的側(cè)面積，三角形面積等知識點，考查學(xué)生空間想象與運算能力 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17. 記為等差數(shù)列的前項和，已知，． （1）求的通項公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值為–16． 【解析】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和

14、公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式得結(jié)果，（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值. 詳解：（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2． 所以{an}的通項公式為an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以當(dāng)n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16． 點睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域為正整數(shù)集這一限制條件. 18. 下圖是某地區(qū)2000年至2020年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖． 為

15、了預(yù)測該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2020年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2020年至2020年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型②：． （1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； （2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由． 【答案】（1）利用模型①預(yù)測值為226.1，利用模型②預(yù)測值為256.5，（2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 【解析】分析：（1）兩個回歸直線方程中無參數(shù)，所以分別求自變量為2020時所對應(yīng)的函數(shù)值，就得結(jié)果，（2）根據(jù)折線

16、圖知2000到2020，與2020到2020是兩個有明顯區(qū)別的直線，且2020到2020的增幅明顯高于2000到2020，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2020的預(yù)測. 詳解：（1）利用模型①，該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 =–30.4+13.5×19=226.1（億元）． 利用模型②，該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 =99+17.5×9=256.5（億元）． （2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 理由如下： （i）從折線圖可以看出，2000年至2020年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機(jī)散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利

17、用2000年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢．2020年相對2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2020年至2020年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2020年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2020年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2020年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． （ii）從計算結(jié)果看，相對于2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模

18、型②得到的預(yù)測值更可靠． 以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分． 點睛：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預(yù)測值；若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過點求參數(shù). 19. 設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，． （1）求的方程； （2）求過點，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 【答案】(1) y=x–1,(2)或． 【解析】分析：(1)根據(jù)拋物線定義得，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理代入求出斜率，即得直線的方程；（2）先求AB中垂線方程，即得圓心坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)圓心到準(zhǔn)線距離等于半徑得等量關(guān)

19、系，解方程組可得圓心坐標(biāo)以及半徑，最后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 詳解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）． 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以． 由題設(shè)知，解得k=–1（舍去），k=1． 因此l的方程為y=x–1． （2）由（1）得AB的中點坐標(biāo)為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為 ，即． 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x0，y0），則 解得或 因此所求圓的方程為 或． 點睛：確定圓的方程方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程． (2)待定系數(shù)法 ①若已知條件與圓心和半徑有關(guān)，

20、則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，從而求出的值； ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進(jìn)而求出D、E、F的值． 20. 如圖，在三棱錐中，，，為的中點． （1）證明：平面； （2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值． 【答案】（1）見解析（2） 【解析】分析：(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過計算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個法向量夾角，根據(jù)二面角

21、與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果. 詳解：（1）因為，為的中點，所以，且. 連結(jié).因為，所以為等腰直角三角形， 且，. 由知. 由知平面. （2）如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知得取平面的法向量. 設(shè)，則. 設(shè)平面的法向量為. 由得，可取， 所以.由已知得. 所以.解得（舍去），. 所以.又，所以. 所以與平面所成角的正弦值為. 點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二

22、，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 21. 已知函數(shù)． （1）若，證明：當(dāng)時，； （2）若在只有一個零點，求． 【答案】（1）見解析（2） 詳解：（1）當(dāng)時，等價于． 設(shè)函數(shù)，則． 當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減． 而，故當(dāng)時，，即． （2）設(shè)函數(shù)． 在只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個零點． （i）當(dāng)時，，沒有零點； （ii）當(dāng)時，． 當(dāng)時，；當(dāng)時，． 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 故是在的最小值． ①若，即，在沒有零點； ②若，即，在只有一個零點； ③若，即，由于，所以在有一個零點， 由（

23、1）知，當(dāng)時，，所以． 故在有一個零點，因此在有兩個零點． 綜上，在只有一個零點時，． 點睛：利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 (1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解. (2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解. (3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解. （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22. [選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. （1）求和的直角坐標(biāo)方程； （2）若曲線截直線所得線段的中點

24、坐標(biāo)為，求的斜率． 【答案】（1）當(dāng)時，的直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時，的直角坐標(biāo)方程為．（2） 【解析】分析：(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，此時要注意分 與兩種情況.(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得之間關(guān)系，求得，即得的斜率． 詳解：（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為． 當(dāng)時，的直角坐標(biāo)方程為， 當(dāng)時，的直角坐標(biāo)方程為． （2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程 ．① 因為曲線截直線所得線段的中點在內(nèi)，所以①有兩個解，設(shè)為，，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 點睛

25、：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用 過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負(fù)、可為0) 若M1，M2是l上的兩點，其對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則 (1)M1，M2兩點的坐標(biāo)分別是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若線段M1M2的中點M所對應(yīng)的參數(shù)為t，則t＝，中點M到定點M0的距離|MM0|＝|t|＝. (4)若M0為線段M1M2的中點，則t1＋t2＝0. 23. [選修4－5：不等式選講] 設(shè)函數(shù)． （1）當(dāng)時，求

26、不等式的解集； （2）若，求的取值范圍． 【答案】（1）,(2) 【解析】分析：（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍． 詳解：（1）當(dāng)時， 可得的解集為． （2）等價于． 而，且當(dāng)時等號成立．故等價于． 由可得或，所以的取值范圍是． 點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．