《2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（天津卷含解析）(1)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（天津卷含解析）(1)（20頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（天津卷） 本試卷分為第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第I卷1至2頁，第II卷3至5頁。 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！ 第I卷 注意事項(xiàng)： 1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。 2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。 參考公式：

2、 如果事件A，B互斥，那么 . 如果事件A，B相互獨(dú)立，那么 . 棱柱的體積公式，其中表示棱柱的底面面積，表示棱柱的高. 棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高. 一. 選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 設(shè)全集為R，集合，，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由題意首先求得，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：由題意可得：， 結(jié)合交集的定義可得：. 本題選擇B選項(xiàng). 點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算法則，補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 2. 設(shè)變

3、量x，y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 A. 6 B. 19 C. 21 D. 45 【答案】C 【解析】分析：首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定函數(shù)取得最大值的點(diǎn)，最后求解最大值即可. 詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示， 結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值， 聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：， 據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：. 本題選擇C選項(xiàng). 點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)b＜0時(shí)，直線過可行域

4、且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大. 3. 閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為20，則輸出T的值為 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】分析：由題意結(jié)合流程圖運(yùn)行程序即可求得輸出的數(shù)值. 詳解：結(jié)合流程圖運(yùn)行程序如下： 首先初始化數(shù)據(jù)：， ，結(jié)果為整數(shù)，執(zhí)行，，此時(shí)不滿足； ，結(jié)果不為整數(shù)，執(zhí)行，此時(shí)不滿足； ，結(jié)果為整數(shù)，執(zhí)行，，此時(shí)滿足； 跳出循環(huán)，輸出. 本題選擇B選項(xiàng). 點(diǎn)睛：識(shí)別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路： (1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．

5、 (2)要識(shí)別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所解決的實(shí)際問題． (3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證． 4. 設(shè)，則“”是“”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不重復(fù)條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】分析：首先求解絕對(duì)值不等式，然后求解三次不等式即可確定兩者之間的關(guān)系. 詳解：絕對(duì)值不等式 ， 由 . 據(jù)此可知是的充分而不必要條件. 本題選擇A選項(xiàng). 點(diǎn)睛：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，充分不必要條件的判斷等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 5. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為 A. B.

6、 C. D. 【答案】D 【解析】分析：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知： ，，， 據(jù)此可得：. 本題選擇D選項(xiàng). 點(diǎn)睛：對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確． 6. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù) A. 在

7、區(qū)間上單調(diào)遞增 B. 在區(qū)間上單調(diào)遞減 C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增 D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減 【答案】A 【解析】分析：由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可. 詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知： 將的圖象向右平移個(gè)單位長度之后的解析式為： . 則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：， 即， 令可得一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：， 即， 令可得一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為：. 本題選擇A選項(xiàng). 點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 7. 已知雙曲線的離心率為2，過右

8、焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn). 設(shè)A，B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意首先求得A,B的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得b的值，之后求解a的值即可確定雙曲線方程. 詳解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c>0），則， 由可得：， 不妨設(shè)：， 雙曲線的一條漸近線方程為：， 據(jù)此可得：，， 則，則， 雙曲線的離心率：， 據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為. 本題選擇C選項(xiàng). 點(diǎn)睛：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線

9、標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可. 8. 如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，. 若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)得到數(shù)量積的坐標(biāo)表示，最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，， 點(diǎn)在上，則，設(shè)，則： ，即， 據(jù)此可得：，且： ，， 由數(shù)量

10、積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得： ， 整理可得：， 結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值. 本題選擇A選項(xiàng). 點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用． 第Ⅱ卷 注意事項(xiàng)： 1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。 2. 本卷共12小題，共110分。 二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。 9. i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)___________. 【答案】4–i 【解析】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳

11、解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得：. 點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 10. 在的展開式中，的系數(shù)為____________. 【答案】 【解析】分析：由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式得到r的值，然后求解的系數(shù)即可. 詳解：結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式有：， 令可得：，則的系數(shù)為：. 點(diǎn)睛：(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所

12、求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)． (2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解． 11. 已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為__________. 【答案】 【解析】分析：由題意首先求解底面積，然后結(jié)合四棱錐的高即可求得四棱錐的體積. 詳解：由題意可得，底面四邊形為邊長為的正方形，其面積， 頂點(diǎn)到底面四邊形的距離為， 由四棱錐的體積公式可得：. 點(diǎn)睛：本題主要考查四棱錐的體積計(jì)算，空間想象能力等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 12. 已知圓的圓心為C，直線(為參數(shù))與

13、該圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的面積為___________. 【答案】 【解析】分析：由題意首先求得圓心到直線的距離，然后結(jié)合弦長公式求得弦長，最后求解三角形的面積即可. 詳解：由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：， 直線的直角坐標(biāo)方程為：，即， 則圓心到直線的距離：， 由弦長公式可得：， 則. 點(diǎn)睛：處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法． 13. 已知，且，則的最小值為_____________. 【答案】 【解析】分析：由題意首先求得a-3b的值，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可

14、求得最終結(jié)果，注意等號(hào)成立的條件. 詳解：由可知， 且：，因?yàn)閷?duì)于任意x，恒成立， 結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立. 綜上可得的最小值為. 點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤． 14. 已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是______________. 【答案】 【解析】分析：由題意分類討論和兩種情況，然后繪制函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合即可求得最終結(jié)果. 詳解：分類討論：當(dāng)時(shí)，方程即， 整理可得：， 很明顯

15、不是方程的實(shí)數(shù)解，則， 當(dāng)時(shí)，方程即， 整理可得：， 很明顯不是方程的實(shí)數(shù)解，則， 令， 其中， 原問題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍. 結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù)的圖象， 同時(shí)繪制函數(shù)的圖象如圖所示，考查臨界條件， 結(jié)合觀察可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 點(diǎn)睛：本題的核心在考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法包括： (1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才

16、能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)． (3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)． 三.解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 15. 在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知. （I）求角B的大小； （II）設(shè)a=2，c=3，求b和的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，. 【解析】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，則B=． （Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．結(jié)合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得 詳解：（Ⅰ）在△ABC中，由正

17、弦定理，可得， 又由，得， 即，可得． 又因?yàn)?，可得B=． （Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=， 有，故b=． 由，可得．因?yàn)閍

18、抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望； （ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率. 【答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）． 【解析】分析：（Ⅰ）由分層抽樣的概念可知應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．且分布列為超幾何分布，即P（X=k）=（k

19、=0，1，2，3）．據(jù)此求解分布列即可，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為． （ii）由題意結(jié)合題意和互斥事件概率公式可得事件A發(fā)生的概率為． 詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2， 由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人， 因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3． P（X=k）=（k=0，1，2，3）． 所以，隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望． （ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”

20、； 事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”， 則A=B∪C，且B與C互斥， 由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)， 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=． 所以，事件A發(fā)生的概率為． 點(diǎn)睛：本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系

21、式巧解：(1) ；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比． 17. 如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2. （I）若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：； （II）求二面角的正弦值； （III）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長. 【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ). 【解析】分析：依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系. （Ⅰ）由題意可得：平面CDE的一個(gè)法向量n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），故，M

22、N∥平面CDE． （Ⅱ）依題意可得平面BCE的一個(gè)法向量n=（0，1，1）．平面BCF的一個(gè)法向量為m=（0，2，1）．據(jù)此計(jì)算可得二面角E–BC–F的正弦值為． （Ⅲ）設(shè)線段DP的長為h（h∈［0，2］），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，h），結(jié)合空間向量的結(jié)論計(jì)算可得線段的長為. 詳解：依題意，可以建立以D為原點(diǎn)， 分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖）， 可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0）， E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）． （Ⅰ）依題意=（0，2，0）

23、，=（2，0，2）． 設(shè)n0=(x，y，z)為平面CDE的法向量， 則 即 不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）． 又=（1，，1），可得， 又因?yàn)橹本€MN平面CDE，所以MN∥平面CDE． （Ⅱ）依題意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）． 設(shè)n=（x，y，z）為平面BCE的法向量， 則 即 不妨令z=1，可得n=（0，1，1）． 設(shè)m=（x，y，z）為平面BCF的法向量， 則 即 不妨令z=1，可得m=（0，2，1）． 因此有cos=，于是sin=． 所以，二面角E–BC–F的正弦值為． （Ⅲ）設(shè)線段DP的長為h（h∈

24、［0，2］），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，h）， 可得． 易知，=（0，2，0）為平面ADGE的一個(gè)法向量， 故， 由題意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］． 所以線段的長為. 點(diǎn)睛：本題主要考查空間向量的應(yīng)用，線面平行的證明，二面角問題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 18. 設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為，是等差數(shù)列.已知，，，. （I）求和的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為， （i）求； （ii）證明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）證明見解析. 【解析】分析：（I）由題意得到關(guān)于q的方程，解方程可得，則.結(jié)合等差數(shù)列

25、通項(xiàng)公式可得 （II）（i）由（I），有，則. （ii）因?yàn)椋秧?xiàng)求和可得. 詳解：（I）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由 可得.因?yàn)?，可得，? 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得 由，可得 從而 故 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為， 數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （II）（i）由（I），有， 故. （ii）因?yàn)椋? 所以. 點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，數(shù)列求和的方法，數(shù)列中的指數(shù)裂項(xiàng)方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 19. 設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B. 已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且. （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)直線l：與

26、橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q. 若(O為原點(diǎn)) ，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或 【解析】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得a=3，b=2．則橢圓的方程為． （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2）．由題意可得5y1=9y2．由方程組可得．由方程組可得．據(jù)此得到關(guān)于k的方程，解方程可得k的值為或 詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知知， 又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，， 由，可得ab=6，從而a=3，b=2． 所以，橢圓的方程為． （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2）． 由已知

27、有y1>y2>0，故． 又因?yàn)?，而∠OAB=，故． 由，可得5y1=9y2． 由方程組消去x，可得． 易知直線AB的方程為x+y–2=0， 由方程組消去x，可得． 由5y1=9y2，可得5（k+1）=， 兩邊平方，整理得， 解得，或． 所以，k的值為或 點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意： (1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件； (2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題． 20. 已知函數(shù)，，其中a>1. （I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （II）若曲線在點(diǎn)處的切

28、線與曲線在點(diǎn) 處的切線平行，證明； （III）證明當(dāng)時(shí)，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線. 【答案】(Ⅰ)單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)證明見解析. 【解析】分析：（I）由題意可得.令，解得x=0.據(jù)此可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為. （II）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.原問題等價(jià)于.兩邊取對(duì)數(shù)可得. （III）由題意可得兩條切線方程分別為l1：.l2：.則原問題等價(jià)于當(dāng)時(shí)，存在，，使得l1和l2重合.轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，關(guān)于x1的方程存在實(shí)數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，令，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，據(jù)此可證得存在實(shí)

29、數(shù)t，使得，則題中的結(jié)論成立. 詳解：（I）由已知，，有. 令，解得x=0. 由a>1，可知當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表： x 0 0 + 極小值 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為. （II）由，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為. 由，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為. 因?yàn)檫@兩條切線平行，故有，即. 兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)，得，所以. （III）曲線在點(diǎn)處的切線l1：. 曲線在點(diǎn)處的切線l2：. 要證明當(dāng)時(shí)，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線， 只需證明當(dāng)時(shí)，存在，，使得l1和l2重合. 即只需證明當(dāng)時(shí)，方程組有解，

30、 由①得，代入②，得. ③ 因此，只需證明當(dāng)時(shí)，關(guān)于x1的方程③存在實(shí)數(shù)解. 設(shè)函數(shù)， 即要證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn). ，可知時(shí)，； 時(shí)，單調(diào)遞減， 又，， 故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即. 由此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 在處取得極大值. 因?yàn)椋剩? 所以. 下面證明存在實(shí)數(shù)t，使得. 由（I）可得， 當(dāng)時(shí)， 有 ， 所以存在實(shí)數(shù)t，使得 因此，當(dāng)時(shí)，存在，使得. 所以，當(dāng)時(shí)，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線. 點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．