《2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷1含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 理（全國卷1含解析）（23頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、絕密★啟用前 2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 課標(biāo)1理科數(shù)學(xué) 2020年全國1高考數(shù)學(xué)與2020全國1高考數(shù)學(xué)難度方面相對(duì)持平，在選擇題和填空題方面難度有所提升，解答題方面難度有所減緩.在保持穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，進(jìn)行適度創(chuàng)新，尤其是選擇填空壓軸題.試卷內(nèi)容上體現(xiàn)新課程理念，貼近中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，堅(jiān)持對(duì)基礎(chǔ)性的考查，同時(shí)加大了綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查，如理科第2、3、10、11、12、16、19題，文科第2、4、9、12、19題. 1.體現(xiàn)新課標(biāo)理念，重視對(duì)傳統(tǒng)核心考點(diǎn)考查的同時(shí)，增加了對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查，如理科第2題，文科第4題以中國古代的太極圖為背景，考查幾何概型. 2.關(guān)注通性

2、通法.試卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，體現(xiàn)了以知識(shí)為載體，以方法為依托，以能力考查為目的的命題要求. 3.考查了數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)的科學(xué)與人文價(jià)值，體現(xiàn)了知識(shí)與能力并重、科學(xué)與人文兼顧的精神.如理科第6、10、13、15題 ，文科第5、12、13、16題對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查；理科第11，文科第9題對(duì)函數(shù)與方程思想的考查；理科第12、16題對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)與人文價(jià)值的考查. 4.體現(xiàn)了創(chuàng)新性，如理科第19題，文科第19題立意新、情景新、設(shè)問新，增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力. 命題趨勢：（1）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)：以函數(shù)性質(zhì)為基礎(chǔ)，考查函數(shù)與不等式綜合知識(shí)，如理科第5題，；以基

3、本初等函數(shù)為背景考查構(gòu)造新函數(shù)解決比較大小問題，如理科第11題；對(duì)含參單調(diào)性以及零點(diǎn)問題的考查，如理科21題，比較常規(guī). （2） 三角函數(shù)與解三角形知識(shí)：對(duì)三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的考查，如理科第9題；；對(duì)解三角形問題的考查，如理科第17題.重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與運(yùn)算能力的考查. （3） 數(shù)列知識(shí)：對(duì)數(shù)列性質(zhì)的考查，如理科第4題；突出了數(shù)列與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，考查學(xué)生分析問 題的能力，如理科第12題，難點(diǎn)較大.整體考查比較平穩(wěn)，沒有出現(xiàn)偏、怪的數(shù)列相關(guān)考點(diǎn). （4）立體幾何知識(shí)：對(duì)立體幾何圖形的認(rèn)識(shí)與考查，如理科第7題，試題難度不大，比較常規(guī)；對(duì)簡單幾何體的體積知識(shí)的考查，如理科第16題，用到函數(shù)知

4、識(shí)進(jìn)行解決，體現(xiàn)了綜合性，難度較大，立體幾何解答題的考查較常規(guī)，如理科對(duì)二面角的考查. （5）解析幾何知識(shí)：對(duì)圓錐曲線綜合知識(shí)的考查，如理科第15題，難度偏大；解答題考查較為常規(guī)，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，難度中等，重視對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的考查. 【試卷解析】 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則 A． B． C． D． 【答案】A 2．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.

5、在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：設(shè)正方形邊長為，則圓的半徑為，則正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對(duì)稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計(jì)算公式得，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是，選B. 秒殺解析：由題意可知，此點(diǎn)取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個(gè)面積的比例，由圖可知其概率，故選B. 【考點(diǎn)】幾何概型 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于幾何概型的計(jì)算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時(shí)間），其次計(jì)算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A

6、區(qū)域的幾何度量，最后計(jì)算. 3．設(shè)有下面四個(gè)命題 ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)，則. 其中的真命題為 A. B． C． D． 【答案】B 4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】 試題分析：設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C. 秒殺解析：因?yàn)?，即，則，即，解得，故選C. 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本量求解 【名師點(diǎn)睛】求解等差數(shù)列基本量問題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則. 5．函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的

7、的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】D 6．展開式中的系數(shù)為 A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【解析】 試題分析：因?yàn)?，則展開式中含的項(xiàng)為，展開式中含的項(xiàng)為，故前系數(shù)為，選C. 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問題，第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng)，分析好的項(xiàng)共有幾項(xiàng)，進(jìn)行加和.這類問題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況，尤其是兩個(gè)二項(xiàng)式展開式中的不同. 7．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形

8、.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為 A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 8．右面程序框圖是為了求出滿足3n?2n>1000的最小偶數(shù)n，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入 A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A1 000和n=n+1 D．A1 000和n=n+2 【答案】D 9．已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是 A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點(diǎn)的橫坐

9、標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C2 C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C2 【答案】D 【解析】 試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)名不同，所以先將利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成與相同的函數(shù)名，則，則由上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍變?yōu)椋賹⑶€向左平移個(gè)單位得到，故選D. 【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖像變換. 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)圖像變換問題，首先要將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)換成同名函數(shù)，利用誘導(dǎo)公式，需要重點(diǎn)記住；另外，在

10、進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮，而先伸縮后平移在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，無論哪種變換，記住每一個(gè)變換總是對(duì)變量而言. 10．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A ，所以 11．設(shè)x、y、z為正數(shù)，且，則 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【答案】D 12．幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)

11、數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是 A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】A 【解析】試題分析：由題意得，數(shù)列如下： 則該數(shù)列的前項(xiàng)和為 要使，有，此時(shí)，所以是之后的等比數(shù)列的部分和，即， 所以，則，此時(shí)， 對(duì)應(yīng)滿足的最小條件為

12、，故選A. 【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和. 【名師點(diǎn)睛】本題非常巧妙的將實(shí)際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外，本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個(gè)數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 13．已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= . 【答案】 14． 設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為 . 【答案】 15． 已知雙曲線C：（

13、a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若∠MAN=60°，則C的離心率為________. 【答案】 【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】雙曲線漸近線是其獨(dú)有的性質(zhì)，所以有關(guān)漸近線問題受到出題者的青睞.做好這一類問題要抓住以下重點(diǎn)：①求解漸近線，直接把雙曲線后面的1換成0即可；②雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是；③雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離是. 16．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.

14、沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______. 【答案】 【考點(diǎn)】簡單幾何體的體積 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三棱錐最值問題，肯定需要用到函數(shù)的思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)得方式進(jìn)行解決. 三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題

15、，考生根據(jù)要求作答. （一）必考題：共60分. 17．（12分） △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為 （1）求sinBsinC; （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長. 【考點(diǎn)】三角函數(shù)及其變換. 【名師點(diǎn)睛】在處理解三角形問題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對(duì)的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對(duì)的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長

16、的值”，這類問題通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可. 18.（12分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且. （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. 則， 所以二面角的余弦值為. 【考點(diǎn)】面面垂直的證明，二面角平面角的求解 【名師點(diǎn)睛】高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化直線的

17、方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵. 19．（12分） 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． （?。┰囌f明上述監(jiān)控生

18、產(chǎn)過程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，． 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01）． 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則， ，． 試題解析：（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而

19、零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此 . 的數(shù)學(xué)期望為. 20.（12分） 已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn). （2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2， 如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）. 則，得，不符合題設(shè). 從而可設(shè)l：（）.將代入得 由題設(shè)可知. 設(shè)A（x1，y1），B（x

20、2，y2），則x1+x2=，x1x2=. 而 . 由題設(shè)，故. 即. 解得. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，欲使l：，即， 所以l過定點(diǎn)（2，） 【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】橢圓的對(duì)稱性是橢圓的一個(gè)重要性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在橢圓上，可以通過這一方法進(jìn)行判斷；證明直線過定點(diǎn)的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化，找出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系式，從而可以判斷過定點(diǎn)情況.另外，在設(shè)直線方程之前，若題設(shè)中為告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在情況，接著通法是聯(lián)立方程組，求判別式、韋達(dá)定理，根據(jù)題設(shè)關(guān)系進(jìn)行化簡. 21.（12分） 已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性；

21、 （2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍. （二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分. 22．[選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為 . （1）若a=?1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a. 【解析】試題分析：（1）先將曲線和直線l化成普通方程，然后聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線的普通方程為，設(shè)上的點(diǎn)，的距離為.對(duì)a進(jìn)行討23．[選修4—5：不等式選講]（10分） 已知函數(shù)f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范圍. 【解析】 試題分析：（1）將代入，不等式等價(jià)于，對(duì)按，，討論，得出最值的解集；（2）當(dāng)時(shí)，.若的解集包含，