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1、第八章　單元能力測試卷 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．) 1．設(shè)直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為α，且sinα＋cosα＝0，則a，b滿足(　　) A．a(chǎn)＋b＝1　　　　　　　 B．a(chǎn)－b＝1 C．a(chǎn)＋b＝0 D．a(chǎn)－b＝0 答案　D 2．若直線2x－y＋c＝0按向量a＝(1，－1)平移后與圓x2＋y2＝5相切，則c的值為(　　) A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8 答案　A 解析　直線2x－y＋c＝0按a＝(1，－1)平移后得到2x－y＋c－3＝0，此直線與圓x2＋y2＝5相切， ∴

2、r＝＝，∴|c－3|＝5， ∴c－3＝±5　∴c＝8或c＝－2. 3．點P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25內(nèi)弦AB的中點，則直線AB的方程是(　　) A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 答案　A 解析　圓心C(1,0)，則直線AB是過P且與CP垂直的直線，因此直線AB的方程為x－y－3＝0. 4．設(shè)直線l：2x＋y－1＝0，將l繞其上一點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)得一新直線l′，如圖，則直線l′的傾斜角為(　　) A．a(chǎn)rctan3 B．π－arctan3 C．a(chǎn)rctan D．π－arctan

3、 答案　A 解析　設(shè)l的傾斜角為α，則tanα＝－2， tan(α＋)＝＝＝3. ∴直線l′的傾斜角為arctan3. 5．經(jīng)過A(2，－1)和直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝－2x上的圓的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝2 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝2 C．(x－1)2＋(y＋2)2＝ D．(x＋1)2＋(y－2)2＝4 答案　A 解析　注意到A點在直線x＋y＝1上，從而圓心是直線y＝－2x與直線x＋y＝1在A處的垂線y＋1＝x－2的交點，解得圓心為(1，－2)．再求得半徑為，故選A. 6．若P(2，－1)為圓(0≤θ≤2π)的某弦的中點，則

4、該弦所在直線的方程是(　　) A．x－y－3＝0 B．x＋2y＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 答案　A 解析　圓的圓心坐標為(1,0)，于是弦所在直線的斜率為1. 7．已知點B(，0)，點O為坐標原點且點A在圓(x－)2＋(y－)2＝1上，則與的夾角θ的最大值與最小值分別是(　　) A.，0 B.， C.， D.， 答案　C 解析　如右圖所示，過原點O作圓C的兩條切線OA1、OA2，由OC＝2＝2CA1且CA1⊥OA1，得∠A1OC＝∠A2OC＝30°.又∠BOC＝45°，∴∠A1OB＝45°－

5、30°＝15°，∠A2OB＝45°＋30°＝75°. 故向量與的夾角θ的最大值為，最小值為. 8．設(shè)數(shù)列{an}是首項為m，公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項的和，對任意的n∈N*，點(　　) A．在直線mx＋qy－q＝0上 B．在直線qx－my＋m＝0上 C．在直線qx＋my－q＝0上 D．不一定在一條直線上 答案　B 解析　∵＝＝1＋qn＝1＋，即q·an－m·＋m＝0， ∴點在直線qx－my＋m＝0上． 9．已知點M(a，b)在由不等式組確定的平面區(qū)域內(nèi)，則點N(a＋b，a－b)到坐標原點的最大距離為(　　) A．2 B．2 C．4

6、 D．8 答案　B 解析　的最大值為2，|ON|＝的最大值為2，選B. 10．函數(shù)y＝f(x)的圖象是圓心在原點的單位圓在Ⅰ、Ⅲ象限內(nèi)的兩段圓弧，如圖，則不等式f(x)

7、點，則|＋|＝2||，|－|＝||，即2||＝||，當直線x＋y＝a過(2,0)，(0,2)時或過(0，－2)，(－2,0)時恰好有2||＝||成立，即|＋|＝|－|成立．此時，實數(shù)a＝2或a＝－2. 12．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且僅有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離為1，則半徑r的取值范圍是(　　) A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6] 答案　A 解析　∵圓心到直線的距離為5，∴只有4

8、 13．過點P(1,2)且在坐標軸上截距相等的直線方程為________． 答案　x＋y－3＝0或2x－y＝0 解析　由題意可知直線的斜率必存在，當直線在坐標軸上的截距都為0時，可得該直線2x－y＝0；當直線在坐標軸上的截距相等且都為a(a≠0)時， 令＋＝1.∵該直線過點P(1,2)， ∴＋＝1，故a＝3.∴該直線方程為x＋y－3＝0. 14．已知a＝(6,2)，b＝(－4，)，直線l過點A(3，－1)，且與向量a＋2b垂直，則直線l的一般方程是______________． 答案　2x－3y－9＝0 解析　由已知可得a＋2b＝(－2,3)，則直線l的斜率為，則直線l的方程為2

9、x－3y－9＝0. 15．在坐標平面內(nèi)，與點A(1,3)的距離為，且與點B(3,1)的距離為3的直線共有________條． 答案　1 16．已知直線xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，給出以下四個命題： ①直線的傾斜角為α； ②不論α為何值，直線不過原點； ③不論α如何變化，直線總和定圓相切； ④當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形面積小于1. 其中正確命題的序號是________． 答案?、冖? 解析　∵α∈R，直線的傾斜角范圍為[0，π)，∴①錯； ∵O(0,0)不適合xsinα＋ycosα＋1＝0，∴②對； ∵O(0,0)到直線xsinα＋yco

10、sα＋1＝0的距離 d＝＝1， ∴該直線和單位圓x2＋y2＝1相切，∴③對； ∵直線xsinα＋ycosα＋1＝0和坐標軸圍成的三角形的面積S＝·||·||＝||≥1，∴④錯． 三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)已知點P(2，－1)，求： (1)過P點與原點距離為2的直線方程； (2)過P點與原點距離最大的直線方程，最大距離是多少？ (3)是否存在過P點與原點距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，說明理由． 思路點撥　充分運用點到直線的距離公式． 解析　過P點斜率為k的直線方程可設(shè)為y＋1＝k(x

11、－2)即kx－y－2k－1＝0 (1)原點到直線的距離為2，故 ＝2，解之得k＝. 直線方程為3x－4y－10＝0. 又直線x＝2距離原點也為2，且過點(2，－1)，所以直線方程為3x－4y－10＝0或x＝2. (2)原點到直線的距離d＝，整理得(d2－4)k2－4k＋d2－1＝0. ①若d2－4＝0，則k＝； ②若d2－4≠0，由Δ＝16－4(d2－4)(d2－1)≥0，得0≤d≤，所以d的最大值為，此時k＝2，直線方程為2x－y－5＝0. (3)因為原點到直線x＝2的距離為2，又由(2)知0≤d≤，故過點P且與原點距離為6的直線不存在． 18．(本小題滿分12分)已知直線

12、l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25. (1)求證：直線l與圓C總相交； (2)求出相交的弦長的最小值及相應(yīng)的m值． 分析　(1)證直線與圓相交有三法：一、圓心到直線的距離小于圓半徑；二、直線與圓的方程組有兩解；三、直線總過圓內(nèi)的點．比較三法，選擇計算量小的． (2)圓是確定的，弦長最小，則弦心距最大，可計算，可借已知幾何知識． 解析　(1)將l的方程變形為(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0， 解方程組得即直線l過定點(3,1)．∵(3－1)2＋(1－2)2<25， ∴點(3,1)在圓C內(nèi)，于是直線l與圓C總相交． (2)當圓心

13、(1,2)和定點(3,1)的連線l1與l垂直時，弦長最短． ∵kl1＝－，kl＝－，∴－＝2 ∴m＝－.此時最短的弦長為2＝4. 19．(本小題滿分12分)在直角坐標系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線x－y＝4相切． (1)求圓O的方程； (2)圓O與x軸相交于A，B兩點，圓內(nèi)的動點P滿足PA，PO，PB成等比數(shù)列，求·的取值范圍． 解析　(1)依題設(shè)，圓O的半徑r等于原點O到直線x－y＝4的距離，即r＝＝2.得圓O的方程為x2＋y2＝4. (2)不妨設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，x1

14、|PB|成等比數(shù)列，得 ·＝x2＋y2， 即x2－y2＝2. ·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y) ＝x2－4＋y2＝2(y2－1)． 由于點P在圓O內(nèi)，故由此得y2<1. 所以·的取值范圍為[－2,0)． 20．(本小題滿分12分)電視臺為某個廣告公司特約播放兩套片集．其中片集甲每集播映時間為20 min，插播廣告時間為1 min，電視觀眾為60萬，片集乙每集播映時間為10 min，插播廣告時間為1 min，收視觀眾為20萬．廣告公司規(guī)定每周至少有6 min廣告，而電視臺每周只能為該公司提供不多于86 min的節(jié)目時間．電視臺每周應(yīng)播映兩套片集各多少，才能獲得最高的收視率？

15、 解析　設(shè)片集甲播映x集，片集乙播映y集，于是就可將問題中的文字語言轉(zhuǎn)換為下列不等式組其中x≥0，y≥0，x∈N，y∈N. 要使收視率最高，則只要z＝60x＋20y最大即可．接下來，將上面的不等式組轉(zhuǎn)化為圖形，由圖可知，當x＝2，y＝4時，z＝60x＋20y取得最大值200萬． 故電視臺每周片集甲和片集乙分別播映2集和4集，其收視率最高． 21．(本小題滿分12分)已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值？ 解析　解法一　如圖，∵點P在直線3x＋4y＋8＝0上，∴可設(shè)P

16、(x，－2－x)，C點坐標(1,1)，S四邊形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|×|AC|＝|AP|. ∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1. ∴當|PC|最小時，|AP|最小，四邊形PACB的面積最?。? ∵|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋x)2＝x2＋x＋10＝(x＋1)2＋9， ∴|PC|min＝3， ∴四邊形PACB面積的最小值為2. 解法二　由解法一可知，需求|PC|的最小值，即求C到直線3x＋4y＋8＝0的距離． ∵C(1,1)，∴|PC|＝＝3， ∴S四邊形PACB＝2. 22．(本小題滿分12分)已知定點A(0,1

17、)、B(0，－1)、C(1,0)，動點P滿足·＝k||2. (1)求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線； (2)當k＝2時，求|2＋|的最大值和最小值． 解析　(1)設(shè)動點的坐標為P(x，y)，則＝(x，y－1)，＝(x，y＋1)，＝(x－1，y)． ∵·＝k||2， ∴x2＋y2－1＝k[(x－1)2＋y2]， (1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx－k－1＝0. 若k＝1，則方程為x＝1，表示過點(1,0)平行于y軸的直線． 若k≠1，則方程化為(x＋)2＋y2＝()2，表示以(，0)為圓心，以為半徑的圓． (2)當k＝2時，方程化為(x－2)2＋y2＝1. ∵2＋＝2(x，y－1)＋(x，y＋1)＝(3x,3y－1)， ∴|2＋|＝. 又x2＋y2＝4x－3， ∴|2＋|＝. ∵(x－2)2＋y2＝1， ∴令x＝2＋cosθ，y＝sinθ. 36x－6y－26＝36cosθ－6sinθ＋46＝6cos(θ＋φ)＋46 ∵6cos(θ＋φ)＋46∈[46－6，46＋6]， ∴|2＋|的最大值為＝3＋， 最小值為＝－3.