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1、專題階段評估(四) (本欄目內容，在學生用書中以活頁形式分冊裝訂！) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下面有關棱錐的敘述錯誤的是(　　) A．底面是多邊形，側面都是三角形的幾何體是棱錐 B．棱錐的側面都是三角形 C．底面是五邊形的棱錐是五棱錐 D．用平行于底面的平面截棱錐，截去一個小棱錐后剩下的部分是棱臺 答案：　A 2．一個與球心距離為1的平面截球體所得的圓面面積為π，則球的體積為 A.　　　　　　　　　 B. C. D．8π 解析：　由題意，球的半徑為R＝＝，故其體積V＝π()3＝，選

2、A. 答案：　A 3.(2020·遼寧卷)一個正三棱柱的側棱長和底面邊長相等，體積為2，它的三視圖中的俯視圖如圖所示，左視圖是一個矩形，則這個矩形的面積是(　　) A．4 B．2 C．2 D. 解析：　設底面邊長為x，則V＝x3＝2，∴x＝2.由題意知這個正三棱柱的左視圖為長為2，寬為的矩形，其面積為2. 答案：　B 4.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1上的動點，則直線ON，AM的位置關系是(　　) A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直 解析：　取AD的中點E，分別連接EO，

3、A1E，顯然AM和EO，A1E都垂直，所以AM⊥平面A1EON，從而直線NO與AM異面垂直，故選C. 答案：　C 5．已知直線m、l和平面α、β，則α⊥β的充分條件是(　　) A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，l?α C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，m?α 解析：　由?/α⊥β，如圖. 由?/α⊥β，如圖. 由?/α⊥β，如圖. 所以選項A，B，C都不對．又選項D能推出α⊥β，所以D正確．故選D. 答案：　D 6．下列說法中正確的是(　　) ①角的水平放置的直觀圖一定是角 ②相等的角在直觀圖中仍然相等 ③相等的線段在直觀圖

4、中仍然相等 ④若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 解析：　取任意角都可得到角的直觀圖，故①對，畫出等邊三角形的直觀圖可知相等的角在直觀圖中不一定相等，相等的線段在直觀圖中也不一定相等，故②③錯，取任意多邊形，畫出直觀圖，原圖形中的平行直線在直觀圖中仍平行，故④對，故選C. 答案：　C 7．體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積是(　　) A．54 B．54π C．58 D．58π 解析：　設圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，截去的圓錐與原圓錐的高分別為h，H，則＝，

5、 又πR2＝9·πr2，∴R＝3r，∴H＝3h. ∴πR2·H－πr2h＝52. 即πR2·H－π·R2·H＝52，∴πR2H＝54. 答案：　A 8．已知直二面角α－l－β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，點B∈β，BD⊥l，D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝(　　) A．2 B. C. D．1 解析：如圖，連接BC，在直二面角α－l－β中，AC⊥l，∴AC⊥β，∴AC⊥BC. ∴△ABC為直角三角形， ∴BC＝＝. 在Rt△BCD中，BC＝，BD＝1， ∴CD＝＝. 答案：　C 9.如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是

6、(　　) A．22π B．12π C．4π＋24 D．4π＋32 解析：　由幾何體的三視圖可得，此幾何體是上面一個球、下面一個長方體組成的幾何體，此幾何體的表面積S＝4π×12＋2×2×2＋8×3＝4π＋32.故選D. 答案：　D 10.如圖，設A是棱長為a的正方體的一個頂點，過從此頂點出發(fā)的三條棱的中點作截面，截面與正方體各面共同圍成一個多面體，則關于此多面體有以下結論，其中錯誤的是(　　) A．有10個頂點 B．體對角線AC1垂直于截面 C．截面平行于平面CB1D1 D．此多面體的表面積為a2 解析：　此多面體的表面積S＝6a2－3××a×a＋×a×a×＝a2＋a2

7、＝a2.故選D. 答案：　D 11．下列命題中錯誤的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β 解析：　兩個平面α，β垂直時，設交線為l，則在平面α內與l平行的直線都平行于平面β，故A正確；如果平面α內存在直線垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正確；兩個平面都與第三個平面垂直時，易證交線與第三個平面垂直，故C正確；兩個平面α，β垂直時，平

8、面α內與交線平行的直線與β平行，故D錯誤． 答案：　D 12．正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：　如圖，連接BD交AC于O，連接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即為所求．設正方體的棱長為1，則DD1＝1，DO＝，D1O＝， ∴cos∠DD1O＝＝＝. ∴BB1與平面ACD1所成角的余弦值為. 答案：　D 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上) 13．(2020·上海卷)若圓錐的

9、側面積為2π，底面面積為π，則該圓錐的體積為________． 解析：　設圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線長為l，則 ∴∴h＝＝＝， ∴圓錐的體積V＝π·12·＝π. 答案：　π 14．如圖，網格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為________． 解析：　由三視圖知該幾何體如圖所示，ABCD為正方形，邊長為2， PC⊥面ABCD，PC＝2， ∴最長的棱長為PA， PA＝＝＝2. 答案：　2 15．在空間中，有如下命題： ①互相平行的兩條直線在同一個平面內的射影必然是互相平行的兩條直線； ②若平面α∥平

10、面β，則平面α內任意一條直線m∥平面β； ③若平面α與平面β的交線為m，平面α內的直線n⊥直線m，則直線n⊥平面β； ④若平面α內的三點A，B，C到平面β的距離相等，則α∥β. 其中正確命題的個數為________． 解析：　①中，互相平行的兩條直線的射影可能重合；②正確；③中，平面α與平面β不一定垂直，所以直線n就不一定垂直于平面β；④中，若平面α內的三點A，B，C在一條直線上，則平面α與平面β可以相交，所以④錯誤．綜上，只有命題②正確． 答案：　1 16．已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，點E、F分別是棱PC、PD的中點，則 ①棱AB與PD所在直

11、線垂直； ②平面PBC與平面ABCD垂直； ③△PCD的面積大于△PAB的面積； ④直線AE與直線BF是異面直線． 以上結論正確的是________．(寫出所有正確結論的編號) 解析：　由條件可得AB⊥平面PAD， ∴AB⊥PD，故①正確； 若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，從而PA∥PB，這是不可能的，故②錯； S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，由AB＝CD，PD＞PA知③正確； 由E、F分別是棱PC、PD的中點，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE與BF共面，④錯．故填①③. 答案：?、佗? 三、解答題(本大題共

12、6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分別是AP，AD的中點．求證： (1)直線EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD. 證明：　(1)如圖，在△PAD中，因為E，F分別為AP，AD的中點，所以EF∥PD. 又因為EF?平面PCD，PD?平面PCD， 所以直線EF∥平面PCD. (2)連接BD.因為AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形． 因為F是AD的中點，所以BF⊥AD. 因為平面PAD⊥平面ABC

13、D，BF?平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD. 又因為BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. 18.(本小題滿分12分)如圖，已知點H在正方體ABCD－A′B′C′D′的對角線B′D′上，∠HDA＝60°. (1)求DH與CC′所成角的大小； (2)求DH與平面AA′D′D所成角的大?。? 解析：　以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標系D－xyz(圖略)． 設H(m，m,1)(m＞0)，則＝(1,0,0)，＝(0,0,1)． 連接BD.＝(m，m,1)(m＞0)，由已知〈，〉＝60°， ·＝||||cos〈，〉， 可得2m＝，解得

14、m＝， 所以＝. (1)因為cos〈，〉＝＝， 所以〈·〉＝45°，即DH與CC′所成的角為45°. (2)平面AA′D′D的一個法向量是＝(0,1,0)． 因為cos〈，〉＝＝， 所以〈，〉＝60°， 可得DH與平面AA′D′D所成的角為30°. 19．(本小題滿分12分)一個幾何體是由圓柱ADD1A1和三棱錐E－ABC組合而成的，點A、B、C在圓O的圓周上，其正(主)視圖、側(左)視圖的面積分別為10和12，如圖所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC，AE＝2. (1)求證：AC⊥BD； (2)求三棱錐E－BCD的體積． 解析：　(1)證明：因為EA⊥

15、平面ABC，AC?平面ABC， 所以EA⊥AC，即ED⊥AC. 又因為AC⊥AB，AB∩ED＝A，所以AC⊥平面EBD. 因為BD?平面EBD，所以AC⊥BD. (2)因為點A、B、C在圓O的圓周上，且AB⊥AC， 所以BC為圓O的直徑． 設圓O的半徑為r，圓柱的高為h，根據正(主)視圖、側(左)視圖的面積可得， 解得 所以BC＝4，AB＝AC＝2. 因為EA⊥平面ABC， 所以VE－BCD＝VE－ABC＋VD－ABC＝S△ABC×EA＋S△ABC×DA＝S△ABC×ED. 易知ED＝EA＋DA＝2＋2＝4.又因為AB⊥AC，AB＝AC＝2， 所以S△ABC＝×AC

16、×AB＝×2×2＝4. 所以VE－BCD＝×4×4＝. 20．(本小題滿分12分)(2020·北京卷)如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點D，E，F，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點． (1)求證：DE∥平面BCP. (2)求證：四邊形DEFG為矩形． (3)是否存在點Q，到四面體PABC 六條棱的中點的距離相等？說明理由． 解析：　(1)證明：因為D，E分別為AP，AC的中點， 所以DE∥PC. 又因為DE?平面BCP， 所以DE∥平面BCP. (2)證明：因為D，E，F，G分別為AP，AC，BC，PB的中點， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥

17、EF. 所以四邊形DEFG為平行四邊形． 又因為PC⊥AB， 所以DE⊥DG. 所以四邊形DEFG為矩形． (3)存在點Q滿足條件，理由如下： 連接DF，EG，設Q為EG的中點． 由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG. 分別取PC，AB的中點M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN. 與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點為EG的中點Q，且QM＝QN＝EG， 所以Q為滿足條件的點． 21．(本小題滿分12分)(2020·江蘇卷) 如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，點N是BC的中點，點M在CC1上．設二

18、面角A1－DN－M的大小為θ. (1)當θ＝90°時，求AM的長； (2)當cos θ＝時，求CM的長． 解析：　建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz，設CM＝t(0≤t≤2)，則各點的坐標為A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N，M(0,1，t)． 所以＝，＝(0,1，t)，＝(1,0,2)． 設平面DMN的法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 則n1·＝0，n1·＝0. 即x1＋2y1＝0，y1＋tz1＝0. 令z1＝1，則y1＝－t，x1＝2t. 所以n1＝(2t，－t,1)是平面DMN的一個法向量． 設平面A1DN的法向量為n2＝(x2，y2，z2)， 則n2

19、·＝0，n2·＝0.即x2＋2z2＝0，x2＋2y2＝0. 令z2＝1，則x2＝－2，y2＝1. 所以n2＝(－2,1,1)是平面A1DN的一個法向量． 從而n1·n2＝－5t＋1. (1)因為θ＝90°，所以n1·n2＝－5t＋1＝0，解得t＝. 從而M. 所以AM＝＝. (2)因為|n1|＝，|n2|＝， 所以cos〈n1，n2〉＝＝. 因為〈n1，n2〉＝θ或π－θ，所以＝， 解得t＝0或t＝. 根據圖形和(1)的結論可知t＝，從而CM的長為. 22.(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝，AC＝，AB＝2，BC＝

20、1，D是棱CC1的中點． (1)證明：A1D⊥平面AB1C1； (2)在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？證明你的結論； (3)求二面角B－AB1－C1的余弦值的大?。? 解析：　(1)證明：根據題意，以C為坐標原點，CB、CC1、CA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz. 則C(0,0,0)，B(1,0,0)，A(0,0，)， C1(0，，0)，B1(1，，0)，A1(0，，)，D， 則＝， ＝(－1,0,0)，＝(1，，－)， ∴·＝0，·＝0， ∴⊥，⊥， 即A1D⊥B1C1，A1D⊥AB1， ∵B1C1∩AB1＝B1

21、，∴A1D⊥平面AB1C1. (2)當點E為棱AB的中點時，DE∥平面AB1C1. 證明如下： 取BB1的中點F，連接EF，FD，DE. ∵E、F分別為AB、BB1的中點， ∴EF∥AB1. ∵AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1. 同理可證FD∥平面AB1C1. ∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE?平面EFD，∴DE∥平面AB1C1. (3)設n＝(x，y，z)是平面ABB1的法向量， 由得 取z＝1，則n＝(，0,1)是平面ABB1的一個法向量． 又＝是平面AB1C1的一個法向量， 且〈，n〉與二面角B－AB1－C1的大小相等． 則cos〈，n〉＝ ＝＝. 故二面角B－AB1－C1的余弦值的大小為－.