2、分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，下列說法中正確的個數(shù)是( )
①n個小曲邊梯形的面積和等于S；
②n個小曲邊梯形的面積和小于S；
③n個小曲邊梯形的面積和大于S；
④n個小曲邊梯形的面積和與S之間的大小關(guān)系無法確定
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
[答案] A
[解析] n個小曲邊梯形是所給曲邊梯形等距離分割得到的，因此其面積和為S.∴①正確，②③④錯誤，故應(yīng)選A.
3．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值等于( )
A．只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi)
B．只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi＋
3、1)
C．可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正確
[答案] C
[解析] 由求曲邊梯形面積的“近似代替”知，C正確，故應(yīng)選C.
4．(2020·惠州高二檢測)求由拋物線y＝2x2與直線x＝0，x＝t(t>0)，y＝0所圍成的曲邊梯形的面積時，將區(qū)間[0，t]等分成n個小區(qū)間，則第i－1個區(qū)間為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 在[0，t]上等間隔插入(n－1)個分點(diǎn)，把區(qū)間[0，t]等分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度均為，故第i－1個區(qū)間為，故選D.
5．由直線x＝1，y＝0，x＝
4、0和曲線y＝x3所圍成的曲邊梯形，將區(qū)間4等分，則曲邊梯形面積的近似值(取每個區(qū)間的右端點(diǎn))是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] s＝×
＝＝.
6．在等分區(qū)間的情況下，f(x)＝(x∈[0,2])及x軸所圍成的曲邊梯形面積和式的極限形式正確的是( )
A.·]
B.·]
C.
D.·n]
[答案] B
[解析] 將區(qū)間[0,2]進(jìn)行n等分每個區(qū)間長度為，故應(yīng)選B.
二、填空題
7．直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2＋1圍成的曲邊梯形，將區(qū)間[0,2]5等分，按照區(qū)間左端點(diǎn)和右端點(diǎn)估計梯形面積分別為_____
5、___、________.
[答案] 3.92 5.52
8．已知某物體運(yùn)動的速度為v＝t，t∈[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運(yùn)動的路程近似值為________．
[答案] 55
三、解答題
9．求直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2所圍成曲邊梯形的面積．
[分析] 按分割，近似代替，求和，取極限四個步驟進(jìn)行．
[解析] 將區(qū)間[0,2]分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間為.
第i個小區(qū)間的面積ΔSi＝f·，
∴Sn＝·
＝＝(i－1)2
＝[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝·
＝.
S＝Sn＝ ＝，
6、∴所求曲邊梯形面積為.
[點(diǎn)評] 注意求平方和時，用到數(shù)列中的一個求和公式.12＋22＋…＋n2＝.不要忘記對Sn求極限．
10．汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動時，經(jīng)過時間t所行駛的路程s＝vt.如果汽車做變速直線運(yùn)動，在時刻t的速度為v(t)＝t2＋2(單位：km/h)，那么它在1≤t≤2(單位：h)這段時間行駛的路程是多少？
[分析] 汽車行駛路程類似曲邊梯形面積，根據(jù)曲邊梯形面積思想，求和后再求極限值．
[解析] 將區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，第i個小區(qū)間為.
∴Δsi＝f·.
sn＝·
＝
＝
＝3n＋[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋2＋4＋6＋…＋2(
7、n－1)]
＝3＋＋.
s＝sn＝ ＝.
∴這段時間行駛的路程為km.
11．求物體自由落體的下落距離：已知自由落體的運(yùn)動速度v＝gt，求在時間區(qū)間[0，t]內(nèi)物體下落的距離．
[分析] →→→→
[解析] (1)分割：將時間區(qū)間[0，t]分成n等份．
把時間[0，t]分成n個小區(qū)間(i＝1,2，…，n)，
每個小區(qū)間所表示的時間段Δt＝－t＝，在各小區(qū)間物體下落的距離記作Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每個小區(qū)間上以勻速運(yùn)動的路程近似代替變速運(yùn)動的路程．
在上任取一時刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝gt近似代替第i個小區(qū)間上的速度，因
8、此在每個小區(qū)間上自由落體Δt＝內(nèi)所經(jīng)過的距離可近似表示為Δsi≈g·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝si
＝·
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝gt2.
(4)取極限：s＝ gt2＝gt2.
12．求由直線x＝1、x＝2、y＝0及曲線y＝圍成的圖形的面積S.
[解析] (1)分割
在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n－1個點(diǎn)，將它等分成n個小區(qū)間：
，，…，，記第i個區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，其長度為
Δx＝－＝.
分別過上述n－1個分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形(如下圖)，它們的面積記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，則小區(qū)邊梯形面積的和為
9、S＝Si.
(2)近似代替
記f(x)＝.當(dāng)n很大，即Δx很小時，在區(qū)間上，可以認(rèn)為f(x)＝的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它等于f()．從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區(qū)間上，用小矩形面積ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有ΔSi≈ΔSi′＝fΔx＝·＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
小曲邊梯形的面積和Sn＝Si≈Si′
＝＝＋＋…＋
＝n－＋－＋…＋－
＝n＝.從而得到S的近似值S≈Sn＝.
(4)取極限
分別將區(qū)間[1,2]等分成8,16,20，…等份時，Sn越來越趨向于S，從而有S＝Sn＝.
∴由直線x＝1，x＝2，y＝0及曲線y＝圍成的圖形的面積S為.
2020高中數(shù)學(xué) 1-5-1、2 曲邊梯形的面積 汽車行駛的路程同步檢測 新人教B版選修2-2
