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1、一題多解專題五:向量在平面幾何中的應用
解三角形與向量知識綜合問題的方法:
(1)解三角形的問題中含有向量時,通常需要把邊長與向量的模相聯(lián)系,三角形的內角與向 量夾角相聯(lián)系,注意向量夾角與三角形內角的相等關系或互補關系.
(2)應用余弦定理求出未知的邊長和角,從而易于求出向量的有關問題.
例:若等邊△ABC的邊長為,平面內一點M滿足,則
=__________.
思路點撥:一種方法是建立平面直角坐標系,將問題轉化為向量的坐標運算即可;另一種方 法是將用表示,然后用數量積的定義計算.
圖(1)
方法一:以BC的中點為原點,BC所在直線為x軸建立如圖
2、(1)所示的
平面直角坐標系,根據題設條件可知
設,則
由得:
,點M的坐標為,.
方法二:由于
又是邊長為的等邊三角形,
,
特別提醒:用向量知識解決平面幾何問題的兩個關注點
(1)若可以建立平面直角坐標系,則建系后用向量的坐標運算較容易解決.
(2)若不易建系,則先選取一組基底,基底中的向量最好可知模及兩者之間的夾角,然后將 問題中出現的向量用基底表示,再用向量的運算法則、運算律等進行計算.針對性練習:
1.在正三角形ABC中,D是BC
3、邊上的點,AB=3,BD=1,則=________.
圖(2)
解析:方法一:如圖(2)所示,B=60°,
由余弦定理得AD2=32+12-2×3×1×cos 60°=7, ∴AD=,
再由余弦定理得cos ∠BAD=,
所以.
方法二:∵
= =9+3×1×.
2.已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,則的值為________.
圖(3)
【解析】方法一:如圖(3)所示,以AB,AD所在直線分別為x,y軸 建立平面直角坐標系,設E(t,0),0≤t≤1,則
4、 , C(1,1),
=(t,-1), =(0,-1),∴=1.
方法二:選取{}作為基向量,設,
則=-t=0+1=1.
3. 如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為AB,BC的中點,求證:AF⊥DE .
圖(2)
證明:方法一:設則
∴=
又且∴a2=b2,a·b=0.
∴=0,∴AF⊥DE.
方法二:以AB,AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,
設AB=2,則A(0,0),E(1,0),D(0,2),F(2,1),∴=(2,1), =(1,-2).
又∵=2×1+1×(-2)=0, ∴AF⊥DE.