《2020高考數(shù)學備考 真題+模擬新題分類匯編 選修4系列》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020高考數(shù)學備考 真題+模擬新題分類匯編 選修4系列（23頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、選修4系列(真題+模擬新題) 課標理數(shù)5.N1[2020·北京卷] 如圖1－2，AD，AE，BC分別與圓O切于點D，E，F(xiàn)，延長AF與圓O交于另一點G. 圖1－2 給出下列三個結(jié)論： ①AD＋AE＝AB＋BC＋CA； ②AF·AG＝AD·AE； ③△AFB∽△ADG. 其中正確結(jié)論的序號是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 課標理數(shù)5.N1[2020·北京卷] A　【解析】 因為AD、AE、BC分別與圓O切于點D、E、F，所以AD＝AE，BD＝BF，CF＝CE，又AD＝AB＋BD，所以AD＝AB＋BF，同理有AE＝CA＋FC.又BC＝BF＋FC，所以

2、AD＋AE＝AB＋BC＋CA，故①正確；對②，由切割線定理有：AD2＝AF·AG，又AD＝AE，所以有AF·AG＝AD·AE成立；對③，很顯然，∠ABF≠∠AGD，所以③不正確，故應選A. 圖1－2 課標理數(shù)15.N1[2020·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖1－2，過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝________. 課標理數(shù)15.N1[2020·廣東卷] 　【解析】 因為PA為圓O切線，所以∠PAB＝∠ACB，又∠APB＝∠BAC， 所以△PAB∽△ACB，所以＝，所以AB2＝PB·CB＝

3、35，所以AB＝. 課標文數(shù)15.N1[2020·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖1－3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2， 圖1－3 E、F分別為AD、BC上點，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為________． 課標文數(shù)15.N1[2020·廣東卷] 7∶5　 圖1－4 【解析】 圖1－4延長AD與BC交于H點，由于DC∥EF∥AB，又＝， 所以＝，同理＝，所以S△HDC∶S梯形DEFC∶S梯形EFBA＝4∶5∶7， 所以梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為7∶5. 圖1－2 課標理數(shù)11.N1[

4、2020·湖南卷] 如圖1－2，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長為________． 課標理數(shù)11.N1[2020·湖南卷] 　【解析】 連結(jié)AO與AB，因為A，E是半圓上的三等分點，所以∠ABO＝60°，∠EBO＝30°. 因為OA＝OB＝2，所以△ABO為等邊三角形．又因為∠EBO＝30°，∠BAD＝30°，所以F為△ABO的中心，易得AF＝. 課標理數(shù)22.N1[2020·課標全國卷] 圖1－11 如圖1－11，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且不與△ABC的頂點重合，已知AE的長為m，AC

5、的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x2－14x＋mn＝0的兩個根． (1)證明：C，B，D，E四點共圓； (2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圓的半徑． 故AD＝2，AB＝12. 取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連結(jié)DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH. 由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC， 從而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5， 故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5. 課標理數(shù)22.N1[2020·遼寧卷] 選修4－1：幾何證明選講

6、 圖1－11 如圖1－11，A，B，C，D四點在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點，EC＝ED. (1)證明：CD∥AB； (2)延長CD到F，延長DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點共圓． 課標理數(shù)22.N1[2020·遼寧卷] 【解答】 (1)因為EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD. 因為A，B，C，D四點在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB. 圖1－12 (2)由(1)知，AE＝BE，因為EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC.從而∠FED＝∠GEC. 連結(jié)AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE

7、. 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA， 所以∠AFG＋∠GBA＝180°， 故A，B，G，F(xiàn)四點共圓． 課標文數(shù)22.N1[2020·遼寧卷] 如圖1－10，A，B，C，D四點在同一圓上，AD的延長線 圖1－10 與BC的延長線交于E點，且EC＝ED. (1)證明：CD∥AB； (2)延長CD到F，延長DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點共圓． 課標文數(shù)22.N1[2020·遼寧卷] 【解答】 (1)因為EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD. 圖1－11 因為A，B，C，D四點在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA. 故∠EC

8、D＝∠EBA. 所以CD∥AB. (2)由(1)知，AE＝BE，因為EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC， 從而∠FED＝∠GEC. 連接AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE. 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA. 所以∠AFG＋∠GBA＝180°. 故A，B，G，F(xiàn)四點共圓． 課標文數(shù)22.N1[2020·課標全國卷] 如圖1－10，D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點，且不與△ABC的頂點重合． 圖1－10 已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x2－14x＋mn＝0的兩個根． (1)證明：C，

9、B，D，E四點共圓； (2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圓的半徑． 課標文數(shù)22.N1[2020·課標全國卷] 圖1－11 【解答】 (1)證明：連結(jié)DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC， 即＝，又∠DAE＝∠CAB ，從而△ADE∽△ACB. 因此∠ADE＝∠ACB， 即∠ACB與∠EDB互補，所以∠CED與∠DBC互補， 所以C，B，D，E四點共圓． (2)m＝4，n＝6時，方程x2－14x＋mn＝0的兩根為x1＝2，x2＝12. 故AD＝2，AB＝12. 取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F(xiàn)作AC

10、，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連結(jié)DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH. 由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC，從而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5. 故C，B，D，E四點所在圓的半徑為5. 課標理數(shù)15.[2020·陜西卷] (考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分) N4A.(不等式選做題)若關于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是____________． 圖1－5 N1B.(幾何證明選做題)如圖1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝

11、90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________. N3C.(坐標系與參數(shù)方程選做題)直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點A，B分別在曲線C1：(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________． 課標理數(shù)15.(1)N4[2020·陜西卷] a≥3或a≤－3 【解析】 令t＝|x＋1|＋|x－2|得t的最小值為3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3. 課標理數(shù)15.(2)N1[2020·陜西卷] 4　【解析】 在Rt△ADC中，CD＝8；在Rt△ADC與Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故＝，

12、BE＝×CD＝4. 課標理數(shù)15.(3)N3[2020·陜西卷] 3　【解析】 由C1：消參得(x－3)2＋(y－4)2＝1；由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，兩圓圓心距為5，兩圓半徑都為1，故|AB|≥3，最小值為3. 課標文數(shù)15.[2020·陜西卷] N4A.(不等式選做題)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a對任意x∈R恒成立，則a的取值范圍是________． 圖1－7 N1B.(幾何證明選做題)如圖1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則AE＝________. N3C.(坐標系與參數(shù)方程選做題)直角坐標系xOy中，以原點

13、為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點A，B分別在曲線C1：(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________． 課標文數(shù)15A.N4[2020·陜西卷] (－∞，3]　【解析】 由絕對值的幾何意義得|x＋1|＋|x－2|≥3，要使得|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，則a≤3，即a∈(－∞，3]． 課標文數(shù)15B.N1[2020·陜西卷] 2　【解析】 根據(jù)圖形由∠ACD＝90°，∠B＝∠D，得A，B，C，D四點共圓，連接BD，則∠DBA＝90°，AB＝6，AD＝12，所以∠BDA＝30°＝∠BCA.因為AE⊥BC，AE＝AC＝2. 課標文數(shù)15C.

14、N3[2020·陜西卷] 1　【解析】 由C1：消參得(x－3)2＋y2＝1，由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，兩圓圓心距為3，兩圓半徑都為1，故|AB|≥1，最小值為1. 課標數(shù)學21.[2020·江蘇卷] 【選做題】 本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分． 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 圖1－7 N1　A．選修4－1：幾何證明選講 如圖1－7，圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)．圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上)．求證：AB∶AC為定值． N2　B．選

15、修4－2：矩陣與變換 已知矩陣A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β. N3　C．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程． N4　D．選修4－5：不等式選講 解不等式x＋|2x－1|<3. 課標數(shù)學21.[2020·江蘇卷] N1　A．選修4－1：幾何證明選講　本題主要考查兩圓內(nèi)切、相似比等基礎知識，考查推理論證能力． 【解答】 證明：連結(jié)AO1，并延長分別交兩圓于點E和點D.連結(jié)BD，CE. 因為圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，所以點O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑．

16、 從而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE， 于是＝＝＝. 所以AB∶AC為定值． N2　B．選修4－2：矩陣與變換　本題主要考查矩陣運算等基礎知識，考查運算求 解能力． 【解答】 A2＝＝. 設α＝.由A2α＝β，得＝，從而 解得x＝－1，y＝2，所以α＝. N3　C．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程　本題主要考查橢圓及直線的參數(shù)方程等基礎知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力． 【解答】 由題設知，橢圓的長半軸長a＝5，短半軸長b＝3，從而c＝＝4，所以右焦點為(4,0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0. 故所求直線的斜率為，因此其方程為y＝(x－4)，即x－2y－4＝

17、0. N4　D．選修4－5：不等式選講　本題主要考查解絕對值不等式的基礎知識，考查分類討論、運算求解能力． 【解答】 原不等式可化為 或 解得≤x<或－20)，則BF＝2k，BE＝k. 由DF·FC＝AF·BF，得2＝8k2，即k＝. ∴AF＝2

18、，BF＝1，BE＝，AE＝， 由切割線定理得CE2＝BE·EA＝×＝， ∴CE＝. 課標文數(shù)13.N1[2020·天津卷] 如圖1－5，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________． 圖1－5 課標文數(shù)13.N1[2020·天津卷] 　【解析】 設AF＝4k(k>0)，則BF＝2k，BE＝k. 由DF·FC＝AF·BF得2＝8k2，即k＝. ∴AF＝2，BF＝1，BE＝，AE＝， 由切割線定理得CE2＝BE·EA＝×＝， ∴CE＝. 課標理數(shù)21.[2

19、020·福建卷] N2(1)選修4－2：矩陣與變換 設矩陣M＝(其中a>0，b>0)． ①若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1； ②若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a，b的值． N3(2)坐標系選修4－4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． ①已知在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，點P的極坐標為，判斷點P與直線l的位置關系； ②設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值． N4(3)選修

20、4－5：不等式選講 設不等式|2x－1|<1的解集為M. ①求集合M； ②若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大小． 課標理數(shù)21.[2020·福建卷] 【解答】 N2(1)①設矩陣M的逆矩陣M－1＝，則MM－1＝. 又M＝，所以＝. 所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝. 故所求的逆矩陣M－1＝. ②設曲線C上任意一點P(x，y)，它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P′(x′，y′)． 則＝，即 又點P′(x′，y′)在曲線C′上，所以＋y′2＝1. 則＋b2y2＝1為曲線C的方程． 又已知曲線C的方程為x2＋

21、y2＝1，故 又a>0，b>0，所以 N3(2)①把極坐標系下的點P化為直角坐標， 得P(0,4)． 因為點P的直角坐標(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點P在直線l上． ②因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為(cosα，sinα)， 從而點Q到直線l的距離為 d＝＝ ＝cos＋2. 由此得，當cos＝－1時，d取得最小值，且最小值為. N4(3)①由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得00. 故ab＋1>

22、a＋b. N3　C．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程． N4　D．選修4－5：不等式選講 解不等式x＋|2x－1|<3. 課標數(shù)學21.[2020·江蘇卷] N1　A．選修4－1：幾何證明選講　本題主要考查兩圓內(nèi)切、相似比等基礎知識，考查推理論證能力． 【解答】 證明：連結(jié)AO1，并延長分別交兩圓于點E和點D.連結(jié)BD，CE. 因為圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，所以點O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑． 從而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE， 于是＝＝＝.

23、 所以AB∶AC為定值． N2　B．選修4－2：矩陣與變換　本題主要考查矩陣運算等基礎知識，考查運算求 解能力． 【解答】 A2＝＝. 設α＝.由A2α＝β，得＝，從而 解得x＝－1，y＝2，所以α＝. N3　C．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程　本題主要考查橢圓及直線的參數(shù)方程等基礎知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力． 【解答】 由題設知，橢圓的長半軸長a＝5，短半軸長b＝3，從而c＝＝4，所以右焦點為(4,0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0. 故所求直線的斜率為，因此其方程為y＝(x－4)，即x－2y－4＝0. N4　D．選修4－5：不等式選講　本題主要考查解絕對值

24、不等式的基礎知識，考查分類討論、運算求解能力． 【解答】 原不等式可化為 或 解得≤x<或－2

25、(1，π) 課標理數(shù)3.N3[2020·北京卷] B　【解析】 由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化為普通方程為x2＋(y＋1)2＝1，其圓心坐標為(0，－1)，所以其極坐標方程為，故應選B. 課標理數(shù)21.[2020·福建卷] N2(1)選修4－2：矩陣與變換 設矩陣M＝(其中a>0，b>0)． ①若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1； ②若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a，b的值． N3(2)坐標系選修4－4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為(α為參

26、數(shù))． ①已知在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，點P的極坐標為，判斷點P與直線l的位置關系； ②設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值． N4(3)選修4－5：不等式選講 設不等式|2x－1|<1的解集為M. ①求集合M； ②若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大?。? 課標理數(shù)21.[2020·福建卷] 【解答】 N2(1)①設矩陣M的逆矩陣M－1＝，則MM－1＝. 又M＝，所以＝. 所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝. 故所求的逆矩陣M－1＝.

27、 ②設曲線C上任意一點P(x，y)，它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P′(x′，y′)． 則＝，即 又點P′(x′，y′)在曲線C′上，所以＋y′2＝1. 則＋b2y2＝1為曲線C的方程． 又已知曲線C的方程為x2＋y2＝1，故 又a>0，b>0，所以 N3(2)①把極坐標系下的點P化為直角坐標， 得P(0,4)． 因為點P的直角坐標(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點P在直線l上． ②因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為(cosα，sinα)， 從而點Q到直線l的距離為 d＝＝ ＝cos＋2. 由此得，當cos＝－1時，d取得最小值，且最小值為.

28、 N4(3)①由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得00. 故ab＋1>a＋b. 課標理數(shù)14.N3[2020·廣東卷] (坐標系與參數(shù)方程選做題)已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ<π)和(t∈R)，它們的交點坐標為________． 課標理數(shù)14.N3[2020·廣東卷] 　【解析】 把參數(shù)方程化為標準方程得＋y2＝1(y≥0)，把化為標準方程得y2＝x(x>0)，聯(lián)立方程得x＝1或x＝－5(舍去)， 把x＝1代入y2＝x得y

29、＝或y＝－(舍去)，所以交點坐標為. 課標理數(shù)9.N3[2020·湖南卷] 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C2的方程為ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，則C1與C2的交點個數(shù)為________． 課標理數(shù)9. N3[2020·湖南卷] 2　【解析】 曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程：x2＋(y－1)2＝1，圓心為(0,1)，r＝1，曲線C2的方程為ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0化為普通方程：x－y＋1＝0， 則圓心在曲線C2上，直線與圓相交，故C1與C2的交點個數(shù)為

30、2. 課標文數(shù)9.N3[2020·湖南卷] 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C2的方程為ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，則C1與C2的交點個數(shù)為________． 課標文數(shù)9.N3[2020·湖南卷] 2　【解析】 曲線C1的參數(shù)方程為化為普通方程：＋＝1?、?， 曲線C2的方程為ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0化為普通方程：x－y＋1＝0?、? 聯(lián)立①，②得7x2＋8x－8＝0，此時Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C1與C2的交點個數(shù)為2. 課標理數(shù)15.N

31、3[2020·江西卷] (1)(坐標系與參數(shù)方程選做題)若曲線的極坐標方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為________． 課標理數(shù)15.N3[2020·江西卷] 【答案】 x2＋y2－4x－2y＝0 【解析】 (1)由 ?cosθ＝，sinθ＝，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sinθ＋4cosθ得，ρ＝＋?ρ2＝2y＋4x?x2＋y2－4x－2y＝0. 課標理數(shù)23.N3[2020·課標全國卷] 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)) M是C1上的動點，P點滿足＝2，P點的軌跡為曲線C2.

32、(1)求C2的參數(shù)方程； (2)在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中， 射線θ＝與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|. 課標理數(shù)23.N3[2020·課標全國卷] 【解答】 (1)設P(x，y)，則由條件知M，由于M點在C1上，所以 即 從而C2的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)) (2)曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標方程為ρ＝8sinθ. 射線θ＝與C1的交點A的極徑為ρ1＝4sin， 射線θ＝與C2的交點B的極徑為ρ2＝8sin. 所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2. 課標理數(shù)23.N3[2020·遼寧卷] 選修4

33、－4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為(a＞b＞0，φ為參數(shù))．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ＝α與C1，C2各有一個交點．當α＝0時，這兩個交點間的距離為2，當α＝時，這兩個交點重合． (1)分別說明C1，C2是什么曲線，并求出a與b的值； (2)設當α＝時，l與C1，C2的交點分別為A1，B1，當α＝－時，l與C1，C2的交點分別為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積． 課標理數(shù)23.N3[2020·遼寧卷] 【解答】 (1)C1是圓，C2是橢圓． 當α＝0時，射線l與C1，C2交點

34、的直角坐標分別為(1,0)，(a,0)． 因為這兩點間的距離為2，所以a＝3. 當α＝時，射線l與C1，C2交點的直角坐標分別為(0,1)，(0，b)． 因為這兩點重合，所以b＝1. (2)C1，C2的普通方程分別為x2＋y2＝1和＋y2＝1. 當α＝時，射線l與C1交點A1的橫坐標為x＝，與C2交點B1的橫坐標為x′＝. 當α＝－時，射線l與C1，C2的兩個交點A2，B2分別與A1，B1關于x軸對稱．因此四邊形A1A2B2B1為梯形，故四邊形A1A2B2B1的面積為＝. 課標文數(shù)23.N3[2020·遼寧卷] 在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參方程為(φ為參數(shù))，曲線C

35、2的參數(shù)方程為(a＞b＞0，φ為參數(shù))．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ＝α與C1，C2各有一個交點．當α＝0時，這兩個交點間的距離為2，當α＝時，這兩個交點重合． (1)分別說明C1，C2是什么曲線，并求出a與b的值； (2)設當α＝時，l與C1，C2的交點分別為A1，B1，當α＝－時，l與C1，C2的交點分別為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積． 課標文數(shù)23.N3[2020·遼寧卷] 【解答】 (1)C1是圓，C2是橢圓． 當α＝0時，射線l與C1，C2交點的直角坐標分別為(1,0)，(a,0)，因為這兩點間的距離為2，所以a＝3. 當α＝時，射

36、線l與C1，C2交點的直角坐標分別為(0,1)，(0，b)，因為這兩點重合，所以b＝1. (2)C1，C2的普通方程分別為x2＋y2＝1和＋y2＝1. 當α＝時，射線l與C1交點A1的橫坐標為x＝，與C2交點B1的橫坐標為x′＝. 當α＝－時，射線l與C1，C2的兩個交點A2，B2分別與A1，B1關于x軸對稱，因此四邊形A1A2B2B1為梯形． 故四邊形A1A2B2B1的面積為＝. 課標文數(shù)23.N3[2020·課標全國卷] 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)) M是C1上的動點，P點滿足＝2，P點的軌跡為曲線C2. (1)求C2的參數(shù)方程； (2)在

37、以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ＝與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|. 課標文數(shù)23.N3[2020·課標全國卷] 【解答】 (1)設P(x，y)，則由條件知M，由于M點在C1上，所以 即 從而C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)) (2)曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標方程為ρ＝8sinθ. 射線θ＝與C1的交點A的極徑為ρ1＝4sin， 射線θ＝與C2的交點B的極徑為ρ2＝8sin. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2. 課標理數(shù)15.[2020·陜西卷] (考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按

38、所做的第一題評分) N4A.(不等式選做題)若關于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是____________． 圖1－5 N1B.(幾何證明選做題)如圖1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________. N3C.(坐標系與參數(shù)方程選做題)直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點A，B分別在曲線C1：(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________． 課標理數(shù)15.(1)N4[2020·陜西卷] a≥3或a≤－3 【解析】 令t＝|

39、x＋1|＋|x－2|得t的最小值為3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3. 課標理數(shù)15.(2)N1[2020·陜西卷] 4　【解析】 在Rt△ADC中，CD＝8；在Rt△ADC與Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故＝，BE＝×CD＝4. 課標理數(shù)15.(3)N3[2020·陜西卷] 3　【解析】 由C1：消參得(x－3)2＋(y－4)2＝1；由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，兩圓圓心距為5，兩圓半徑都為1，故|AB|≥3，最小值為3. 課標文數(shù)15.[2020·陜西卷] N4A.(不等式選做題)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a對任意x∈R恒成立，則a的取值范圍是__

40、______． 圖1－7 N1B.(幾何證明選做題)如圖1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則AE＝________. N3C.(坐標系與參數(shù)方程選做題)直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點A，B分別在曲線C1：(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________． 課標文數(shù)15A.N4[2020·陜西卷] (－∞，3]　【解析】 由絕對值的幾何意義得|x＋1|＋|x－2|≥3，要使得|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，則a≤3，即a∈(－∞，3]． 課標文數(shù)15B.N1[202

41、0·陜西卷] 2　【解析】 根據(jù)圖形由∠ACD＝90°，∠B＝∠D，得A，B，C，D四點共圓，連接BD，則∠DBA＝90°，AB＝6，AD＝12，所以∠BDA＝30°＝∠BCA.因為AE⊥BC，AE＝AC＝2. 課標文數(shù)15C.N3[2020·陜西卷] 1　【解析】 由C1：消參得(x－3)2＋y2＝1，由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，兩圓圓心距為3，兩圓半徑都為1，故|AB|≥1，最小值為1. 課標數(shù)學21.[2020·江蘇卷] 【選做題】 本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分． 解答時應寫出文字說明、證明過程

42、或演算步驟． 圖1－7 N1　A．選修4－1：幾何證明選講 如圖1－7，圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)．圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上)．求證：AB∶AC為定值． N2　B．選修4－2：矩陣與變換 已知矩陣A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β. N3　C．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程． N4　D．選修4－5：不等式選講 解不等式x＋|2x－1|<3. 課標數(shù)學21.[2020·江蘇卷] N1　A．選修4－1：幾何證明選講　本

43、題主要考查兩圓內(nèi)切、相似比等基礎知識，考查推理論證能力． 【解答】 證明：連結(jié)AO1，并延長分別交兩圓于點E和點D.連結(jié)BD，CE. 因為圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，所以點O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑． 從而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE， 于是＝＝＝. 所以AB∶AC為定值． N2　B．選修4－2：矩陣與變換　本題主要考查矩陣運算等基礎知識，考查運算求 解能力． 【解答】 A2＝＝. 設α＝.由A2α＝β，得＝，從而 解得x＝－1，y＝2，所以α＝. N3　C．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程　本題主要考查橢圓及直線的參數(shù)方程等基礎知識，考查轉(zhuǎn)

44、化問題的能力． 【解答】 由題設知，橢圓的長半軸長a＝5，短半軸長b＝3，從而c＝＝4，所以右焦點為(4,0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0. 故所求直線的斜率為，因此其方程為y＝(x－4)，即x－2y－4＝0. N4　D．選修4－5：不等式選講　本題主要考查解絕對值不等式的基礎知識，考查分類討論、運算求解能力． 【解答】 原不等式可化為 或 解得≤x<或－20)相切，則

45、r＝________. 課標理數(shù)11.N3[2020·天津卷] 　【解析】 由拋物線的參數(shù)方程 消去t，得y2＝8x，∴焦點坐標為(2,0)． ∴直線l的方程為y＝x－2. 又∵直線l與圓(x－4)2＋y2＝r2相切， ∴r＝＝. 課標理數(shù)21.[2020·福建卷] N2(1)選修4－2：矩陣與變換 設矩陣M＝(其中a>0，b>0)． ①若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1； ②若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a，b的值． N3(2)坐標系選修4－4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝

46、0，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． ①已知在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，點P的極坐標為，判斷點P與直線l的位置關系； ②設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值． N4(3)選修4－5：不等式選講 設不等式|2x－1|<1的解集為M. ①求集合M； ②若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大?。? 課標理數(shù)21.[2020·福建卷] 【解答】 N2(1)①設矩陣M的逆矩陣M－1＝，則MM－1＝. 又M＝，所以＝. 所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝.

47、 故所求的逆矩陣M－1＝. ②設曲線C上任意一點P(x，y)，它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P′(x′，y′)． 則＝，即 又點P′(x′，y′)在曲線C′上，所以＋y′2＝1. 則＋b2y2＝1為曲線C的方程． 又已知曲線C的方程為x2＋y2＝1，故 又a>0，b>0，所以 N3(2)①把極坐標系下的點P化為直角坐標， 得P(0,4)． 因為點P的直角坐標(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點P在直線l上． ②因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為(cosα，sinα)， 從而點Q到直線l的距離為 d＝＝ ＝cos＋2. 由此得，當cos＝－1

48、時，d取得最小值，且最小值為. N4(3)①由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得00. 故ab＋1>a＋b. 課標理數(shù)10.N4，E6[2020·湖南卷] 設x，y∈R，且xy≠0，則的最小值為________． 課標理數(shù)10.N4，E6[2020·湖南卷] 9　【解析】 方法一：＝1＋4x2y2＋＋4≥5＋2＝9，當且僅當4x2y2＝時，“＝”成立． 方法二：利用柯西不等式：≥2＝9，當且僅當4x2y2＝時，等號成立．

49、 課標理數(shù)15.N4[2020·江西卷] (2)(不等式選做題)對于實數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，則|x－2y＋1|的最大值為________． 課標理數(shù)15.N4[2020·江西卷] 【答案】 5 【解析】|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，當x＝0，y＝3時，|x－2y＋1|取得最大值5. 課標文數(shù)15.N4[2020·江西卷] 對于x∈R，不等式－≥8的解集為________． 課標文數(shù)15.N4[2020·江西卷] [0，＋∞)　【解析】 由題意可得 或或解得x∈[0，＋∞)．

50、 課標理數(shù)24.N4[2020·課標全國卷] 設函數(shù)f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0. (1)當a＝1時，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值． 課標理數(shù)24.N4[2020·課標全國卷] 【解答】 (1)當a＝1時，f(x)≥3x＋2可化為|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集為 {x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0得 |x－a|＋3x≤0. 此不等式可化為不等式組 或 即或 因為a＞0，所以不等式組的解集為. 由題設可得－＝－1，故a＝2.

51、 課標理數(shù)24.N4[2020·遼寧卷] 選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)證明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． 課標理數(shù)24.N4[2020·遼寧卷] 【解答】 (1)f(x)＝|x－2|－|x－5|＝ 當2＜x＜5時，－3＜2x－7＜3. 所以－3≤f(x)≤3. (2)由(1)可知， 當x≤2時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為空集； 當2＜x＜5時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x＜5}； 當x≥5時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5≤x≤6}． 綜上，不等

52、式f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x≤6}． 課標文數(shù)24.N4[2020·遼寧卷] 已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)證明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． 課標文數(shù)24.N4[2020·遼寧卷] 【解答】 (1)f(x)＝|x－2|－|x－5|＝ 當2＜x＜5時，－3＜2x－7＜3. 所以－3≤f(x)≤3. (2)由(1)可知， 當x≤2時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為空集； 當2＜x＜5時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x＜5}； 當x≥5時，f(x)≥x2－8x＋15

53、的解集為{x|5≤x≤6}． 綜上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x≤6}． 課標文數(shù)24.N4[2020·課標全國卷] 設函數(shù)f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0. (1)當a＝1時，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值． 課標文數(shù)24.N4[2020·課標全國卷] 【解答】 (1)當a＝1時，f(x)≥3x＋2可化為|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1， 故不等式f(x)≥3x＋2的解集為 {x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0. 此不等式可化為

54、不等式組 或 即或 因為a>0，所以不等式組的解集為. 由題設可得－＝－1，故a＝2. 課標理數(shù)15.[2020·陜西卷] (考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分) N4A.(不等式選做題)若關于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是____________． 圖1－5 N1B.(幾何證明選做題)如圖1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________. N3C.(坐標系與參數(shù)方程選做題)直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐

55、標系，設點A，B分別在曲線C1：(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________． 課標理數(shù)15.(1)N4[2020·陜西卷] a≥3或a≤－3 【解析】 令t＝|x＋1|＋|x－2|得t的最小值為3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3. 課標理數(shù)15.(2)N1[2020·陜西卷] 4　【解析】 在Rt△ADC中，CD＝8；在Rt△ADC與Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故＝，BE＝×CD＝4. 課標理數(shù)15.(3)N3[2020·陜西卷] 3　【解析】 由C1：消參得(x－3)2＋(y－4)2＝1；由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，兩圓圓

56、心距為5，兩圓半徑都為1，故|AB|≥3，最小值為3. 課標文數(shù)15.[2020·陜西卷] N4A.(不等式選做題)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a對任意x∈R恒成立，則a的取值范圍是________． 圖1－7 N1B.(幾何證明選做題)如圖1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則AE＝________. N3C.(坐標系與參數(shù)方程選做題)直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設點A，B分別在曲線C1：(θ為參數(shù))和曲線C2：ρ＝1上，則|AB|的最小值為________． 課標文數(shù)15A.N4

57、[2020·陜西卷] (－∞，3]　【解析】 由絕對值的幾何意義得|x＋1|＋|x－2|≥3，要使得|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，則a≤3，即a∈(－∞，3]． 課標文數(shù)15B.N1[2020·陜西卷] 2　【解析】 根據(jù)圖形由∠ACD＝90°，∠B＝∠D，得A，B，C，D四點共圓，連接BD，則∠DBA＝90°，AB＝6，AD＝12，所以∠BDA＝30°＝∠BCA.因為AE⊥BC，AE＝AC＝2. 課標文數(shù)15C.N3[2020·陜西卷] 1　【解析】 由C1：消參得(x－3)2＋y2＝1，由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，兩圓圓心距為3，兩圓半徑都為1，故|AB|≥1，最小值為

58、1. 課標數(shù)學21.[2020·江蘇卷] 【選做題】 本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分． 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 圖1－7 N1　A．選修4－1：幾何證明選講 如圖1－7，圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)．圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上)．求證：AB∶AC為定值． N2　B．選修4－2：矩陣與變換 已知矩陣A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β. N3　C．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓(φ為參數(shù))

59、的右焦點，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程． N4　D．選修4－5：不等式選講 解不等式x＋|2x－1|<3. 課標數(shù)學21.[2020·江蘇卷] N1　A．選修4－1：幾何證明選講　本題主要考查兩圓內(nèi)切、相似比等基礎知識，考查推理論證能力． 【解答】 證明：連結(jié)AO1，并延長分別交兩圓于點E和點D.連結(jié)BD，CE. 因為圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，所以點O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑． 從而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE， 于是＝＝＝. 所以AB∶AC為定值． N2　B．選修4－2：矩陣與變換　本題主要考查矩陣運算等基礎知識，考查運算求

60、 解能力． 【解答】 A2＝＝. 設α＝.由A2α＝β，得＝，從而 解得x＝－1，y＝2，所以α＝. N3　C．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程　本題主要考查橢圓及直線的參數(shù)方程等基礎知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力． 【解答】 由題設知，橢圓的長半軸長a＝5，短半軸長b＝3，從而c＝＝4，所以右焦點為(4,0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0. 故所求直線的斜率為，因此其方程為y＝(x－4)，即x－2y－4＝0. N4　D．選修4－5：不等式選講　本題主要考查解絕對值不等式的基礎知識，考查分類討論、運算求解能力． 【解答】 原不等式可化為 或 解得≤x<或－2

61、<. 所以原不等式的解集是. 課標文數(shù)10.N5[2020·湖南卷] 已知某試驗范圍為[10,90]，若用分數(shù)法進行4次優(yōu)選試驗，則第二次試點可以是________． 課標文數(shù)10.N5[2020·湖南卷] 40或60　【解析】 因為試驗的范圍為：[10,90]可以將其分成10,20,30，…90把試驗范圍分成8格，此時可用斐波那契數(shù)列：，，，，，…，，…來解題， 所以有第一試點：x1＝10＋×(90－10)＝60, 第二試點用“加兩頭，減中間”的方法可得到：x2＝10＋90－60＝40，故第二個試點可以是： 40或60. [2020·南通模擬] 如圖K49－3，已知圓O的半徑為3，從圓O外一點A引切線AD和割線ABC，圓心O到直線AC的距離為2，AB＝3，則AD的長為(　　) A. B．2 C. D．5 　　　 [2020·廣州模擬] 已知矩陣A＝，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為a1＝，屬于特征值1的一個特征向量為a2＝，則矩陣A的逆矩陣為(　　) A. B. C. D. [2020·深圳調(diào)研] 在極坐標系中，設P是直線l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一點，Q是圓C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一點，則|PQ|的最小值是__________．