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1、課時訓(xùn)練50 軌跡問題 【說明】 本試卷滿分100分，考試時間90分鐘. 一、選擇題（每小題6分，共42分） 1.兩定點A（-2，-1），B（2，-1），動點P在拋物線y=x2上移動，則△PAB重心G的軌跡方程是（ ） A.y=x2- B.y=3x2- C.y=2x2- D.y=x2- 答案：B 解析：設(shè)G（x,y），P（x0,y0）則 x0=3x，y0=3y+2，代入y=x2得 重心G的軌跡方程：3x+2=(3x)2. 2.曲線C上任意一點到定點A（1，0）與到定直線x=4的距離之差等于5，則此曲線

2、C是（ ） A.拋物線 B.由兩段拋物線弧連接而成 C.雙曲線 D.由一段拋物線和一段雙曲線弧連接而成 答案：B 解析：設(shè)P（x,y）為曲線C上任意一點，由題意，得-|x-4|=5， 故y2= 故曲線C是由兩段拋物線弧連接而成. 3.下列命題中，一定正確的是（ ） A.到兩定點距離之比為定常數(shù)的點的軌跡是橢圓 B.到定點F（-c，0）和到定直線x=-的距離之比為（a＞c＞0）的點的軌跡是橢圓的左半部分 C.到定直線x=-和到定點

3、F（-c，0）的距離之比為（a＞c＞0）的點的軌跡是橢圓 D.平面上到兩定點的距離之比等于常數(shù)（不等于1）的點的軌跡是圓 答案：D 解析：對照橢圓定義可知A、B、C都不對，故知選D. 4.一動圓與圓x2+y2=1外切，而與圓x2+y2-6x+8=0內(nèi)切，那么動圓的圓心的軌跡是（ ） A.雙曲線的一支 B.橢圓 C.拋物線 D.圓 答案：A 解析：設(shè)動圓圓心為P（x，y），半徑為r，又圓（x-3）2+y2=1的圓心為F（3,0）.故|PO|=r+

4、1，|PF|=r-1，故|PO|-|PF|=2.由雙曲線定義知P點軌跡是雙曲線的右支. 5.已知點P是直線2x-y+3=0上的一個動點，定點M（-1，2），Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|=|MQ|，則Q點的軌跡方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 答案：D 解析：設(shè)Q（x，y），則P點（-x-2，-y+4），又點P在直線2x-y+3=0上，故2（-x-2）-（-y+4）+3=

5、0，即：2x-y+5=0. 6.設(shè)A1、A2是橢圓=1的長軸兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點P的軌跡方程為( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 答案：C 解析：設(shè)P1、P2兩點的橫坐標(biāo)為x=3cosθ，又A1(-3,0),A2(3,0),P1(3cosθ,2sinθ),P2(3cosθ,-2sinθ),故直線A1P1和A2P2方程分別為y=(x+3),y=(x-3).設(shè)交點P（x，y），則y2=(x2

6、-9)，即=1. 7.點M（x，y）與定點F（1，0）的距離和它到直線x=8的距離的比為，則動點M的軌跡方程為( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.3x2+4y2+8x-60=0 答案：D 解析：設(shè)M為（x，y），則 ∶|x-8|=1∶2. 整理有：3x2+4y2+8x-60=0. 二、填空題（每小題5分，共15分） 8.(2020北京西城區(qū)一模，12)點P（0，2）到圓C：（x+1）2+y2=1的圓心的距離為_____________，

7、如果A是圓C上一個動點，=3,那么點B的軌跡方程為_______________________. 答案： (x-2)2+(y-6)2=4 解析：由圓的方程圓心(c-1,0),則P到圓心的距離d=. 設(shè)A、B點的坐標(biāo)分別為（x0,y0）、（x,y）. =（x-x0,y-y0）,=(-x0,2-y0). =3,即（x-x0,y-y0）=(-3x0,6-3y0). ∴ ∵A在圓上， ∴（-+1）2+()2=1. 即(x-2)2+(y-6)2=4. 即為B點的軌跡方程. 9.已知定直線l上有三點A、B、C，AB=2，BC=5，AC=7，動圓O恒與l相切于點B，則過點A、

8、C且都與⊙O相切的直線l1、l2的交點P的軌跡是_________________________. 答案：去掉兩個頂點的雙曲線 解析：由題設(shè)條件可得||PA|-|PC||=3，根據(jù)雙曲線定義知點P的軌跡為去掉兩個頂點的雙曲線. 10.F1、F2為橢圓的兩個焦點，Q是橢圓上任意一點，從某一焦點引∠F1QF2的外角平分線的垂線，垂足為P，則點P的軌跡是____________________. 答案：圓 解析：如右圖，延長F1P交F2Q于F1′，則 |OP|=|F1′F2|=|F1′Q|+|F2Q|) =(|F1Q|+|F2Q|) =×2a=a. ∴P點軌跡為圓. 三、簡

9、答題（11—13題每小題10分，14題13分，共43分） 11.設(shè)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線l，焦點為F，頂點為O，P為拋物線上任意一點，PQ⊥l，Q為垂足，求QF與OP的交點M的軌跡方程. 解析：設(shè)拋物線上點P（2pt2，2pt）（t≠0），直線OP的方程為：y=x. 又Q（-，2pt），F(xiàn)（，0）， ∴直線QF的方程y=-2t(x-).它們的交點M（x，y）， 由方程組 由①×②得：y2=-2x(x-)， ∴交點M的軌跡方程y2=-2x(x-). 12.(2020湖北重點中學(xué)模擬，21)平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，給定兩點A（1，0）、B（0，-2），點C滿足OC=α+β，其

10、中α、β∈R，且α-2β=1， （1）求點C的軌跡方程； （2）設(shè)點C的軌跡與雙曲線=1（a＞0,b＞0）交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：為定值. （1）解析：設(shè)C（x，y），因為=α+β， 則（x，y）=α（1，0）+β（0，-2） ∴∵α-2β=1,∴x+y=1. 即點C的軌跡方程為x+y=1. （2）證明：由得：（b2-a2）x2+2a2x2-a2-a2b2=0. 由題意,得b2-a2≠0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）, 則：x1+x2=, x1x2=-. 因為以MN為直徑的圓過原點，=0， 即x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x2)

11、(1-x2) =1-(x1+x2)+2x1x2 =1+=0, 即b2-a2-2a2b2=0,∴=2為定值. 13.(2020湖北十一校大聯(lián)考，22)已知A、B、D三點不在一條直線上，且A（-2，0），B（2，0），||=2，=（+）, （1）求點E的軌跡方程； （2）過點A作直線l交以A、B為焦點的橢圓于M、N兩點.線段MN的中點到y(tǒng)軸距離為且直線MN與點E的軌跡相切，求橢圓的方程. 解析：（1）設(shè)E（x，y），=（+） ∴=2-. ∴=2（x+2，y）-（4,0）=(2x,2y). 又||=2, ∴x2+y2=1(y≠0). （2）設(shè)橢圓方程為：=1，直線 l：y=k

12、(x+2), 由于直線l與圓E相切， ∴=1.∴k=±. 直線l：y=± (x+2). 將y=±(x+2)代入b2x2+a2y2-a2b2=0, 則有（3b2+a2）x2+4a2x+4a2-3a2b2=0. ∴xM+xN=. ∴x中=, |x中|==, ∴5a2=6b2+2a2. ∴a2=2b2. 又c2=4, ∴b2=4,a2=8,橢圓方程為=1. 14.(2020廣東珠海一模，18)已知兩定點A（-t,0）和B（t，0），t＞0.S為一動點，SA與SB兩直線的斜率乘積為. （1）求動點S的軌跡C的方程，并指出它屬于哪一種常見曲線類型； （2）當(dāng)t取何值時，曲線

13、C上存在兩點P、Q關(guān)于直線x-y-1=0對稱？ 解析：（1）設(shè)S（x，y），SA的斜率k1=(x≠-t)， SB斜率k2=(x≠t), 由題意，得(x≠±t), 經(jīng)整理，得-y2=1(x≠±t). 點S的軌跡C為雙曲線（除去兩頂點）. （2）假設(shè)C上存在這樣的兩點P（x1，y1)和Q（x2，y2）, 則PQ直線斜率為-1，且P、Q的中點在直線x-y-1=0上.設(shè)PQ直線方程為：y=-x+b， 由整理得（1-t2）x2+2t2bx-t2b2-t2=0. 其中1-t2=0，方程只有一個解，與假設(shè)不符. 當(dāng)1-t2≠0時，Δ＞0，Δ=（2bt2）2-4(1-t2)(-t2b2-t2)=4t2(b2+1-t2)， 所以t2＜b2+1， ① 又x1+x2=-， 所以. 代入y=-x+b，得. 因為P、Q中點為（）在直線x-y-1=0上， 所以有：--1=0，整理得t2=, ② 解①②，得-1＜b＜0,0＜t＜1，經(jīng)檢驗，得：當(dāng)t取（0，1）中任意一個值時，曲線C上均存在兩點關(guān)于直線x-y-1=0對稱.