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1、馬鞍山市2020屆高三第一次教學質量檢測 理科數(shù)學試題 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至第2頁，第Ⅱ卷第3至第4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘. 考生注意事項： 1.答題前，務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致. 務必在答題卡背面規(guī)定的地方填寫姓名和座位號（四位數(shù)字）. 2.答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號. 3.答第Ⅱ卷時，必須使用0.5毫米

2、的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚.必須在題號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效. 4.考試結束，務必將試題卷和答題卡一并上交. 第Ⅰ卷（選擇題，共50分） 一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在答題卡相應位置將正確結論的代號用2B鉛筆涂黑. （1）已知集合，，為實數(shù)集，則 A. B. C. D.以上都不

3、對 【答案】B. 【命題意圖】本題考查不等式的解法和集合的運算，容易題. （2）復數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是 A. B. C. D. 【答案】A. 【命題意圖】本題考查復數(shù)的概念及運算，容易題. （3）已知平面上不共線的四點，若，則 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A. 【命題意圖】本題考查向量的運算，容易題. （4）設是等差數(shù)列，是其前項的和，且，，則下列結論錯誤的是 A. B. C.

4、D.和均為的最大值 【答案】C. 【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的基本運算與性質，容易題. （5）在平面直角坐標系中，若不等式組(為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于，則的值為 A.-5 B.1 C.2 D.3 【答案】D. 【命題意圖】本題考查二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域、直線的斜率、三角形面積公式等基礎知識，考查數(shù)形結合思想，容易題. （6）設函數(shù)在定義域內可導，的圖象如下左圖所示，則導函數(shù)的圖象可能是 A． B． C．

5、 D． 【答案】A. 【命題意圖】本題考查導數(shù)的概念與幾何意義，中等題. （7）斜率為的直線與雙曲線恒有兩個公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】D. 【命題意圖】本題考查雙曲線的性質，中等題. （8）已知一個棱長為的正方體，被一個平面截后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 A.8 B. C. D. 【答案】C. 【命題意圖】本題考查三視圖的概念與幾何體體積的計算，考查空間想象能力，較難題. （

6、9）袋中有大小相同的個紅球和個白球，隨機從袋中取個球，取后不放回，那么恰好在第次取完紅球的概率是 A.　　　　　 B. C.　　　　 D. 【答案】B. 【命題意圖】本題考查排列組合、古典概型等基礎知識，考查分析問題解決問題的能力，較難題. （10）已知函數(shù)是以為周期的偶函數(shù)，當時，．若關于的方程（）在區(qū)間內有四個不同的實根，則的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C. 【命題意圖】本題考查函數(shù)的性質與圖象，考查數(shù)形結合能力，較難題. 第Ⅱ卷（非選擇題，共100分） 二、填空題：本大題共5個

7、小題，每小題5分，共25分．請在答題卡上答題． （11）運行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為 . 【答案】11. 【命題意圖】本題考查程序框圖，容易題. （12）已知總體的各個個體的值由小到大依次為，且總體的中位數(shù)為，若要使該總體的標準差最小，則 . 【答案】12. 【命題意圖】本題考查統(tǒng)計知識，重要不等式，容易題. 說明：本題數(shù)據(jù)給的不科學，改為較好 （13）已知的展開式中第三項與第五項的系數(shù)之比為，則展開式中常數(shù)項是______． 【答案】45. 【命題意圖】本題考查二項式定理，考查運算能力，中等題. （14

8、）已知直線（是實數(shù)）與圓相交于兩點，且（是坐標原點）是直角三角形，則點與點之間距離的最小值是 . 【答案】. 【命題意圖】本題考查直線與圓的方程，考查運算能力與數(shù)形結合能力，中等題. （15）函數(shù)的圖象為，如下結論中正確的是 （寫出所有正確結論的編號）． ①圖象關于直線對稱； ②圖象的所有對稱中心都可以表示為； ③函數(shù)在區(qū)間內是增函數(shù)； ④由的圖象向左平移個單位長度可以得到圖象． ⑤函數(shù)在上的最小值是. 【答案】①③④. 【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質，較難題. 三、解答題：本大題共6個小題，滿分75分.解答應寫出必要的

9、文字說明、證明過程或演算步驟. （16）(本題滿分12分) 在中，分別是角的對邊，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求邊的長. （16）【命題意圖】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)、平面向量的數(shù)量積定義、正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查邏輯推理和運算求解能力，簡單題． 解：（Ⅰ）∵，，∴. ∴，，∴ .……6分 （Ⅱ）∵，∴；又由正弦定理，得，解得，，∴，，即邊的長為5.…………12分 （17）(本題滿分12分)一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共件，其中有件次品，用戶先對產(chǎn)品進行抽檢以決定是否接收．抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查（取出的產(chǎn)品不放回箱子），若前三次沒有抽查到次品，則

10、用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品. （Ⅰ）求這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率； （Ⅱ）記抽檢的產(chǎn)品件數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望． （17）【命題意圖】本題考查概率知識，分布列和期望的求法，考查學生應用知識解決問題的能力，中等題. 解：（Ⅰ）設“這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件，則.即這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率為．………………4分 （Ⅱ）的可能取值為1，2，3． ……5分 ∵，， ， ……8分 ∴的概率分布列為： 1 2 3 ……………10分 ∴． ………………（12分） （18）(本題滿分12分)

11、在如圖的多面體中，⊥平面，,，，，，，是的中點． (Ⅰ) 求證：平面； (Ⅱ) 求證：； (Ⅲ) 求二面角的余弦值. （18）【命題意圖】本題考查線面位置關系、二面角等有關知識，考查空間想象能力，中等題. 解：(Ⅰ)證明：∵，∴； 又∵，是的中點，∴，且，∴四邊形是平行四邊形， ∴ . ∵平面，平面，∴平面. …………4分 (Ⅱ) 解法1：證明：∵平面，平面，∴；又，平面，∴平面. 過作交于，則平面. ∵平面， ∴. ∵，∴四邊形平行四邊形，∴，∴，又，∴四邊形為正方形， ∴，又平面，平面，∴⊥平面. ∵平面，∴. ………………8分 解法2：∵平面，平面，平面，

12、∴，，又，∴兩兩垂直. 以點為坐標原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系. 由已知得，，，，，，；∴，，∴，∴.………8分 (Ⅲ)由已知得是平面的法向量. 設平面的法向量為，∵，∴，即，令,得. 設二面角的大小為，由法向量與的方向可知，，∴，即二面角的余弦值為.………12分 （19）（本題滿分12分）已知數(shù)列滿足. （Ⅰ）證明數(shù)列是等差數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅲ）設，求數(shù)列的前項和. （19）【命題意圖】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念與通項公式、數(shù)列求和等基礎知識知識，考查運算求解能力、推理論證能力，中等題. 解：（Ⅰ）由已知可得，所以，即，∴數(shù)列是公

13、差為1的等差數(shù)列.………4分 （Ⅱ）由（1）可得，∴.………7分 （Ⅲ）由（2）知，，所以， ，相減得 ，∴.………12分 （20）（本題滿分13分）已知橢圓：()過點，其左、右焦點分別為，且. (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)若是直線上的兩個動點，且，則以為直徑的圓是否過定點？請說明理由． （20）【命題意圖】本題考查圓與橢圓的方程等相關知識，考查運算求解能力以及分析問題、解決問題的能力，較難題. 解：（Ⅰ）設點的坐標分別為，則，故，可得，………………2分 所以，，…………………4分 ∴，所以橢圓的方程為．　…………………………6分 （Ⅱ）設的坐標分別為，則，. 由，

14、可得，即， …………………8分 又圓的圓心為半徑為，故圓的方程為，即，也就是，令，可得或， 故圓必過定點和．　……………………13分 （21）（本題滿分14分）設函數(shù)，且為的極值點． (Ⅰ) 若為的極大值點，求的單調區(qū)間（用表示）； (Ⅱ) 若恰有兩解，求實數(shù)的取值范圍． （21）【命題意圖】本題考查導數(shù)的應用，分類討論思想，考查運算求解能力、邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力，較難題. 解：，又，則，所以且， …………3分 （Ⅰ）因為為的極大值點，所以. 令，得或；令，得. 所以的遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為．…………6分 （Ⅱ）①若，則在上遞減，在上遞增. 若恰有兩解，則，即，所以. ②若，則，. 因為，則，，從而只有一解； ③若，則，從而，則只有一解. 綜上，使恰有兩解的的范圍為．…………14分