《江蘇省姜堰市溱潼中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)梳理 第2章 函數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《江蘇省姜堰市溱潼中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)梳理 第2章 函數(shù)（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二章 函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)梳理 一、函數(shù)： 1.函數(shù)的近代定義：如果A、B都是非空數(shù)集，那么A到B的映射f ：A→B就叫做A到B的函數(shù)，記作y=f (x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函數(shù)y=f (x)的定義域，象集合C（CíB）叫做函數(shù)y=f (x)的值域. 函數(shù)的三要素是： 、 、 . ⒊函數(shù)的表示法：解析法、列表法、圖象法. ⒋關(guān)于區(qū)間的概念： ⑴滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為 ； ⑵滿足不等式a＜x＜b的實(shí)數(shù)x

2、的集合叫做開區(qū)間，表示為 ； ⑶滿足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為 或 . 以上的實(shí)數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn). ⒌函數(shù)解析式的求法：⑴換元法；⑵待定系數(shù)法. ⒍求函數(shù)定義域的主要依據(jù)： ⑴分式中的分母不為0；⑵偶次根式的被開方數(shù)不小于零；⑶對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零； ⑷零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零；⑸指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1； ⑹對(duì)于應(yīng)用問題，要注意自變量所受實(shí)際意義的限制. ⒎求函數(shù)值域

3、的方法有：⑴配方法；⑵換元法；⑶判別式法；⑷單調(diào)性法； ⑸基本不等式法；⑹數(shù)形結(jié)合法；三、函數(shù)的單調(diào)性： ⒈函數(shù)單調(diào)性的定義： 如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1＜x2時(shí), 都有f (x1)＜f (x2),那么就說f (x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù). 這個(gè)區(qū)間叫增區(qū)間. 如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1＜x2時(shí), 都有f (x1)＞f (x2), 那么就說f (x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù). 這個(gè)區(qū)間叫減區(qū)間. 注意：函數(shù)的單調(diào)

4、區(qū)間(增區(qū)間或減區(qū)間)是其定義域的子集；函數(shù)的定義域不一定是函數(shù)的單調(diào) 區(qū)間. ⒉函數(shù)單調(diào)性的判別方法： 圖象法.若函數(shù)f (x)的圖象在區(qū)間D上從左至右是上升(下降)的,則f (x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)； ⑴ 定義法.其一般步驟是： ① 值.在所給區(qū)間上任取x1＜x2；②作差f (x1)?f (x2)；③變形.分解因式或配方等；④定號(hào).看 f (x1)?f (x2)的符號(hào)；⑤下結(jié)論. ⑷利用函數(shù)單調(diào)性的判定定理：用定義可直接證出. ①函數(shù)f (x)與f (x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性； ②當(dāng)c＞0時(shí),函數(shù)f (x)與c

5、f (x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)c＜0時(shí),函數(shù)f (x)與cf (x)具有相反的單調(diào)性； ③若f (x)≠0,則函數(shù)f (x)與具有相反的單調(diào)性； ④若f (x)≥0,則函數(shù)f (x)與具有相同的單調(diào)性； ⑤若函數(shù)f (x), g(x)都是增函數(shù),則f (x)+g(x)也是增函數(shù)； (增+增=增) ⑥若函數(shù)f (x), g(x)都是減函數(shù),則f (x)+g(x)也是減函數(shù)； (減+減=減) ⑦若函數(shù)f (x)是增函數(shù), g(x)是減函數(shù),則f (x)?g(x)也是增函數(shù)；(增?減=增)

6、 ⑧若函數(shù)f (x)是減函數(shù), g(x)是增函數(shù),則f (x)?g(x)也是減函數(shù)；(減?增=減) 另外還有以下幾個(gè)重要結(jié)論：（用定義可直接證出） ⒊一些特殊函數(shù)的單調(diào)性： ⑴一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)k＞0時(shí),在R上是 ；當(dāng)k＜0時(shí),在R上是 . ⑵二次函數(shù)y=ax2+bx+c, 當(dāng)a＞0時(shí),在(?∞,]上為 ,在[,+∞)上為 ； 當(dāng)a＜0時(shí),在(?∞,]上為 ,在[,+∞)上為 . ⑶反

7、比例函數(shù)y=,當(dāng)k＞0時(shí),在(?∞,0),(0,+∞)上都是 ； 當(dāng)k＜0時(shí),在(?∞,0),(0,+∞)上都是 . ⑷指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a＞1時(shí),在R上是 , 當(dāng)0＜a＜1時(shí),在R上是 . ⑸對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a＞1時(shí),在(0,+∞)是 , 當(dāng)0＜a＜1時(shí),在(0,+∞)是 . ⑹*記住重要函數(shù)y=x+的單調(diào)性,并會(huì)證明： 當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在(0,)上單調(diào)遞減,在[,+∞]上單調(diào)遞增； 當(dāng)x＜0時(shí)

8、，函數(shù)在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增. 四、函數(shù)的奇偶性： ⒈函數(shù)奇偶性的定義： 如果對(duì)于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f (?x)=f (x),那么函數(shù)f (x)叫做偶函數(shù). 如果對(duì)于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f (?x)=?f (x),那么函數(shù)f (x)叫做奇函數(shù). 注意：⑴由定義可知,函數(shù)具有奇偶性的必要條件是定義域關(guān)于 對(duì)稱. ⑵函數(shù)的奇偶性可分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(此時(shí)我們說該函數(shù) 具有奇偶性)、既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)(

9、此時(shí)我們說該函數(shù)不具有奇偶性). 注意：設(shè)函數(shù)f (x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,那么函數(shù)f (x) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的充要條 件是f (x)恒等于0. 例：f (x)=0,x∈(?1,1)；f (x)=0,x∈[?2,2]；f (x)=等等. ⒉具有奇偶性函數(shù)的圖象特征： ⑴奇函數(shù)?圖象關(guān)于 對(duì)稱； ⑵偶函數(shù)?圖象關(guān)于 對(duì)稱. ⒊判斷函數(shù)奇偶性的方法： ⑴圖象法； ⑵定義法.其一般步驟是： ①求函數(shù)的定義域,并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

10、,若不對(duì)稱,則此函數(shù)不具有奇偶性； 若對(duì)稱,再進(jìn)行第二步； ②判斷f (?x)與f (x)的關(guān)系,并下結(jié)論. 若f (?x)=?f (x)且f (x)不恒等于0,則此函數(shù)為奇函數(shù)； 若f (?x)=f (x)且f (x)不恒等于0,則此函數(shù)為偶函數(shù)； 若f (?x)=?f (x)且f (?x)=f (x),則此函數(shù)為既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)； 若f (?x)≠?f (x)且f (?x)≠f (x),則此函數(shù)為既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù). ⑸奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相

11、同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有 相反的單調(diào)性； ⑺若f (x)是奇函數(shù)，且f (0)有意義，則必有f (0)= . f (0)=0是f (x)是奇函數(shù)的 條件. 六、函數(shù)圖象的變換： ⒈平移變換： ⑴y=f (x)的圖象沿x軸向右平移a (a＞0)個(gè)單位得到y(tǒng)=f (x?a)的圖象； ⑵y=f (x)的圖象沿x軸向左平移a (a＞0)個(gè)單位得到y(tǒng)= f (x+a)的圖象； ⑶y=f (x)的圖象沿y軸向上平移a (a＞0)個(gè)單位得到y(tǒng)= f

12、 (x)+a的圖象； ⑷y=f (x)的圖象沿y軸向下平移a (a＞0)個(gè)單位得到y(tǒng)= f (x)?a的圖象. ⒊對(duì)稱變換： (一)兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱關(guān)系： ⑴y=f (x)與y=?f (x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱； ⑵y=f (x)與y=f (?x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； ⑶y=f (x)與y= ?f (?x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱； ⑷y=f (x)與y= f ?1(x)的圖象關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱； ⑸y=f (|x|)的圖象是保留y=f (x)的圖象中y軸右邊部分,并作其關(guān)于

13、y軸對(duì)稱的圖象, 再擦掉 y=f (x) 的圖象中y軸左邊部分而得到； ⑹y=|f (x)|的圖象是保留y=f (x)的圖象中x軸上方的圖象及x軸上的點(diǎn),并將x軸下方的圖象以x軸為對(duì)稱軸翻折到x軸上方去； ⑺*函數(shù)y=f (a+mx)與函數(shù)y=f (b?mx)(a、b：m∈R,m≠0)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱. 七、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)： ⒈根式的定義： ⑴方根：如果一個(gè)數(shù)的n次方等于a (n＞1且n∈N*),那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根. 即：若x n=a,則x叫做a的n次方根. ⑵根式：式子叫做

14、根式,其中n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù). 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí), 表示正數(shù)a的正的n次方根. ⒉根式的性質(zhì)： ⑴()n = a； ⑵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)；. ⒊分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： 當(dāng)a＞0,m、n∈N*且n＞1時(shí),規(guī)定： ； ； ； 無意義. ⒋有理指數(shù)冪的性質(zhì)： ⑴ar·as=ar+s (a＞0, r、s∈Q)； ⑵(ar)s=ar s (a＞0, r、s∈Q)； ⑶(ab)r=arbr (a＞0, b＞0,r∈Q). ⒌指數(shù)函數(shù)：

15、 ⑴指數(shù)函數(shù)的定義：把形如y=ax(a＞0,且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù). ⑵指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)： y=ax (a＞0,且a≠1) a＞1 0＜a＜1 圖 象 性 質(zhì) 定義域 值 域 單調(diào)性 其 它性 質(zhì) ①x＞0時(shí),y＞1； ②x＜0時(shí),0＜y＜1； ③x=0時(shí),y=1. 即圖象恒過點(diǎn)(0,1) ①x＞0時(shí), 0＜y＜1； ②x＜0時(shí), y＞1； ③x=0時(shí),y=1. 即圖象恒過點(diǎn)(0,1) 八、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)：

16、 ⒈對(duì)數(shù)的概念： ⑴對(duì)數(shù)的定義：如果a(a＞0,a≠1)的b次冪等于N，即ab=N,那么,數(shù)b叫做以a為底 N的對(duì)數(shù).其中,a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做對(duì)數(shù)的真數(shù). ⑵常用對(duì)數(shù)：把以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù),并記log10N為lgN. ⑶自然對(duì)數(shù)：把以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù),并記logeN為lnN. 其中e=2.71828……,是一個(gè)無理數(shù). ⑷對(duì)數(shù)恒等式：. ⒉對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則： 如果a＞0,a≠1,M＞0,N＞0,那么 ⑴loga(M

17、N)= logaM+logaN；⑵；⑶logaMn=n logaM. ⒊對(duì)數(shù)的三個(gè)性質(zhì)： ⑴1的對(duì)數(shù)為0(即loga1=0)；⑵底的對(duì)數(shù)為1(即logaa=1)；⑶零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù). ⒋對(duì)數(shù)函數(shù)： ⑴對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：把形如y=logax(a＞0,且a≠1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù). ⑵對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)： y=logax (a＞0,且a≠1) a＞1 0＜a＜1 圖 象 性 質(zhì) 定義域 值 域 單調(diào)性 其 它性 質(zhì) ①x＞1時(shí),y＞0； ②0＜x＜1時(shí), y＜0； ③x=1時(shí),y=0. 即圖象恒過點(diǎn)(1,0) ①x＞1時(shí), y＜0； ②0＜x＜1時(shí), y＞0； ③x=1時(shí),y=0. 即圖象恒過點(diǎn)(1,0)