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1、專題檢測（十二） 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 A 組—— “ 6＋ 3 ＋3 ”考點(diǎn)落實(shí)練 一、選擇題 1.利用系統(tǒng)抽樣法從編號分別為1, 2, 3,…，80的80件不同產(chǎn)品中抽出一個容量為 16 的樣本，如果抽出的產(chǎn)品中有一件產(chǎn)品的編號為13，則抽到產(chǎn)品的最大編號為（ ） A.73 B.78 C.77 D.76 解析：選B樣本的分段間隔為80二5，所以13號在第三組，則最大的編號為13 + （16 -3）X5 二 78.故選 B. 2.（2019?全國卷II）演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成 績時,從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分,得到7個有效評分.

2、7個有效評分與 9 個原始評分相比,不變的數(shù)字特征是（ ） A.中位數(shù) B.平均數(shù) C. 方差 D. 極差 解析：選A中位數(shù)是將9個數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)， 因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響.故選 A. 3.（2019?廣東六校第一次聯(lián)考）某單位為了落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”理念，制定節(jié) 能減排的目標(biāo)，先調(diào)查了用電量y（單位：kW?h）與氣溫x（單位：。C）之間的關(guān)系，隨機(jī)選取 了 4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了如下對照表： C.64 D.68 17+ 14+ 10- 1 24+ 34+ 38+ a

3、 96+ a 解析：選c由題意，得x= 4 =10，y= 4 二 廠?樣本點(diǎn)的 中心（x , y）在回歸直線$二-2x + 60上，代入線性回歸方程可得964工=-20 + 60,解得a二 64，故選 C. 4.如圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的 2019 年春運(yùn)期間十二個城市售出的往返機(jī)票的平均價格以及 相比去年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是（ ） 2 350 1500 750 ■ ■■■ 0 廣輙北杭上：X重西啣廈咸武 州圳京州晦津慶穽京門都漢 排格 亠讎 12就市春運(yùn)往返機(jī)票平均愉樓 IOJOO% i 3 000" 7.5OS- 5,00% 150

4、斤 0% -2M -5,00*- -7.50% 10.00% A. 深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高 B. 深圳和廈門的春運(yùn)期間往返機(jī)票價格同去年相比有所下降 C. 平均價格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州 D. 平均價格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、廈門 解析：選 D 由圖可知深圳對應(yīng)的小黑點(diǎn)最接近0%，故變化幅度最小，北京對應(yīng)的條 形圖最高，貝歸匕京的平均價格最高，故A正確；由圖可知深圳和廈門對應(yīng)的小黑點(diǎn)在0%以 下，故深圳和廈門的價格同去年相比有所下降，故 B 正確；由圖可知條形圖由高到低居于 前三位的城市為匕京、深圳和廣

5、州，故 C 正確；由圖可知平均價格的漲幅由高到低分別為 天津、西安和南京，故D錯誤，選D. 5.—個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差不為0的等差數(shù)列{an},若a3 = 8, 且a1，a3, a7成等比數(shù)列，貝V此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（） A.13， 12 B.13， 13 C.12， 13 D.13， 14 解析：選 B 設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為 d(dM0) , a3 二 8 , a]a7 二 a§ 二 64 , (8 - 2d)(8 + 4d) 二 64，即 2d-d2 = 0 ,又 d/0，故 d 二 2，故樣本數(shù)據(jù)為：4 , 6 , 8 , 10 , 12

6、 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 ,平均數(shù)為上氣著空二13，中位數(shù)為二13. 乙兩名籃球運(yùn)動員的近期 甲 9 8 5 2 8 9 2 1 3 0 1 2 6.（2019.成都市第二次診斷性檢測）為比較甲、 競技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場比賽的得分，制成如圖所示的莖葉圖.有下列結(jié)論： ① 甲最近五場比賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場比賽得分的中位數(shù)； ② 甲最近五場比賽得分的平均數(shù)低于乙最近五場比賽得分的平均數(shù)； ③ 從最近五場比賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定； ④ 從最近五場比賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定. 其中所有正確結(jié)論的編號為( ) A.①③

7、 B.①④ C.②③ D.②④ 解析：選C對于①，甲得分的中位數(shù)為29，乙得分的中位數(shù)為30，錯誤； 對于②，甲得分的平均數(shù)為|x(25 + 28 + 29 + 31 +32) = 29 ,乙得分的平均數(shù)為|x(28 + 29+ 30+ 31 + 32)二 30 ,正確； 對于③，甲得分的方差為|x [(25 - 29)2 + (28 - 29)2 + (29 - 29)2 + (31 - 29)2 + (32 - 29)2] = *X(16+1+0 + 4 + 9)二6 , X [(28 - 30)2 + (29 - 30)2 + (30 - 30)2 + (31 - 30)2

8、 + (32 - 30)2] = 5 X (4 + 1+0 + 1+4) = 2,所以乙比甲更穩(wěn)定，③正確，④錯誤.所以正確結(jié)論的編號為②③. 二、填空題 7.(2019?全國卷II)我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有 10個車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個車次的正點(diǎn)率為0.99， 則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為 . 10+ 20+ 10 解析：x 二 10 X 0.97 + 20 X 0.98 + 10X 0.99 二 0.98. 則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為0.98. 答案：

9、 0.98 8.(2019?安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…，a”的方差為則數(shù)據(jù)2a1， 2a2, 2a3，…，2an的方差為 . 解析：設(shè)a1 , a2 , a3 ,…,a”的平均數(shù)為a，則2a1 , 2a2 , 2a3 ,…,2a”的平均數(shù)為2a , (竹-a) 2+(a2-a) 2+(a3-a) : + …+幺-a ) 2 12 3 n_ O 2 — . n 則2a1 , 2a2 , 2a3 ,…，2a”的方差為 ( 2a - 2a) 2+( 2a - 2a) 2+( 2a - 2a) 2+ … +( 2a - 2a) 2 n (a1-a)2+(a2-

10、a)2+(a3-a)2 + ^+(a - a) 2 4 乂 1 2 3 n 二 4西. n 答案：4^2 9.某新聞媒體為了了解觀眾對央視《開門大吉》節(jié)目的喜愛與性別是否有關(guān)系，隨機(jī)調(diào) 查了觀看該節(jié)目的觀眾110名，得到如下的列聯(lián)表： 女 男 總計(jì) 喜愛 40 20 60 不喜愛 20 30 50 總計(jì) 60 50 110 試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)在犯錯誤的概率不超過 的前提下 (約有 的把握)認(rèn)為“喜愛該節(jié)目與否和性別有關(guān)”. 參考附表： P 心 k°) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.6

11、35 10.828 ［參考公式: 其中 n=a^b^e^d n (ad—be) 2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 解析： 分析列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，可得 K2 的觀測值 k— 110X (40X30 - 20X20 )2 60X50X60X50 -7.822 > 6.635，所以在犯錯誤的概率不超過0.01 的前提下(有 99%的把握)認(rèn)為“喜愛該節(jié)目與否和 性別有關(guān)”. 答案： 0.01 99% 三、解答題 10.(2019?全國卷III)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將 200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組

12、小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給 服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方 法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì) 值為 0.70. (1) 求乙離子殘留百分比直方圖中a， b的值； (2) 分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代 表). 解：(1)由已知得 0.70 二 a+ 0.20+ 0.15，故 a 二 0.35. b 二 1 - 0.05 - 0.15 - 0.70 二 0.1

13、0. (2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 2X0.15 + 3X0.20 + 4X0.30 + 5X0.20 + 6X0.10 + 7X0.05=4.05 , 乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 3X0.05+4X0.10+5X0.15+6X0.35+7X0.20+8X0.15=6.00. 11.某市教育學(xué)院從參加市級高中數(shù)學(xué)競賽的考生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其競賽成績 (均為整數(shù))分成六段:[40, 50), [50, 60), [60, 70),…，[90, 100],得到如圖所示的頻率 分布直方圖. a 0.02S 0.015 0.010 0.005

14、 (1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)參加高中數(shù)學(xué)競賽的考生的成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位 數(shù)(小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字)； (2)用分層抽樣的方法在各分?jǐn)?shù)段的考生中抽取一個容量為20的樣本,則各分?jǐn)?shù)段抽取 的人數(shù)分別是多少？ 解：(1)由頻率分布直方圖可知， (0.010 + 0.015 +0.015+ a + 0.025 + 0.005) X 10 二 1 ,所以 a 二 0.03. 所以參加高中數(shù)學(xué)競賽的考生的成績的平均數(shù)為 45X0.1 +55X0.15 + 65X0.15 + 75X0.3 + 85X0.25 + 95X0.05 二71 , 成績的眾數(shù)為75 . 設(shè)參加高中數(shù)

15、學(xué)競賽的考生的成績的中位數(shù)為x , 貝0 0.1 +0.15+ 0.15 +(x- 70)X0.03 二 0.5，解得x~73.3 , 所以中位數(shù)為73.3. 20 1 (2)因?yàn)楦鲗尤藬?shù)分別為6, 9 , 9 , 18 , 15 , 3 ,各層抽取比例為諾三， 所以各分?jǐn)?shù)段抽取人數(shù)依次為2 ， 3， 3， 6， 5， 1. 12.(2019?沈陽市質(zhì)量監(jiān)測(一))某籃球運(yùn)動員的投籃命中率為50%,他想提高自己的投籃 水平，制定了一個夏季訓(xùn)練計(jì)劃，為了了解訓(xùn)練效果，執(zhí)行訓(xùn)練前，他統(tǒng)計(jì)了10場比賽的 得分，計(jì)算出得分的中位數(shù)為15，平均得分為15，得分的方差為46.3.執(zhí)行訓(xùn)練后也統(tǒng)

16、計(jì)了 10場比賽的得分，莖葉圖如圖所示： (1) 請計(jì)算該籃球運(yùn)動員執(zhí)行訓(xùn)練后統(tǒng)計(jì)的10場比賽得分的中位數(shù)、平均得分與方差. (2) 如果僅從執(zhí)行訓(xùn)練前后統(tǒng)計(jì)的各10場比賽得分?jǐn)?shù)據(jù)分析，你認(rèn)為訓(xùn)練計(jì)劃對該運(yùn)動 員的投籃水平的提高是否有幫助？為什么？ 14+ 15 解：(1)訓(xùn)練后得分的中位數(shù)為二14?5； 平均得分為 二 15 ； 8 + 9 + 12 + 14 + 14 + 15 + 16+18 + 21+23 1^ 方差為為(8 - 15)2 + (9 - 15)2 + (12 - 15)2 + (14 - 15)2 + (14 - 15)2 + (15 - 15)2

17、+ (16 - 15)2 + (18 - 15)2 + (21 - 15)2 + (23 - 15)2］二 20.6. (2)盡管中位數(shù)訓(xùn)練后比訓(xùn)練前稍小，但平均得分一樣，訓(xùn)練后方差20.6小于訓(xùn)練前方 差 46.3，說明訓(xùn)練后得分穩(wěn)定性提高了（闡述觀點(diǎn)合理即可），這是投籃水平提高的表現(xiàn).故此 訓(xùn)練計(jì)劃對該籃球運(yùn)動員的投籃水平的提高有幫助. B 組 ——大題專攻強(qiáng)化練 1.（2019?武漢市調(diào)研測試）一個工廠在某年里連續(xù)10個月每月產(chǎn)品的總成本y（萬元）與該 月產(chǎn)量x（萬件）之間有如下一組數(shù)據(jù): x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59

18、 1.68 1.80 1.87 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 （1） 通過畫散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明. （2） ①建立月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸方程； ②通過建立的 y 關(guān)于 x 的回歸方程，估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98 萬件時，產(chǎn)品的總成本為多 少萬元？（均精確到0.001） 附注：①參考數(shù)據(jù)：錯誤! =27.31, Sx2 —10x2^0.850, ￡y?—10y2a 1.042, b~1.223. ②參考公式：相關(guān)系數(shù) r— I

19、 回歸直^y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為: X石屮一n j： y b= '~; * a = y— b 工. 立t? — n T2 解：（1）由已知條件得， A r 二 b i 二 1 .\r= 1.223Xy2042~°.998， 這說明y與x正相關(guān)，且相關(guān)性很強(qiáng). ⑵①由已知求得x= 1.445 , y二2.731 , a=y ~bx = 2.731 - 1.223X, ???所求回歸直線方程為$二1.223x + 0.964. ②當(dāng) x=1.98 時，y = 1.223 X 1.98 + 0.964^3.386(萬元), 此時產(chǎn)品的總

20、成本約為3.386萬元. 2.海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100 個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg),其頻率分布直方圖如下: (1) 估計(jì)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于5° kg的概率并估計(jì)新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量的平均值； (2) 填寫下面的2X2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方 法有關(guān). 箱產(chǎn)量＜5° kg 箱產(chǎn)量三5° kg 總計(jì) 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 總計(jì) n (ad—be) 2 卄' , ,, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

21、'其中 n=a+b+e+d. P 心 k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 解：(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012+ 0.014+ 0.024+ 0.034+ 0.040)X5 二0.62，所以舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的概率估計(jì)值為0.62 ；新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量的平均 值為 37.5X 0.004X 5+ 42.5X 0.020X 5+ 47.5X 0.044X 5+ 52.5X 0.068X 5+ 57.5X 0.046X 5 + 62.5X0.010X5 + 67.5X0.008X5 二5

22、2.35. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得2 X 2列聯(lián)表如下： 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量三50 kg 總計(jì) 舊養(yǎng)殖法 62 38 100 新養(yǎng)殖法 34 66 100 總計(jì) 96 104 200 由表中數(shù)據(jù)得K2- -15.705 , 200 X ( 62X66 - 34X38 ) 2 100X100X96X104 由于15.705>6.635 ，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān). 3.(2019?長沙市統(tǒng)一模擬考試)某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計(jì)劃，收 集了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元

23、)的數(shù)據(jù)如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 廣告投入量/萬元 2 4 6 8 10 12 收益/萬元 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67 他們用兩種模型①y=bx+a,?y=aebx分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘 差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值： 11 民 x y Yxi沖 7 30 1 464.24 364 禺差 1—A 一模型① 摸型② 5 二汽戸月奮 (1) 根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由. (2)

24、殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：(i)剔除異常數(shù)據(jù)后，求出 ⑴中所選模型的回歸方程；(ii)廣告投入量x=18時，(1)中所選模型收益的預(yù)報值是多少？ A A A 附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2, y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線尸bx+a的斜率和截距 b -= =——=^-7 」* -心. X(:門—r'i- ￡ 普—n ~y~ 的最小二乘估計(jì)分別為： ■" 解：(1)應(yīng)該選擇模型①，因?yàn)槟Ｐ廷俚臍埐铧c(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且 模型①的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度高，回歸方程的預(yù)報精度 高. (2)(i )剔除

25、異常數(shù)據(jù)，即3 月份的數(shù)據(jù)后，得 x = |x(7X6 - 6) = 7.2 , y = |x(30X6 - 31.8)二 29.64. 乞般刃=12-1 —S- 1 273. -L-l * 68. 8 占工汀廠j I _ 】貯3. [4 —5><化 2X29. fil _ 20fi. 4 ~ _ 328-5X7. 2X7,. 2 i-7—&7-2D. 64 -3X7. 2-8. 01. 所嘆y關(guān)于上的L可歸方程芮3. (i)把x二18代入(i)中所求回歸方程得；= 3X18 + 8.04二62.04故預(yù)報值為62.04萬元 4.每年 10 月中上旬是小麥的最佳種植時間，但小麥

26、的發(fā)芽會受到土壤、氣候等多方面 因素的影響.某科技興趣小組為了解晝夜溫差的大小與小麥發(fā)芽的多少之間的關(guān)系，在不同 的溫差下統(tǒng)計(jì)了100 顆小麥種子的發(fā)芽數(shù)，得到了如下數(shù)據(jù)： 溫差x( C) 8 10 11 13 12 發(fā)芽數(shù)y(顆) 79 81 85 90 86 A A A (1)請根據(jù)統(tǒng)計(jì)的最后三組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a (2) 若由(1)中的線性回歸方程得到的估計(jì)值與前兩組數(shù)據(jù)的實(shí)際值誤差均不超過兩顆， 則認(rèn)為線性回歸方程是可靠的，試判斷(1)中得到的線性回歸方程是否可靠； (3) 若100顆小麥種子的發(fā)芽數(shù)為n顆，則記n%的發(fā)芽率

27、，當(dāng)發(fā)芽率為n%時，平均每 畝地的收益為10n元，某農(nóng)場有土地10萬畝，小麥種植期間晝夜溫差大約為9 °C,根據(jù)(1) 中得到的線性回歸方程估計(jì)該農(nóng)場種植小麥所獲得的收益. \ n：i： y A A A A 乙工J — IF J：'- 附：在線性回歸方?y=bx+a中，b= 解： (1)Tx 二 11 + 13 + 12 3 二 12 , y二 85 + 90 + 86 3 二 87, 11X85+ 13X90+ 12X86 - 3X12X87 112 + 132 + 122 - 3 X 122 由^x + a=y，即2X12 +87，得a = 57 , ??線性回歸方程為y=*+57. 5 ⑵當(dāng)x二8時，y二2X 8 + 57二77 ,與實(shí)際值79比較，誤差沒有超過兩顆； 當(dāng)x二10時，y二|x 10 + 57二82 ,與實(shí)際值81比較，誤差也沒有超過兩顆. 所以(1)中得到的線性回歸方程$二|x + 57是可靠的. (3)由y = |x + 57得，當(dāng)x二9時，y二79.5，即每畝地的收益大約為795元，所以該農(nóng)場 種植小麥所獲得的收益大約為7 950萬元.