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1、數(shù)列
1.【2020高考重慶,理2】在等差數(shù)列中,若=4,=2,則= ( ?。?
A、-1 B、0 C、1 D、6
【答案】B
【解析】由等差數(shù)列的性質得,選B.
【考點定位】本題屬于數(shù)列的問題,考查等差數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的性質.
【名師點晴】本題可以直接利用等差數(shù)列的通項公式求解,也可應用等差數(shù)列的性質求解,主要考查學生靈活應用基礎知識的能力.是基礎題.
2.【2020高考福建,理8】若 是函數(shù) 的兩個不同的零點,且 這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列,也可適當
2、排序后成等比數(shù)列,則 的值等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】D
【解析】由韋達定理得,,則,當適當排序后成等比數(shù)列時,必為等比中項,故,.當適當排序后成等差數(shù)列時,必不是等差中項,當是等差中項時,,解得,;當是等差中項時,,解得,,綜上所述,,所以,選D.
【考點定位】等差中項和等比中項.
【名師點睛】本題以零點為載體考查等比中項和等差中項,其中分類討論和邏輯推理是解題核心.三個數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列,項與項之間是有順序的,但是等差中項或等比中項是唯一的,故可以利用中項進行討論,屬于難題.
3.【2020高考北京,理6】設是等差數(shù)列.
3、 下列結論中正確的是( )
A.若,則 B.若,則
C.若,則 D.若,則
【答案】C
【解析】先分析四個答案支,A舉一反例,而,A錯誤,B舉同樣反例,,而,B錯誤,下面針對C進行研究,是等差數(shù)列,若,則設公差為,則,數(shù)列各項均為正,由于,則,選C.
考點定位:本題考點為等差數(shù)列及作差比較法,以等差數(shù)列為載體,考查不等關系問題,重 點是對知識本質的考查.
【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和比較法,本題屬于基礎題,由于前兩個選項無法使用公式直接做出判斷,因此學生可以利用舉反例的方法進行排除,這需要學生不能死套公式,
4、要靈活應對,作差法是比較大小常規(guī)方法,對判斷第三個選擇只很有效.
4.【2020高考浙江,理3】已知是等差數(shù)列,公差不為零,前項和是,若,,成等比數(shù)列,則( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的概念等知識點,同時考查了學生的運算求
解能力,屬于容易題,將,表示為只與公差有關的表達式,即可求解,在解題過程中要注意等等差數(shù)列與等比數(shù)列概念以及相關公式的靈活運用.
5.【2020高考安徽,理14】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,,則數(shù)列的前項和等于 .
【答案】
【解析】由題意,
5、,解得或者,而數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,所以,即,所以,因而數(shù)列的前項和
.
【考點定位】1.等比數(shù)列的性質;2.等比數(shù)列的前項和公式.
【名師點睛】對于等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合考查的問題,要做到:①熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質,尤其是,則(等差數(shù)列),(等比數(shù)列);②注意題目給定的限制條件,如本題中“遞增”,說明;③要熟練掌握數(shù)列中相關的通項公式,前項和公式等.
6.【2020高考新課標2,理16】設是數(shù)列的前n項和,且,,則________.
【答案】
【解析】由已知得,兩邊同時除以,得,故數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列,則,所以.
【考點定位】等差數(shù)列和遞推關系.
【
6、名師點睛】本題考查數(shù)列遞推式和等差數(shù)列通項公式,要搞清楚項與的關系,從而轉化為與的遞推式,并根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷是等差數(shù)列,屬于中檔題.
7.【2020高考廣東,理10】在等差數(shù)列中,若,則= .
【答案】.
【解析】因為是等差數(shù)列,所以,即,所以,故應填入.
【考點定位】等差數(shù)列的性質.
【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列性質及其簡單運算和運算求解能力,屬于容易題,解答此題關鍵在于熟記,及其熟練運用.
8.【2020高考陜西,理13】中位數(shù)1010的一組數(shù)構成等差數(shù)列,其末項為2020,則該數(shù)列的首項為 .
【答案】
【解析】設數(shù)列的首項為,
7、則,所以,故該數(shù)列的首項為,所以答案應填:.
【考點定位】等差中項.
【名師點晴】本題主要考查的是等差中項,屬于容易題.解題時一定要抓住重要字眼“中位數(shù)”和“等差數(shù)列”,否則很容易出現(xiàn)錯誤.解本題需要掌握的知識點是等差中項的概念,即若,,成等差數(shù)列,則稱為與的等差中項,即.
9.【2020江蘇高考,11】數(shù)列滿足,且(),則數(shù)列的前10項和為
【答案】
【考點定位】數(shù)列通項,裂項求和
【名師點晴】由數(shù)列的遞推公式求通項公式時,若遞推關系為an+1=an+f(n)或an+1=f(n)·an,則可以分別通過累加、累乘法求得通項公式,另外,通過迭代法也可以求得上面
8、兩類數(shù)列的通項公式,注意:有的問題也可利用構造法,即通過對遞推式的等價變形,轉化為特殊數(shù)列求通項.數(shù)列求和的常用方法有倒序相加法,錯位相減法,裂項相消法,分組求和法,并項求和法等,可根據(jù)通項特點進行選用.
11.【2020高考浙江,理20】已知數(shù)列滿足=且=-()
(1)證明:1();
(2)設數(shù)列的前項和為,證明().
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.
試題分析:(1)首先根據(jù)遞推公式可得,再由遞推公式變形可知
,從而得證;(2)由和得,
,從而可得,即可得證.
試題解析:(1)由題意得,,即,,由
得,由得,
,即;(2)由題意得,
∴①,由和得,,
∴,因
9、此②,由①②得
.
【考點定位】數(shù)列與不等式結合綜合題.
【名師點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式,不等式的證明等知識點,屬于較難題,第一小問易證,利
用條件中的遞推公式作等價變形,即可得到,再結合已知條件即可得證,第二小
問具有較強的技巧性,首先根據(jù)遞推公式將轉化為只與有關的表達式,再結合已知條件得到的
取值范圍即可得證,此次數(shù)列自2020年之后作為解答題壓軸題重出江湖,算是一個不大不小的冷門(之
前浙江各地的模考解答題壓軸題基本都是以二次函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題),由于數(shù)列綜合題常與不等式,
函數(shù)的最值,歸納猜想,分類討論等數(shù)學思想相結合,技巧性比較強,需要平時一定量的訓練與
10、積累,在
后續(xù)復習時應予以關注.
10.【2020江蘇高考,20】(本小題滿分16分)
設是各項為正數(shù)且公差為d的等差數(shù)列
(1)證明:依次成等比數(shù)列;
(2)是否存在,使得依次成等比數(shù)列,并說明理由;
【答案】(1)詳見解析(2)不存在(3)不存在
【解析】
試題分析(1)根據(jù)等比數(shù)列定義只需驗證每一項與前一項的比值都為同一個不為零的常數(shù)即可(2)本題列式簡單,變形較難,首先令將二元問題轉化為一元,再分別求解兩個高次方程,利用消最高次的方法得到方程:,無解,所以不存在
試題解析:(1)證明:因為(,,)是同一個常數(shù),
所以,,,依次構成等比數(shù)列.
(
11、2)令,則,,,分別為,,,(,,).
假設存在,,使得,,,依次構成等比數(shù)列,
則,且.
令,則,且(,),
化簡得(),且.將代入()式,
,則.
顯然不是上面方程得解,矛盾,所以假設不成立,
因此不存在,,使得,,,依次構成等比數(shù)列.
12.【2020高考山東,理18】設數(shù)列的前n項和為.已知.
(I)求的通項公式;
(II)若數(shù)列滿足,求的前n項和.
【答案】(I); (II).
所以
當 時,
所以
兩式相減,得
所以
經(jīng)檢驗, 時也適合,
綜上可得:
【考點定位】1、數(shù)列前 項和 與通項 的關系;2、
12、特殊數(shù)列的求和問題.
【名師點睛】本題考查了數(shù)列的基本概念與運算,意在考查學生的邏輯思維能力與運算求解能力,思維的嚴密性和運算的準確性,在利用與通項的關系求的過程中,一定要注意 的情況,錯位相減不法雖然思路成熟但也對學生的運算能力提出了較高的要求.
13. 【2020高考安徽,理18】設,是曲線在點處的切線與x軸交點的橫坐標.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)記,證明.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)對題中所給曲線的解析式進行求導,得出曲線在點處的切線斜率為.從而可以寫出切線方程為.令.解得切線與軸交點的橫坐標.
(Ⅱ)要證,需考慮通
13、項,通過適當放縮能夠使得每項相消即可證明.思路如下:先表示出,求出初始條件當時,.當時,單獨考慮,并放縮得,所以
,綜上可得對任意的,均有.
試題解析:(Ⅰ)解:,曲線在點處的切線斜率為.
從而切線方程為.令,解得切線與軸交點的橫坐標.
(Ⅱ)證:由題設和(Ⅰ)中的計算結果知
.
當時,.
當時,因為,
所以.
綜上可得對任意的,均有.
【考點定位】1.曲線的切線方程;2.數(shù)列的通項公式;3.放縮法證明不等式.
【名師點睛】數(shù)列是特殊的函數(shù),不等式是深刻認識函數(shù)與數(shù)列的重要工具,三者的綜合是近幾年高考命題的新熱
14、點,且數(shù)列的重心已經(jīng)偏移到不等式的證明與求解中,而不再是以前的遞推求通項,此類問題在2020年、2020年、2020年安徽高考解答題中都曾考過.對于數(shù)列問題中求和類(或求積類)不等式證明,如果是通過放縮的方法進行證明的,一般有兩種類型:一種是能夠直接求和(或求積),再放縮;一種是不能直接求和(或求積),需要放縮后才能求和(或求積),求和(或求積)后再進行放縮.在后一種類型中,一定要注意放縮的尺度,二是要注意從哪一項開始放縮.
14.【2020高考天津,理18】(本小題滿分13分)已知數(shù)列滿足
,且
成等差數(shù)列.
(I)求的值和的通項公式;
(II)設,求數(shù)列的前項和.
【答案】(I
15、) ; (II) .
(II) 由(I)得,設數(shù)列的前項和為,則
,
兩式相減得
,
整理得
所以數(shù)列的前項和為.
【考點定位】等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前項和公式、錯位相減法求和.
【名師點睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列定義與性質,求和公式以及錯位相減法求和的問題,通過等差數(shù)列定義、等比數(shù)列性質,分為奇偶數(shù)討論求通項公式,并用錯位相減法基本思想求和.是中檔題.
16.【2020高考四川,理16】設數(shù)列的前項和,且成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記數(shù)列的前n項和,求得成立的n的最小值.
【答案】(1);(2)10.
【解析
16、】(1)由已知,有,
即.
從而.
又因為成等差數(shù)列,即.
所以,解得.
所以,數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.
故.
(2)由(1)得.
所以.
由,得,即.
因為,
所以.
于是,使成立的n的最小值為10.
【考點定位】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項公式與前n項和公式等基礎知識,考查運算求解能力.
【名師點睛】凡是有與間的關系,都是考慮消去或(多數(shù)時候是消去,得與間的遞推關系).在本題中,得到與間的遞推關系式后,便知道這是一個等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的相關公式即可求解.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考中的必考內容,多屬容易題,考生應立足得滿分.
17
17、.【2020高考湖北,理18】設等差數(shù)列的公差為d,前項和為,等比數(shù)列的公比為.已知,,,.
(Ⅰ)求數(shù)列,的通項公式;
(Ⅱ)當時,記,求數(shù)列的前項和.
【答案】(Ⅰ)或;(Ⅱ).
. ②
①-②可得,
故.
【考點定位】等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式,錯位相減法求數(shù)列的前項和.
【名師點睛】錯位相減法適合于一個由等差數(shù)列及一個等比數(shù)列對應項之積組成的數(shù)列.考生在解決這類問題時,都知道利用錯位相減法求解,也都能寫出此題的解題過程,但由于步驟繁瑣、計算量大導致了漏項或添項以及符號出錯等.兩邊乘公比后,對應項的冪指數(shù)會發(fā)生變化,應將相同冪指數(shù)的項對齊,這樣有一個式
18、子前面空出一項,另外一個式子后面就會多了一項,兩項相減,除第一項和最后一項外,剩下的項是一個等比數(shù)列.
4、為數(shù)列{}的前項和.已知>0,.
(Ⅰ)求{}的通項公式;
(Ⅱ)設,求數(shù)列{}的前項和.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
所以=;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=,
所以數(shù)列{}前n項和為= =.
【考點定位】數(shù)列前n項和與第n項的關系;等差數(shù)列定義與通項公式;拆項消去法
【名師點睛】已知數(shù)列前n項和與第n項關系,求數(shù)列通項公式,常用將所給條件化為關于前n項和的遞推關系或是關于第n項的遞推關系,若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義,用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式,否則適當變形構造
19、等比或等數(shù)列求通項公式.
20.【2020高考廣東,理21】數(shù)列滿足,
(1) 求的值;
(2) 求數(shù)列前項和;
【答案】(1);(2);(3)見解析.
【解析】(1)依題,
∴ ;
(2)依題當時,,
∴ ,又也適合此式,
∴ ,
∴ 數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,故;
【考點定位】前項和關系求項值及通項公式,等比數(shù)列前項和,不等式放縮.
【名師點睛】本題主要考查前項和關系求項值及通項公式,等比數(shù)列前項和,不等式放縮等,轉化與化歸思想的應用和運算求解能力,屬于高檔題,此題(1)(2)問難度不大,但第(3)問難度較大,首先應能求得,并由得到
20、,再用構造函數(shù)()結合不等()放縮方法或用數(shù)學歸納法證明.
【2020高考上海,理22】已知數(shù)列與滿足,.
(1)若,且,求數(shù)列的通項公式;
(2)設的第項是最大項,即(),求證:數(shù)列的第項是最大項;
(3)設,(),求的取值范圍,使得有最大值與最小值,且.
【答案】(1)(2)詳見解析(3)
【解析】解:(1)由,得,
所以是首項為,公差為的等差數(shù)列,
故的通項公式為,.
證明:(2)由,得.
所以為常數(shù)列,,即.
因為,,所以,即.
故的第項是最大項.
解:(3)因為,所以,
當時,
.
21、
當時,,符合上式.
所以.
因為,所以,.
①當時,由指數(shù)函數(shù)的單調性知,不存在最大、最小值;
②當時,的最大值為,最小值為,而;
③當時,由指數(shù)函數(shù)的單調性知,的最大值,最小值,由及,得.
綜上,的取值范圍是.
【考點定位】等差數(shù)列,數(shù)列單調性
【名師點睛】1.等差數(shù)列的四種判斷方法
(1)定義法:an+1-an=d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.
(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.
(3)通項公式:an=pn+q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.
(4)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.
2.數(shù)列作為特殊的函數(shù),其單調性的判斷與研究也是特別的,只需研究相鄰兩項之間關系即可.