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1、其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù) 專題專題7 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法3 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)5 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)6 傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)7 一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂的概念級(jí)數(shù)收斂的概念定義定義 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列 有極限，即有極限，即 1nnussnn lim 1nnu 1nnusns則稱無窮級(jí)數(shù)則稱無窮級(jí)數(shù) 收斂，這時(shí)極限收斂，這時(shí)極限無窮級(jí)

2、數(shù)無窮級(jí)數(shù) 發(fā)散。發(fā)散。叫做這級(jí)數(shù)的和；如果叫做這級(jí)數(shù)的和；如果 沒有極限，則稱沒有極限，則稱 1nnu其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 1nnu 1nnkuks 1nnu 1nnvst1()nnnkumv.ks mt性質(zhì)性質(zhì)3 在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù) 的收斂性。的收斂性。性質(zhì)性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 收斂于和收斂于和 ，則級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù) 也也斂，斂， 且其和為且其和為 。性質(zhì)性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 、 分別收斂于分別收斂于 和和 則則級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 也收斂，也收斂， 且其和為且其和為S性質(zhì)性質(zhì)2

3、收斂級(jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)的線性組合仍然發(fā)散收斂級(jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)的線性組合仍然發(fā)散其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)4 收斂級(jí)數(shù)具有結(jié)合律，則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后收斂級(jí)數(shù)具有結(jié)合律，則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂。所成的級(jí)數(shù)收斂。 （反之不成立，發(fā)散級(jí)數(shù)不具有結(jié)合律）（反之不成立，發(fā)散級(jí)數(shù)不具有結(jié)合律） )()()(1111211kknnnnnuuuuuu性質(zhì)性質(zhì)5 （級(jí)數(shù)收斂的必要條件）（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 收斂，則它的一般項(xiàng)趨于收斂，則它的一般項(xiàng)趨于 零，即零，即 1nnu0lim nnu其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法基本思想 Sn單調(diào)有界 夾逼定理其它模板7

4、 高數(shù)2 級(jí)數(shù)2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法二、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法二、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法定理定理1 1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列 有界。有界。（比較審斂法）（比較審斂法） 設(shè)設(shè) 和和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)收收斂，斂， 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)收斂；若級(jí)數(shù)收斂；若級(jí)數(shù)發(fā)發(fā)散，則級(jí)數(shù)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散。也發(fā)散。定理定理2 1nnu 1nnv 1nnu 1nnv 1nnu 1nnv正項(xiàng)級(jí)數(shù)概念正項(xiàng)級(jí)數(shù)概念各項(xiàng)都是

5、正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。nnvu )., 2 , 1( n其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)定理定理3 3（比較審斂法的極限形式）（比較審斂法的極限形式）設(shè)設(shè) 和和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)， (1)如果如果 ，且級(jí)數(shù)，且級(jí)數(shù) 收斂收斂,則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 收斂；收斂；(2)如果如果 或或 且級(jí)數(shù)且級(jí)數(shù) 發(fā)散發(fā)散,則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 發(fā)散。發(fā)散。 1nnu 1nnvlvunnn lim)0( l 1nnv 1nnu0lim lvunnn nnnvulim 1nnv 1nnu同階無窮小為一般項(xiàng)的級(jí)數(shù)具有相同的斂散性。同階無窮小為一般項(xiàng)的級(jí)數(shù)具有相同的斂散性。其它模板7 高數(shù)2

6、 級(jí)數(shù)例例2 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù)2311sinnnn的收斂性。的收斂性。321lnnn132nnnne例例3. 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù)的收斂性。的收斂性。3111(3) sinnnnn其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)例例4判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) nn10!10321102110132的收斂性。的收斂性。解解因?yàn)橐驗(yàn)?101!1010)!1(11 nnnuunnnn.101limlim1 nuunnnn根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散。根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散。定理定理4 （比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法）（比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法） 設(shè)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ， 如果如果 則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)

7、 或或 1nnu時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。1 1 nnnuu1lim nnnuu1lim1 其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)定理定理5（根值審斂法，柯西判別法）（根值審斂法，柯西判別法） 設(shè)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果 ， 則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù)收斂；時(shí)級(jí)數(shù)收斂；（或（或 ）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。 1nnu1 1 1 例例5判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) 12)1(2nnn的收斂性。的收斂性。解解因?yàn)橐驗(yàn)?1)1(221limlim nnnnnnu所以，根據(jù)根植審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂。所以，根據(jù)根植審斂法知

8、所給級(jí)數(shù)收斂。 nnnulim nnnulim其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)定理定理6（極限審斂法）（極限審斂法）設(shè)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)， 1nnu (1)如果如果 (2)如果如果,而而 發(fā)散。發(fā)散。1 p收斂。收斂。例例6判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù))11ln(12 nn的收斂性。的收斂性。解解因因),(1)11ln(22 nnn故故, 1)11ln(limlim222 nnunnnn根據(jù)極限審斂法，知所給級(jí)數(shù)收斂。根據(jù)極限審斂法，知所給級(jí)數(shù)收斂。 1,lim, 0limnnnnnnunulnu)0(lim llunnpn收斂。收斂。 1nnu其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù) 交錯(cuò)級(jí)數(shù)交

9、錯(cuò)級(jí)數(shù) 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是指這樣的級(jí)數(shù)，它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)交錯(cuò)級(jí)數(shù)是指這樣的級(jí)數(shù)，它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò) 的，從而可以寫成的形式：的，從而可以寫成的形式： 4321uuuu或或 其中其中 都是正數(shù)。都是正數(shù)。 4321uuuu,21uu二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法定理定理7（萊布尼茨定理，交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法）（萊布尼茨定理，交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法）nnnu 11)1();,2,1(1 nuunn0lim nnu(1)(2)則級(jí)數(shù)收斂，且其和則級(jí)數(shù)收斂，且其和 其余項(xiàng)的絕對(duì)值其余項(xiàng)的絕對(duì)值,1us .1 nnur如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) 滿足條件：滿足條件：其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)121nnnuu1

10、21nnnuu絕對(duì)收斂條件收斂有關(guān)性質(zhì)有關(guān)性質(zhì) （1）絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)具有交換律，也即級(jí)數(shù)中無窮多項(xiàng)任意交換順序，得到級(jí)數(shù)仍是絕對(duì)收斂，且其和不變。 （2）條件收斂級(jí)數(shù)的正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)構(gòu)成的級(jí)數(shù)，即或一定是發(fā)散的。條件收斂級(jí)數(shù)審斂法條件收斂級(jí)數(shù)審斂法狄利克雷判別法：狄利克雷判別法： 的部分和有界，且的部分和有界，且 單調(diào)趨于單調(diào)趨于0，則則 收斂。收斂。阿貝爾判別法：阿貝爾判別法： 收斂，且收斂，且 單調(diào)有界，單調(diào)有界，則則 收斂。收斂。na1nnb1nnna b1nnna b1nnbna其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù) 例題 7.2-7.4其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)211( 1)(32)nnxnnunn但是交

11、錯(cuò)級(jí)數(shù)但是交錯(cuò)級(jí)數(shù)是萊布尼茨型級(jí)數(shù)，收斂，因此原級(jí)數(shù)條件收斂是萊布尼茨型級(jí)數(shù)，收斂，因此原級(jí)數(shù)條件收斂211( 1)(32)nnxnnunn所以，原級(jí)數(shù)所以，原級(jí)數(shù)例題例題 7.7其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)例例7 判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù)的斂散性。的斂散性。 （觀察內(nèi)部特點(diǎn)，第二層根號(hào)內(nèi)是有極限的序列）（觀察內(nèi)部特點(diǎn)，第二層根號(hào)內(nèi)是有極限的序列）解法解法1： 換元后達(dá)朗貝爾法換元后達(dá)朗貝爾法 2222222222.12,22.nnnnuvv層其中112,lim222nnnnnnnuvvvuv是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于則122limlim2nnnnnnvuuv4(2)11limlim1222222nnnnnnvvv

12、v其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)例例7 判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù)的斂散性。的斂散性。 （觀察根號(hào)（觀察根號(hào)2的特點(diǎn)，考慮三角換元）的特點(diǎn)，考慮三角換元）解法解法2：2222222222.222sin2sin2cos424232222cos22(1 2sin)2sin48224222222cos222(2cos1)4822cos2sin82111222.2sin22sin2nnnu達(dá)朗貝爾法達(dá)朗貝爾法其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù) 例 7.8設(shè)試判斷級(jí)數(shù) 的斂散性。分析：An與Sn的關(guān)系，Sn的性質(zhì)。 111111111,nnnnnnccSSSSa設(shè)則21nnnaS21nnnaS111221111()nnnnnnn

13、nnnnnnnnSSSaSSSSbSSS SSS嚴(yán)格單增，裂項(xiàng)相消結(jié)構(gòu)正項(xiàng)級(jí)數(shù)cn的和有界，收斂，由比較判別法。例 7.11 含積分的問題其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù) 二冪級(jí)數(shù)及其收斂域二冪級(jí)數(shù)及其收斂域 1冪級(jí)數(shù)概念冪級(jí)數(shù)概念 2冪級(jí)數(shù)的收斂域冪級(jí)數(shù)的收斂域 （收斂域分三種情形 ） （1）收斂域?yàn)?-,)，亦即對(duì)每一個(gè)x皆收斂。我們稱它的收斂半徑R= 。 （2）收斂域僅為原點(diǎn) （3）收斂域?yàn)?-R,+R,(-R,+R,-R,+R）, (-R,+R)中的一種其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù) 所以求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R非常重要，（1），（2）兩種情形的

14、收斂域就確定的。而(3)的情形，還需討論兩點(diǎn)上x=R,x=-R的斂散性。 其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù) 三冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)三冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) 1四則運(yùn)算四則運(yùn)算 2分析性質(zhì)分析性質(zhì) 其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù) (2)S(x)在(-R,+R)內(nèi)有逐項(xiàng)積分公式 010001nnnnxnnxxnadttadttS且這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也不變 0nnnxSxaRRx（3）若 在成立。則有下列性質(zhì) 0limnnnRxRaxS 成立0limnnnRxRaxS（i）成立 0101nnnRRnadxxS 成立0011RnnnRnadxxS（ii）成立 11nnnxnaRRx（iii）在不一定收斂 RSRnannn11RS

15、也即不一定成立， 其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù) 0nnnxaRRx11nnnxnaRRx011nnnxnaRRx如果在發(fā)散，那么逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)在一定發(fā)散，而逐項(xiàng)積分后的級(jí)數(shù)在有可能收斂。 四冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的基本方法四冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的基本方法 1 1把已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式（把已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式（8.38.3將討論）將討論）反過來用反過來用. . 2 2用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法以及等比級(jí)數(shù)的求用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法以及等比級(jí)數(shù)的求和公式和公式 3 3用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法化為和函數(shù)的微分用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法化為和函數(shù)的微分方程，從而求微分方程的解方程，從而求微分方程的解其它模板7 高數(shù)

16、2 級(jí)數(shù) 把已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式把已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式xxnn1101xxnnenx0!xxnxnnnsin! 121120 xxnxnnncos! 2120 xxnxnnn1ln111011xxxnnnn1!111111x（1） （2） （3） （4） （5） （6）（為實(shí)常數(shù)）其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù)例1求冪級(jí)數(shù)1212nnnx的收斂半徑。 0nnnxa3R122nnnxna例2已知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。 03nnnxa0 x6x例3已知冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，求其收斂域。0a0b12nnnnxnbna例4設(shè)，討論冪級(jí)數(shù)的收斂域。 其它模板7 高數(shù)2 級(jí)數(shù) ba ,ba ,lim2時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)banbnalnnnn時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)ba ,1ba ,11balRbaR1,1min（1）當(dāng) 時(shí) ， ba aRx1121nnnnanbna條件收斂 aRx1121nnnnanbna故收斂域?yàn)閍a1,1 發(fā)散ba bRx1121nnnnbnbna（2）當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂，bRx1121nnnnbnbna絕對(duì)收斂bb1,1故收斂域?yàn)槠渌０? 高數(shù)2 級(jí)數(shù)ba bRx1121nnnnbnbnabRx1121nnnnbnbnabb1,1（2）當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂，故收斂域?yàn)?/p>