《湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題 高考要求 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間［a,b］上的最大最小值，或利用求導(dǎo)法解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問(wèn)題的方法使復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，因而已逐漸成為新高考的又一熱點(diǎn) 本節(jié)內(nèi)容主要是指導(dǎo)考生對(duì)這種方法的應(yīng)用 重難點(diǎn)歸納 1 f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f′(x)＞0,則f(x)是增函數(shù)；若f′(x)＜0,則f(x)是減函數(shù) 2 求函數(shù)的極值點(diǎn)應(yīng)先求導(dǎo)，然后令y′=0得出全部導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定都是極值點(diǎn)，例如 y=x3,當(dāng)x=0時(shí)，導(dǎo)數(shù)是0，

2、但非極值點(diǎn))，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，取決于這個(gè)點(diǎn)左、右兩邊的增減性，即兩邊的y′的符號(hào)，若改變符號(hào)，則該點(diǎn)為極值點(diǎn)；若不改變符號(hào)，則非極值點(diǎn)，一個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)不一定在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)處取得，但可得函數(shù)的極值點(diǎn)一定導(dǎo)數(shù)為0 3 可導(dǎo)函數(shù)的最值可通過(guò)(a,b)內(nèi)的極值和端點(diǎn)的函數(shù)值比較求得，但不可導(dǎo)函數(shù)的極值有時(shí)可能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)處取得，因此，一般的連續(xù)函數(shù)還必須和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，如y=|x|,在x=0處不可導(dǎo)，但它是最小值點(diǎn) 典型題例示范講解 例1已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1時(shí)取得極值，且f(1)=－1 (1)試求常數(shù)a、b、c

3、的值； (2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說(shuō)明理由 命題意圖 利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入 是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)對(duì)函數(shù)極值的判定，可使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解 知識(shí)依托 解題的成功要靠正確思路的選擇 本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問(wèn)題具體化 這是解答本題的閃光點(diǎn) 錯(cuò)解分析 本題難點(diǎn)是在求導(dǎo)之后，不會(huì)應(yīng)用f′(±1)=0的隱含條件，因而造成了解決問(wèn)題的最大思維障礙 技巧與方法 考查函數(shù)f(x)是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)

4、確定可能的極值，再通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，建立由極值點(diǎn)x=±1所確定的相等關(guān)系式，運(yùn)用待定系數(shù)法求值 解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c ∵x=±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)， ∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 又f(1)=－1,∴a+b+c=－1, ③ 由①②③解得a=, (2)f(x)=x3－x, ∴f′(x)=x2－=(x－1)(x+1) 當(dāng)x＜－1或x＞1時(shí)，f′(x)＞0 當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0 ∴函數(shù)f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函數(shù)

5、，在(－1，1)上是減函數(shù) ∴當(dāng)x=－1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(－1)=1, 當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)=－1 例2在甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省？ 命題意圖 學(xué)習(xí)的目的，就是要會(huì)實(shí)際應(yīng)用，本題主要是考查學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，思想方法以及能力 知識(shí)依托 解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù) 把“問(wèn)題情

6、景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系近似化，形式化，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再劃歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解 錯(cuò)解分析 本題難點(diǎn)是如何把實(shí)際問(wèn)題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式 技巧與方法 根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變化，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系 解法一 根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km,則∵BD=40,AC=50－x, ∴BC= 又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意有 y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50) y′=－3a+

7、,令y′=0,解得x=30 在(0,50)上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義， 函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時(shí)AC=50－x=20(km) ∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省 解法二 設(shè)∠BCD=Q,則BC=,CD=40cotθ,(0＜θ＜),∴AC=50－40cotθ 設(shè)總的水管費(fèi)用為f(θ),依題意， 有f(θ)=3a(50－40·cotθ)+5a·=150a+40a· ∴f′(θ)=40a· 令f′(θ)=0,得cosθ=根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，當(dāng)cosθ=時(shí)，函數(shù)取得最小值， 此時(shí)sinθ=,∴cotθ=,∴AC=50－40c

8、otθ=20(km),即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省 例3已知f(x)=x2+c,且f［f(x)］=f(x2+1) (1)設(shè)g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式； (2)設(shè)φ(x)=g(x)－λf(x),試問(wèn) 是否存在實(shí)數(shù)λ,使φ(x)在(－∞,－1)內(nèi)為減函數(shù)，且在(－1，0)內(nèi)是增函數(shù) 解 (1)由題意得f［f(x)］=f(x2+c)=(x2+c)2+c f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f［f(x)］=f(x2+1)∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,∴x2+c=x2+1,∴c=1 ∴f(x)=x2+1,g(x)=f［

9、f(x)］=f(x2+1)=(x2+1)2+1 (2)φ(x)=g(x)－λf(x)=x4+(2－λ)x2+(2－λ) 若滿足條件的λ存在，則φ′(x)=4x3+2(2－λ)x ∵函數(shù)φ(x)在(－∞,－1)上是減函數(shù)， ∴當(dāng)x＜－1時(shí)，φ′(x)＜0 即4x3+2(2－λ)x＜0對(duì)于x∈(－∞,－1)恒成立 ∴2(2－λ)＞－4x2, ∵x＜－1,∴－4x2＜－4 ∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4 又函數(shù)φ(x)在(－1,0)上是增函數(shù) ∴當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，φ′(x)＞0 即4x2+2(2－λ)x＞0對(duì)于x∈(－1,0)恒成立 ∴2(2－λ)＜－4x2, ∵－1＜x

10、＜0,∴－4＜4x2＜0 ∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥4 故當(dāng)λ=4時(shí)φ(x)在(－∞,－1)上是減函數(shù)，在(－1,0)上是增函數(shù)，即滿足條件的λ存在 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 設(shè)f(x)可導(dǎo)，且f′(0)=0,又=－1,則f(0)( ) A 可能不是f(x)的極值 B 一定是f(x)的極值 C 一定是f(x)的極小值 D 等于0 2 設(shè)函數(shù)fn(x)=n2x2(1－x)n(n為正整數(shù))，則fn(x)在［0,1］上的最大值為( ) A 0 B 1 C D 3 函數(shù)f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的

11、單調(diào)區(qū)間_______ 4 在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開______時(shí)它的面積最大 5 設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間 參考答案 1 解析 由=－1,故存在含有0的區(qū)間(a,b)使當(dāng)x∈(a,b),x≠0時(shí)＜0,于是當(dāng)x∈(a,0)時(shí)f′(0)＞0,當(dāng)x∈(0,b)時(shí)，f′(0)＜0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減 答案 B 2 解析 ∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1 =n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］, 令f′n(

12、x)=0,得x1=0,x2=1,x3=, 易知fn(x)在x=時(shí)取得最大值， 最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+1答案 D 3 解析 函數(shù)的定義域是x＞或x＜－2, f′(x)= (3x2+5x－2)′=, ①若a＞1,則當(dāng)x＞時(shí)，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0, ∴f′(x)＞0,∴函數(shù)f(x)在(,+∞)上是增函數(shù)，x＜－2時(shí)，f′(x)＜0 ∴函數(shù)f(x)在(－∞,－2)上是減函數(shù) ②若0＜a＜1,則當(dāng)x＞時(shí)，f′(x)＜0,∴f(x)在(,+∞)上是減函數(shù)， 當(dāng)x＜－2時(shí)，f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,

13、－2)上是增函數(shù) 答案 (－∞,－2) 4 解析 設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2x,高為h， 那么h=AO+BO=R+,解得 x2=h(2R－h(huán)),于是內(nèi)接三角形的面積為 S=x·h= 從而 令S′=0,解得h=R,由于不考慮不存在的情況，所在區(qū)間(0,2R)上列表如下  h (0,R) R (,2R) S′ + 0 － S 增函數(shù) 最大值 減函數(shù) 由此表可知，當(dāng)x=R時(shí)，等腰三角形面積最大 答案 R 5 解 f′(x)=3ax2+1 若a＞0,f′(x)＞0對(duì)x∈(－∞,+∞)恒成立， 此時(shí)f(x)只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾 若a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾 若a＜0,∵f′(x)=3a(x+)·(x－), 此時(shí)f(x)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間 ∴a＜0且單調(diào)減區(qū)間為(－∞,－)和(,+∞)， 單調(diào)增區(qū)間為(－, )