2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢（,2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí),單元質(zhì)檢（,2022,年高,數(shù)學(xué),一輪,復(fù)習(xí),單元,質(zhì)檢
單元質(zhì)檢十 算法初步、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例
(時(shí)間:45分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)
1.執(zhí)行下面的程序框圖,輸出的s值為( )
A.12 B.56 C.76 D.712
答案:B
解析:第一步:s=1-12=12,k=2,k<3;
第二步:s=12+13=56,k=3,輸出s=56.故選B.
2.某大學(xué)對1 000名學(xué)生的自主招生水平測試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到樣本頻率分布直方圖,如圖所示,則這1 000名學(xué)生在該次自主招生水平測試中成績不低于70分的學(xué)生人數(shù)是( )
A.300 B.400 C.500 D.600
答案:D
解析:依題意,得題中的1000名學(xué)生在該次自主招生水平測試中成績不低于70分的學(xué)生人數(shù)是1000×(0.035+0.015+0.010)×10=600,故選D.
3.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因,用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為( )
圖①
圖②
A.100,10 B.200,10 C.100,20 D.200,20
答案:D
解析:根據(jù)題意,總?cè)藬?shù)為3500+4500+2000=10000,
樣本容量為10000×2%=200.
根據(jù)分層抽樣的定義,抽取的高中生人數(shù)為200×200010000=40.
因?yàn)楦咧猩暵蕿?0%,所以抽取的高中生近視的人數(shù)為40×50%=20.
4.PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.根據(jù)某地某日早7點(diǎn)到晚8點(diǎn)甲、乙兩個(gè)PM2.5監(jiān)測點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)(單位:毫克/立方米)列出的莖葉圖如圖所示,則甲、乙兩地PM2.5的方差較小的是( )
A.甲 B.乙 C.甲、乙相等 D.無法確定
答案:A
解析:從莖葉圖上可以觀察到:甲監(jiān)測點(diǎn)的樣本數(shù)據(jù)比乙監(jiān)測點(diǎn)的樣本數(shù)據(jù)更加集中,因此甲地PM2.5的方差較小.
5.有24名投資者想到海南某地投資,他們年齡的莖葉圖如圖所示,先將他們的年齡從小到大編號(hào)為1~24號(hào),再用系統(tǒng)抽樣方法抽出6名投資者,邀請他們到海南某地實(shí)地考察.其中年齡不超過55歲的人數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.不確定
答案:B
解析:因?yàn)橄到y(tǒng)抽樣方法是等距抽樣,所以從小到大每4人(一個(gè)區(qū)間)抽出一人.因?yàn)椴怀^55歲落在(39,40,41,41),(42,45,51,53),所以應(yīng)抽取2人.
6.某高校進(jìn)行自主招生,先從報(bào)名者中篩選出400人參加筆試,再按筆試成績擇優(yōu)選出100人參加面試.現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了24名筆試者的成績,如下表所示:
分?jǐn)?shù)段
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90]
人數(shù)
2
3
4
9
5
1
據(jù)此估計(jì)允許參加面試的分?jǐn)?shù)線是( )
A.75 B.80 C.85 D.90
答案:B
解析:因?yàn)閰⒓庸P試的400人中擇優(yōu)選出100人,所以每個(gè)人被擇優(yōu)選出的概率P=100400=14.因?yàn)殡S機(jī)調(diào)查24名筆試者,所以估計(jì)能夠參加面試的人數(shù)為24×14=6.觀察表格可知,分?jǐn)?shù)在[80,85)的有5人,分?jǐn)?shù)在[85,90)的有1人,故面試的分?jǐn)?shù)線大約為80分,故選B.
二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)
7.若一組樣本數(shù)據(jù)2,3,7,8,a的平均數(shù)為5,則該組數(shù)據(jù)的方差s2= .?
答案:265
解析:∵2+3+7+8+a5=5,∴a=5.
∴s2=15[(2-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(5-5)2]=265.
8.某高中1 000名學(xué)生的身高情況如下表,已知從這批學(xué)生隨機(jī)抽取1名,抽到偏矮男生的概率為0.12.若用分層抽樣的方法,從這批學(xué)生中隨機(jī)抽取50名,偏高學(xué)生有 名.?
身高情況
偏矮
正常
偏高
女生人數(shù)
100
273
y
男生人數(shù)
x
287
z
答案:11
解析:由題意可知x=1000×0.12=120,
所以y+z=220.
所以偏高學(xué)生占學(xué)生總數(shù)的比例為2201000=1150,所以隨機(jī)抽取50名學(xué)生中偏高學(xué)生有50×1150=11(名).
三、解答題(本大題共3小題,共44分)
9.(14分)(2020全國Ⅱ,文18)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量,將其分成面積相近的200個(gè)地塊,從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量,并計(jì)算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1 200,∑i=120(xi-x)2=80,∑i=120(yi-y)2=9 000,∑i=120(xi-x)(yi-y)=800.
(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù));
(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);
(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì),請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法.并說明理由.
附:相關(guān)系數(shù)r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2,2≈1.414.
解:(1)由已知得樣本平均數(shù)y=120∑i=120yi=60,從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為60×200=12000.
(2)樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)
r=∑i=120(xi-x)(yi-y)∑i=120(xi-x)2∑i=120(yi-y)2=80080×9000=223≈0.94.
(3)分層抽樣:根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層,再對200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣.
理由如下:由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).
10.(14分)某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況,抽查東西兩部各5個(gè)城市,得到觀看該節(jié)目的人數(shù)(單位:千人)如下莖葉圖所示,其中一個(gè)數(shù)字被污損.
(1)求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率;
(2)隨著節(jié)目的播出,極大激發(fā)了觀眾對成語知識(shí)的學(xué)習(xí)積累的熱情,從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4名觀眾的周均學(xué)習(xí)成語知識(shí)的時(shí)間y(單位:時(shí))與年齡x(單位:歲),并制作了對照表(如下表所示):
年齡x
20
30
40
50
周均學(xué)習(xí)成語知識(shí)的時(shí)間y
2.5
3
4
4.5
由表中數(shù)據(jù)分析,x,y呈線性相關(guān)關(guān)系,試求線性回歸方程y^=b^x+a^,并預(yù)測年齡為60歲的觀眾周均學(xué)習(xí)成語知識(shí)的時(shí)間.
參考公式:b^=∑i=1nxiyi-nxyxi2-nx2,a^=y-b^x.
解:(1)設(shè)被污損的數(shù)字為a,則a有10種情況.
令88+89+90+91+92>83+83+87+90+a+99,則a<8,東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù),有8種情況,所求概率為810=45.
(2)由題意可知x=35,y=3.5,∑i=14xiyi=525,∑i=14xi2=5400,
所以b^=7100,a^=2120,所以y^=7100x+2120.
當(dāng)x=60時(shí),y^=7100×60+2120=5.25(時(shí)).
故預(yù)測年齡為60歲的觀眾周均學(xué)習(xí)成語知識(shí)的時(shí)間為5.25時(shí).
11.(16分)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:
舊養(yǎng)殖法
新養(yǎng)殖法
(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,估計(jì)A的概率;
(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);
養(yǎng)殖法
箱產(chǎn)量
箱產(chǎn)量<50 kg
箱產(chǎn)量≥50 kg
舊養(yǎng)殖法
新養(yǎng)殖法
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.
附:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
解:(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.
因此,事件A的概率估計(jì)值為0.62.
(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表
養(yǎng)殖法
箱產(chǎn)量
箱產(chǎn)量<50kg
箱產(chǎn)量≥50kg
舊養(yǎng)殖法
62
38
新養(yǎng)殖法
34
66
K2=200×(62×66-34×38)2100×100×96×104≈15.705.
由于15.705>6.635,因此可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).
(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明:新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50kg到55kg之間,舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高,因此,可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定,從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.
7
單元質(zhì)檢十一 概率
(時(shí)間:45分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)
1.若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
答案:B
解析:設(shè)不用現(xiàn)金支付的概率為P,
則P=1-0.45-0.15=0.4.
2.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球,若事件A=“所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球”,則事件A的對立事件是( )
A.1個(gè)白球、2個(gè)紅球 B.2個(gè)白球、1個(gè)紅球
C.3個(gè)都是紅球 D.至少有1個(gè)紅球
答案:C
解析:事件A=“所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球”說明有白球,白球的個(gè)數(shù)可能是1或2或3,和事件“1個(gè)白球、2個(gè)紅球”“2個(gè)白球、1個(gè)紅球”“至少有1個(gè)紅球”都能同時(shí)發(fā)生,既不互斥,也不對立.故選C.
3.有三個(gè)興趣小組,甲、乙兩名同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每名同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩名同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為( )
A.13 B.12 C.23 D.34
答案:A
解析:記三個(gè)興趣小組分別為1,2,3,甲參加興趣小組1,2,3分別記為“甲1”“甲2”“甲3”,乙參加興趣小組1,2,3分別記為“乙1”“乙2”“乙3”,則基本事件為“(甲1,乙1),(甲1,乙2),(甲1,乙3),(甲2,乙1),(甲2,乙2),(甲2,乙3),(甲3,乙1),(甲3,乙2),(甲3,乙3)”,共9個(gè),記事件A為“甲、乙兩名同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組”,其中事件A有“(甲1,乙1),(甲2,乙2),(甲3,乙3)”,共3個(gè).因此P(A)=39=13.
4.已知函數(shù)f(x)=2x(x<0),其值域?yàn)镈,在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈D的概率是( )
A.12 B.13 C.14 D.23
答案:B
解析:函數(shù)f(x)=2x(x<0)的值域?yàn)?0,1),即D=(0,1),則在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,x∈D的概率P=1-02-(-1)=13.故選B.
5.七巧板是我國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一,它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.一個(gè)用七巧板拼成的正方形如圖所示,若在此正方形中任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是( )
A.14 B.18 C.38 D.316
答案:B
解析:不妨設(shè)小正方形的邊長為1,則兩個(gè)最小的等腰直角三角形的邊長為1,1,2,左上角的等腰直角三角形的邊長為2,2,2,兩個(gè)最大的等腰直角三角形的邊長為2,2,22,即大正方形的邊長為22,所以所求概率P=1-12×2+1+1+2×28=18.
6.已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),4PB+5PC+3PA=0.現(xiàn)將一粒紅豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi),則紅豆落在△PBC內(nèi)的概率是( )
A.14 B.13 C.512 D.12
答案:A
解析:依題意,易知點(diǎn)P位于△ABC內(nèi),作PB1=4PB,PC1=5PC,PA1=3PA,則PB1+PC1+PA1=0,點(diǎn)P是△A1B1C1的重心.
S△PB1C1=S△PC1A1=S△PA1B1,而S△PBC=14×15S△PB1C1,
S△PCA=13×15·S△PC1A1,S△PAB=13×14S△PA1B1,
因此S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=3∶4∶5,
即S△PBCS△PBC+S△PCA+S△PAB=33+4+5=14,即紅豆落在△PBC內(nèi)的概率等于14,故選A.
二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)
7.我國高鐵發(fā)展迅速,技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì),在經(jīng)停某站的高鐵列車中,有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97,有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98,有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為 .?
答案:0.98
解析:由題意,得經(jīng)停該高鐵站的列車的正點(diǎn)數(shù)約為10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,其中車次數(shù)為10+20+10=40,所以經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為39.240=0.98.
8.兩名教師對一篇初評為“優(yōu)秀”的作文復(fù)評,若批改成績都是兩位正整數(shù),且十位數(shù)字都是5,則兩名教師批改成績之差的絕對值不超過2的概率為 .?
答案:0.44
解析:用(x,y)表示兩名教師的批改成績,則(x,y)的所有可能情況為10×10=100(種).
當(dāng)x=50時(shí),y可取50,51,52,共3種可能;
當(dāng)x=51時(shí),y可取50,51,52,53,共4種可能;
當(dāng)x=52,53,54,55,56,57時(shí),y的取法均有5種,共30種可能;
當(dāng)x=58時(shí),y可取56,57,58,59,共4種可能;
當(dāng)x=59時(shí),y可取57,58,59,共3種可能.
綜上可得,兩名教師批改成績之差的絕對值不超過2的情況有44種.
由古典概型的概率公式可得,所求概率為P=44100=0.44.
三、解答題(本大題共3小題,共44分)
9.(14分)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng).
(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人?
(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作.
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;
②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”,求事件M發(fā)生的概率.
解:(1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué),因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人、2人、2人.
(2)①從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21種.
②由①,不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中,來自甲年級(jí)的是A,B,C,來自乙年級(jí)的是D,E,來自丙年級(jí)的是F,G,則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5種.
所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=521.
10.(15分)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù),加工出來的產(chǎn)品(單位:件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定:對于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品,廠家每件分別收取加工費(fèi)90元,50元,20元;對于D級(jí)品,廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件,乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù),在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品,并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí),整理如下:
甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表
等級(jí)
A
B
C
D
頻數(shù)
40
20
20
20
乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表
等級(jí)
A
B
C
D
頻數(shù)
28
17
34
21
(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率;
(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤,以平均利潤為依據(jù),廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?
解:(1)由試加工產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表知,
甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為40100=0.4;
乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為28100=0.28.
(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為
利潤
65
25
-5
-75
頻數(shù)
40
20
20
20
因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為65×40+25×20-5×20-75×20100=15.
由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為
利潤
70
30
0
-70
頻數(shù)
28
17
34
21
因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為70×28+30×17+0×34-70×21100=10.
比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤,應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).
11.(15分)甲、乙兩人玩一種游戲,每次由甲、乙各出1到5根手指頭,若和為偶數(shù),算甲贏,否則算乙贏.
(1)若以A表示和為6的事件,求P(A).
(2)現(xiàn)連玩三次,若以B表示甲至少贏一次的事件,C表示乙至少贏兩次的事件,試問B與C是否為互斥事件?為什么?
(3)這種游戲規(guī)則公平嗎?說明理由.
解:(1)甲、乙各出1到5根手指頭,共有5×5=25(種)可能結(jié)果,
和為6的有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),共有5種可能結(jié)果,故P(A)=525=15.
(2)B與C不是互斥事件,理由如下:B與C都包含“甲贏一次,乙贏兩次”,事件B與事件C可能同時(shí)發(fā)生,故不是互斥事件.
(3)和為偶數(shù)的有13種可能結(jié)果,甲贏的概率為P=1325>12,故這種游戲規(guī)則不公平.
6
單元質(zhì)檢一 集合與常用邏輯用語
(時(shí)間:45分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題6分,共72分)
1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},則B∩?UA=( )
A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}
答案:C
解析:由已知得?UA={1,6,7},∴B∩?UA={6,7}.故選C.
2.命題“若α=π3,則sin α=32”的逆否命題是( )
A.若α≠π3,則sin α≠32 B.若α=π3,則sin α≠32
C.若sin α≠32,則α≠π3 D.若sin α≠32,則α=π3
答案:C
3.“13x<1”是“1x>1”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案:B
解析:由13x<1,解得x>0.由1x>1,解得0
1”的必要不充分條件,故選B.
4.命題“?n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>n
B.?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>n
C.?n0∈N*,f(n0)?N*且f(n0)>n0
D.?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0
答案:D
解析:因?yàn)槿Q命題的否定為特稱命題,“且”的否定為“或”,所以否定形式為“?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0.”
5.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳,則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
答案:C
解析:設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生比例數(shù)為x.
由Venn圖可知,82%-x+60%=96%,
解得x=46%,故選C.
6.已知p:x≥k,q:3x+1<1,若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.[1,+∞) D.(-∞,-1)
答案:B
解析:∵3x+1<1,∴3x+1-1=2-xx+1<0.
∴x>2或x<-1.
又p是q的充分不必要條件,∴k>2,故選B.
7.已知函數(shù)f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是( )
A.-∞,-32∪12,+∞ B.-32,12
C.-∞,-12∪32,+∞ D.-12,32
答案:A
解析:由f(x)>0的解集為(-1,3),易知f(x)<0的解集為(-∞,-1)∪(3,+∞),
故由f(-2x)<0得-2x<-1或-2x>3,
∴x>12或x<-32.
8.不等式x2-2x+m>0在R上恒成立的必要不充分條件是( )
A.m>2 B.00 D.m>1
答案:C
解析:當(dāng)不等式x2-2x+m>0在R上恒成立時(shí),Δ=4-4m<0,解得m>1;
故m>1是不等式恒成立的充要條件;m>2是不等式成立的充分不必要條件;
00是不等式成立的必要不充分條件.故選C.
9.若集合A={x|log12(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},則A∩B=( )
A.0,12 B.-12,12 C.(0,2) D.12,2
答案:A
解析:∵A={x|log12(2x+1)>-1}=x-12b,故命題q為假命題,所以p∧(q)為真命題.
12.對于下列四個(gè)命題:
p1:?x0∈(0,+∞),12x0<13x0;
p2:?x0∈(0,1),log12x0>log13x0;
p3:?x∈(0,+∞),12x0時(shí),有32x>1,故可知對?x∈(0,+∞),有12x>13x,
故p1是假命題;
當(dāng)0log13x.
故?x0∈(0,1),log12x0>log13x0,即p2是真命題.
當(dāng)x=1時(shí),12x=121=12,
log12x=log121=0,
此時(shí)12x>log12x,故p3是假命題;
因?yàn)閥1=12x在區(qū)間0,13內(nèi)是減函數(shù),
所以1213<12x<120=1.
又因?yàn)閥2=log13x在區(qū)間0,13內(nèi)是減函數(shù),
所以log13x>log1313=1.
所以對?x∈0,13,有l(wèi)og13x>12x,故p4是真命題.
二、填空題(本大題共4小題,每小題7分,共28分)
13.已知全集U=yy=log2x,x∈12,1,2,16,集合A={-1,1},B={1,4},則A∩(?UB)= .?
答案:{-1}
解析:由全集U中y=log2x,x∈12,1,2,16,得到y(tǒng)∈{-1,0,1,4},即全集U={-1,0,1,4}.
∵A={-1,1},B={1,4},
∴?UB={-1,0}.∴A∩(?UB)={-1}.
14.已知全集U=R,集合A={x|2x2-x-6≥0},B=x1-xx-3≥0,則A∪B= .
答案:xx≥1或x≤-32
解析:由2x2-x-6≥0,得(x-2)(2x+3)≥0,
故A=xx≥2或x≤-32.
由1-xx-3≥0,得x-1x-3≤0,
故B={x|1≤x<3}.因此A∪B=xx≥1或x≤-32.
15.若在區(qū)間[0,1]上存在實(shí)數(shù)x使2x(3x+a)<1成立,則a的取值范圍是 .?
答案:(-∞,1)
解析:由2x(3x+a)<1可得a<2-x-3x.
故在區(qū)間[0,1]上存在實(shí)數(shù)x使2x(3x+a)<1成立,等價(jià)于a<(2-x-3x)max,其中x∈[0,1].
令y=2-x-3x,則函數(shù)y在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減.
故y=2-x-3x的最大值為20-0=1.因此a<1.
故a的取值范圍是(-∞,1).
16.設(shè)p:方程x2+2mx+1=0有兩個(gè)不相等的正根;q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0無實(shí)根,則使p∨q為真,p∧q為假的實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .?
答案:(-∞,-2]∪[-1,3)
解析:設(shè)方程x2+2mx+1=0的兩根分別為x1,x2,
則Δ1=4m2-4>0,x1+x2=-2m>0,得m<-1,
故p為真時(shí),m<-1.
由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0無實(shí)根,可知Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-20,2x,x≤0,則f(f(1))=( )
A.2 B.0 C.-4 D.-6
答案:C
解析:函數(shù)f(x)=2x-4(x>0),2x(x≤0),
則f(f(1))=f(2-4)=f(-2)=-4.故選C.
2.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增的是( )
A.y=-1x B.y=-x2
C.y=e-x+ex D.y=|x+1|
答案:C
解析:選項(xiàng)A中函數(shù)是奇函數(shù),不合題意;
選項(xiàng)B中函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,不合題意;
選項(xiàng)D中函數(shù)為非奇非偶函數(shù),不合題意;故選C.
3.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0]上f(x)是減函數(shù).若f(2)=0,則使得f(x)<0的x的取值范圍是( )
A.(-∞,2) B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)
答案:B
解析:由題意知f(-2)=f(2)=0,當(dāng)x∈(-2,0]時(shí),f(x)12時(shí),fx+12=fx-12,則f(6)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案:D
解析:由題意可知,當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f(x)為奇函數(shù);
當(dāng)x>12時(shí),由fx+12=fx-12可得f(x+1)=f(x).
所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).
而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.
所以f(6)=2.故選D.
5.設(shè)a=log32,b=ln 2,c=5-12,則( )
A.alog2e>1,所以a2=log24>log23,所以c0,且a≠1)在R上為減函數(shù),則函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象可以是( )
答案:C
解析:由函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上為減函數(shù),得01或x<-1},故排除A,B;
當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象是把函數(shù)y=logax的圖象向右平移1個(gè)單位得到的,所以當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,排除D.所以選C.
10.已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則( )
A.f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增
B.f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減
C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱
D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱
答案:C
解析:f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,當(dāng)x∈(1,2)時(shí),x增大,-x2+2x減小,ln(-x2+2x)減小,即f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,2)單調(diào)遞減,故排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)閒(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+lnx=f(x),所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,故排除選項(xiàng)D.故選C.
11.某公司租地建倉庫,已知倉庫每月占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月車載貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離成正比.據(jù)測算,如果在距離車站10千米處建倉庫,這兩項(xiàng)費(fèi)用y1,y2分別是2萬元和8萬元,那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站( )
A.5千米處 B.4千米處 C.3千米處 D.2千米處
答案:A
解析:設(shè)倉庫到車站的距離為x千米,由題意,得y1=k1x,y2=k2x,其中x>0.
由當(dāng)x=10時(shí),兩項(xiàng)費(fèi)用y1,y2分別是2萬元和8萬元,可得k1=20,k2=45,故y1+y2=20x+45x≥220x·45x=8,當(dāng)且僅當(dāng)20x=45x,即x=5時(shí)取等號(hào),故選A.
12.已知a,b∈R且ab≠0,對于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,則( )
A.a<0 B.a>0
C.b<0 D.b>0
答案:C
解析:當(dāng)a<0時(shí),在x≥0上,x-a≥0恒成立,所以只需滿足(x-b)·(x-2a-b)≥0恒成立,此時(shí)2a+b0不滿足條件;
當(dāng)b<0時(shí),在[0,+∞)上,x-b≥0恒成立,所以只需滿足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,此時(shí)兩根分別為x=a和x=2a+b,
(1)當(dāng)a+b>0時(shí),此時(shí)00,滿足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立.
綜上可知,滿足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0恒成立時(shí),只有b<0.故選C.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,則a= .?
答案:-7
解析:因?yàn)閒(3)=log2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7.
14.已知奇函數(shù)f(x)滿足對任意x∈R都有f(x+6)=f(x)成立,且f(1)=1,則f(2 015)+f(2 016)= .?
答案:-1
解析:由f(x+6)=f(x),知函數(shù)f(x)是周期為6的函數(shù).
又函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(2015)=f(6×336-1)=f(-1)=-f(1)=-1,f(2016)=f(6×336+0)=f(0)=0,
所以f(2015)+f(2016)=-1.
15.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,則f(-a)= .?
答案:-2
解析:令g(x)=ln(1+x2-x),
則g(-x)=ln(1+x2+x),
∴g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,∴g(x)為奇函數(shù).
∴f(x)=g(x)+1.
∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2.
∴f(-a)=-2.
16.已知直線y=mx與函數(shù)f(x)=2-13x,x≤0,12x2+1,x>0的圖象恰好有三個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .?
答案:(2,+∞)
解析:作出函數(shù)f(x)=2-13x(x≤0)12x2+1(x>0)的圖象,如圖所示.
直線y=mx的圖象是繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線,當(dāng)斜率m≤0時(shí),直線y=mx與函數(shù)f(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m>0時(shí),直線y=mx始終與函數(shù)y=2-13x(x≤0)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn),故要使直線y=mx與函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn),必須使直線y=mx與函數(shù)y=12x2+1(x>0)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),即方程mx=12x2+1在x>0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即方程x2-2mx+2=0的判別式Δ=4m2-4×2>0,且2m>0,解得m>2.故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2,+∞).
三、解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(10分)已知函數(shù)f(x)=m+logax(a>0,且a≠1)的圖象過點(diǎn)(8,2)和(1,-1).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值時(shí)x的值.
解:(1)由f(8)=2,f(1)=-1,得m+loga8=2,m+loga1=-1,解得m=-1,a=2,
故函數(shù)解析式為f(x)=-1+log2x.
(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)
=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]
=log2x2x-1-1(x>1).
因?yàn)閤2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1x-1
=(x-1)+1x-1+2≥2(x-1)·1x-1+2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x-1,即x=2時(shí),等號(hào)成立,
函數(shù)y=log2x在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
所以log2x2x-1-1≥log24-1=1,
故當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)g(x)取得最小值1.
18.(12分)已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.設(shè)f(x)=g(x)x.
(1)求a,b的值;
(2)若當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),不等式f(2x)-k·2x≥0有解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解:(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.
因?yàn)閍>0,所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù),
故g(2)=1,g(3)=4,解得a=1,b=0.
(2)由已知可得f(x)=x+1x-2,
所以f(2x)-k·2x≥0可化為2x+12x-2≥k·2x,
可化為1+12x2-2·12x≥k.
令t=12x,則k≤t2-2t+1.
因?yàn)閤∈[-1,1],所以t∈12,2.
記h(t)=t2-2t+1,
因?yàn)閠∈12,2,所以h(t)max=1.
所以k≤1,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞,1].
19.(12分)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x(x∈N*)千件,需另投入成本為C(x)萬元,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),C(x)=13x2+10x(萬元);當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時(shí),C(x)=51x+10000x-1 450(萬元).通過市場分析,當(dāng)每件售價(jià)為500元時(shí),該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷售完.
(1)寫出年利潤L(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?
解:(1)當(dāng)0950.
綜上所述,當(dāng)x=100時(shí),L(x)取得最大值1000,
即年產(chǎn)量為100千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大.
20.(12分)已知二次函數(shù)y=f(x)在x=t+22處取得最小值-t24(t≠0),且f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表達(dá)式;
(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-1,12上的最小值為-5,求此時(shí)t的值.
解:(1)設(shè)f(x)=ax-t+222-t24(a>0).
因?yàn)閒(1)=0,所以(a-1)t24=0.
又因?yàn)閠≠0,所以a=1,
所以f(x)=x-t+222-t24(t≠0).
(2)因?yàn)閒(x)=x-t+222-t24(t≠0),
所以當(dāng)t+22<-1,即t<-4時(shí),
f(x)在區(qū)間-1,12上的最小值f(x)min=f(-1)=-1-t+222-t24=-5,所以t=-92;
當(dāng)-1≤t+22≤12,即-4≤t≤-1時(shí),f(x)在區(qū)間-1,12上的最小值f(x)min=ft+22=-t24=-5,
所以t=±25(舍去);
當(dāng)t+22>12,即t>-1時(shí),
f(x)在區(qū)間-1,12上的最小值f(x)min=f12=12-t+222-t24=-5,所以t=-212(舍去).
綜上,得t=-92.
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1).
(1)當(dāng)a=12時(shí),求函數(shù)f(x)的定義域.
(2)當(dāng)a>1時(shí),求關(guān)于x的不等式f(x)m對任意實(shí)數(shù)x∈[1,3]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解:(1)當(dāng)a=12時(shí),f(x)=log1212x-1,
故12x-1>0,解得x<0,
故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0).
(2)由題意知,f(x)=loga(ax-1)(a>1),定義域?yàn)閤∈(0,+∞),易知f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),
由f(x)0,x<1,∴x∈(0,1).
(3)設(shè)g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log22x-12x+1,x∈[1,3],
設(shè)t=2x-12x+1=1-22x+1,x∈[1,3],
故2x+1∈[3,9],t=1-22x+1∈13,79,
故g(x)min=g(1)=-log23.
又∵f(x)-log2(1+2x)>m對任意實(shí)數(shù)x∈[1,3]恒成立,
故m0時(shí),f(x)<0,且f(1)=-2.
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值;
(3)解關(guān)于x的不等式f(ax2)-2f(x)0.
∴f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<-f(-x1).
又f(x)為奇函數(shù),∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是減函數(shù).
∴對任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3).
∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,
∴f(-3)=-f(3)=6,
∴f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值為6.
(3)∵f(x)為奇函數(shù),
∴整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.
∴當(dāng)a=0時(shí),x∈(-∞,1);
當(dāng)a=2時(shí),x∈{x|x≠1,且x∈R};
當(dāng)a<0時(shí),x∈x2a2a或x<1;
當(dāng)a>2時(shí),x∈xx<2a或x>1.
綜上所述,當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為(-∞,1);
當(dāng)a=2時(shí),原不等式的解集為{x|x≠1,且x∈R};
當(dāng)a<0時(shí),原不等式的解集為x2a2a或x<1;
當(dāng)a>2時(shí),原不等式的解集為xx<2a或x>1.
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