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1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習：應(yīng)用性問題 高考要求 數(shù)學(xué)應(yīng)用題是指利用數(shù)學(xué)知識解決其他領(lǐng)域中的問題 高考對應(yīng)用題的考查已逐步成熟，大體是三道左右的小題和一道大題，注重問題及方法的新穎性，提高了適應(yīng)陌生情境的能力要求 重難點歸納 1 解應(yīng)用題的一般思路可表示如下： 2 解應(yīng)用題的一般程序 （1）讀 閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ) （2）建 將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進行建“?！笔顷P(guān)鍵的一關(guān) （3）解 求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論 一要充

2、分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程 （4）答 將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實際問題的結(jié)果 3 中學(xué)數(shù)學(xué)中常見應(yīng)用問題與數(shù)學(xué)模型 （1）優(yōu)化問題 實際問題中的“優(yōu)選”“控制”等問題，常需建立“不等式模型”和“線性規(guī)劃”問題解決 （2）預(yù)測問題 經(jīng)濟計劃、市場預(yù)測這類問題通常設(shè)計成“數(shù)列模型”來解決 （3）最（極）值問題 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設(shè)及實際生活中的極限問題常設(shè)計成“函數(shù)模型”，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值 （4）等量關(guān)系問題 建立“方程模型”解決 （5）測量問題 可設(shè)計成“圖形模型”利用幾何知識解決 典型題例示范講解 例1為處理含有

3、某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱（如圖），污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小（A、B孔的面積忽略不計）？ 命題意圖 本題考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最值求法等基本知識及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、思想與方法解決實際問題能力 知識依托 重要不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、建立函數(shù)關(guān)系式 錯解分析 不能理解題意而導(dǎo)致關(guān)系式列不出來，或a與b間的等量關(guān)系找不到 技巧與方法 關(guān)鍵在于如何求出函數(shù)最小

4、值，條件最值可應(yīng)用重要不等式或利用導(dǎo)數(shù)解決 解法一 設(shè)經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)為y，則由條件y=(k＞0為比例系數(shù))其中a、b滿足2a+4b+2ab=60 ① 要求y的最小值，只須求ab的最大值 由①(a+2)(b+1)=32(a＞0,b＞0)且ab=30–(a+2b) 應(yīng)用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥ ∴ab≤18，當且僅當a=2b時等號成立 將a=2b代入①得a=6,b=3 故當且僅當a=6,b=3時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小 解法二 由2a+4b+2ab=60,得, 記(0＜a＜30)則要求

5、y的最小值只須求u的最大值 由，令u′=0得a=6 且當0＜a＜6時，u′＞0，當6＜u＜30時u′＜0, ∴在a=6時取最大值，此時b=3 從而當且僅當a=6，b=3時,y=取最小值 例2某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相等 為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？ 命題意圖 本題考查等比數(shù)列、數(shù)列求和解不等式等知識以及極限思想方法和運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力 知識依托 數(shù)列極限、等比數(shù)列、解不等式 錯解分析 ①不能讀懂題意，找

6、不到解題的突破口；②寫出bn+1與x的關(guān)系后，不能進一步轉(zhuǎn)化為極限問題；③運算出錯，得不到準確結(jié)果 技巧與方法 建立第n年的汽車保有量與每年新增汽車數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵、盡管本題入手容易，但解題過程中的準確性要求較高 解 設(shè)2001年末的汽車保有量為b1萬輛，以后各年汽車保有量依次為b2萬輛，b3萬輛，……每年新增汽車x萬輛，則 b1=30,b2=b1×0 94+x,… 對于n＞1，有bn+1=bn×0 94+x=bn–1×0 942+(1+0 94)x,… 所以bn+1=b1×0 94n+x(1+0 94+0 942+…+0 94n–1) =b1

7、×0 94n+ 當≥0，即x≤1 8時，bn+1≤bn≤…≤b1=30 當＜0，即x＞1 8時， 并且數(shù)列{bn}逐項遞增，可以任意靠近 因此如果要求汽車保有量不超過60萬輛， 即bn≤60(n=1,2,…)則有≤60，所以x≤36 綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過36萬輛 例3 一只小船以10 m/s的速度由南向北勻速駛過湖面，在離湖面高20米的橋上，一輛汽車由西向東以20 m/s的速度前進（如圖），現(xiàn)在小船在水平P點以南的40米處，汽車在橋上以西Q點30米處（其中PQ⊥水面），則小船與汽車間的最短距離為 （不考慮汽車與小船本身的大?。? 解析

8、 設(shè)經(jīng)過時間t汽車在A點，船在B點，（如圖），則AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，設(shè)小船所在平面為α,AQ,QP確定平面為β,記α∩β=l,由AQ∥α,AQβ得AQ∥l,又AQ⊥PQ，得PQ⊥l,又PQ⊥PB，及l(fā)∩PB=P得PQ⊥α 作AC∥PQ，則AC⊥α 連CB，則AC⊥CB，進而AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP， ∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40–10t）2+(30–20t)2 =100［5(t–2)2+9］,t=2時AB最短，最短距離為30 m 答案 30 m 例4 小寧中午

9、放學(xué)回家自己煮面條吃，有下面幾道工序 （1）洗鍋盛水2分鐘；（2）洗菜6分鐘；（3）準備面條及佐料2分鐘；（4）用鍋把水燒開10分鐘；（5）煮面條和菜共3分鐘 以上各道工序除（4）之外，一次只能進行一道工序，小寧要將面條煮好，最少用分鐘 解析 按以下工序操作所需時間最少，①、④（并在此時完成②、③、⑤）所用時間為2+10+3=15分鐘 答案 15 例5 某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計規(guī)律 每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺），其總成本為G（x）萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)100臺的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R(x)滿足

10、R(x)=假定該產(chǎn)品銷售平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律 （1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品x應(yīng)控制在什么范圍？ （2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時贏利最大？并求此時每臺產(chǎn)品的售價為多少？ 解 依題意，G（x)=x+2,設(shè)利潤函數(shù)為f(x),則 (1)要使工廠有贏利，則有f(x)>0 當0≤x≤5時，有–0 4x2+3 2x–2 8>0,得15時，有8 2–x>0,得x<8 2,∴5

11、–4)2+3 6故當x=4時，f(x)有最大值3 6 而當x>5時f(x)<8 2–5=3 2所以當工廠生產(chǎn)400臺產(chǎn)品時，贏利最大，此時只須求x=4時，每臺產(chǎn)品售價為=2 4（萬元/百臺）=240（元/臺） 學(xué)生鞏固練習 1 某商場對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額 ①如果不超過200元，則不予優(yōu)惠，②如果超過200元但不超過500元，則按標價給予9折優(yōu)惠，③如果超過500元，其500元按②條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠 某人兩次去購物，分別付款168元和423元，假設(shè)他一次購買上述同樣的商品，則應(yīng)付款( ) A 413 7元

12、 B 513 7元 C 546 6元 D 548 7元 2 某體育彩票規(guī)定 從01到36共36個號碼中抽出7個號碼為一注，每注2元 某人想先選定吉利號18，然后再從01到17中選3個連續(xù)的號，從19到29中選2個連續(xù)的號，從30到36中選1個號組成一注，則此人把這種要求的號買全，至少要花( ) A 1050元 B 1052元 C 2100元 D 2102元 3 一個球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它最后靜止在地面上時，共經(jīng)過了 米

13、 4 有一廣告氣球直徑為6米，放在公司大樓上空（如圖），當某行人在A地觀測氣球時，其中心仰角為∠BAC=30°，并測得氣球的視角β=2°，若θ很小時，可取sinθ=θ，試估計氣球的高BC的值約為 米 5 運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為v千米/小時、2v千米/小時、10v千米/小時，每千米的運費分別為a元、b元、c元 且b＜a＜c,又這批海鮮在運輸過程中的損耗為m元/小時，若使用三種運輸工具分別運輸時各自的總費用（運費與損耗之和）互不相等 試確定使用哪種運輸工具總費用最省 （題中字母均為正的已知量） 參考答案

14、 1 解析 此人購買的商品原價為168+423÷90%=638元，若一次購買同樣商品應(yīng)付款為500×90%+（638–500）×70%=450+96 5=546 6元 答案 C 2 解析 從01到17中選連續(xù)3個號有15種方法，從19到29中選連續(xù)2個號有10種選法，從30到36中選1個有7種選法，故購買注數(shù)為1050注至少花1050×2=2100元 C 3 解析 小球經(jīng)過的路程為 m 答案 300 4 提示 sin2°= 答案 86 m 5 解 設(shè)運輸路程為S（千米），使用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用分別為y1(元)、y2(元)、y3(元) 則由題意， ,由a>b,各字母均為正值， 所以y1–y2>0，即y20,由c>b及每字母都是正值，得c>b+ 所以，當c>b+時y2