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______________________________________________________________________________________________________________ 用待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項公式初探 摘要: 本文通過用待定系數(shù)法分析求解9個遞推數(shù)列的例題，得出適用待定系數(shù)法求其通項公式的七種類型的遞推數(shù)列，用于解決像觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項相消法和公式法等不能解決的數(shù)列的通項問題。 關鍵詞:變形 對應系數(shù) 待定 遞推數(shù)列 數(shù)列在高中數(shù)學中占有重要的地位，推導通項公式是學習數(shù)列必由之路，特別是根據(jù)遞推公式推導出通項公式，對教師的教學和學生的學習來說都是一大難點，遞推公式千奇百怪，推導方法卻各不相同，靈活多變。對學生的觀察、分析能力要求較高，解題的關鍵在于如何變形。常見的方法有觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項相消法和公式法。但是對比較復雜的遞推公式，用上述方法難以完成，用待定系數(shù)法將遞推公式進行變形，變成新的數(shù)列等差數(shù)列或等比數(shù)列。下面就分類型談談如何利用待定系數(shù)法求解幾類數(shù)列的遞推公式。 一、 型（為常數(shù)，且） 例題1.在數(shù)列中，,,試求其通項公式。 分析：顯然，這不是等差或等比數(shù)列，但如果在的兩邊同時加上1，整理為，此時，把和看作一個整體，或者換元，令，那么，即，，因此，數(shù)列或就是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列 ，或者，進一步求出。 啟示：在這個問題中，容易看出在左右兩邊加上1就構成了新的等比數(shù)列，那不易看出在左右兩邊該加幾后構成新的等比數(shù)列時，該怎么辦呢？ 其實，已知，可變形為的形式，然后展開括號、移項后再與相比較，利用待定系數(shù)法可得。 這樣，對于形如（其中為常數(shù)，且）的遞推數(shù)列，先變?yōu)榈男问?，展開、移項，利用待定系數(shù)法有 ， 即 則數(shù)列首項為等比數(shù)列 因此，形如這一類型的數(shù)列，都可以利用待定系數(shù)法來求解。 那么，若變?yōu)?是關于非零多項式時，該怎么辦呢？是否也能運用待定系數(shù)法呢？ 二 型 例題2.在數(shù)列中，,,試求其通項公式。 分析：按照例題1的思路，在兩邊既要加上某一常數(shù)同時也要加上n的倍數(shù)，才能使新的數(shù)列有一致的形式。先變?yōu)?，展開比較得 進一步 則數(shù)列是的等比數(shù)列，所以 ， 同樣，形如的遞推數(shù)列，設展開、移項、整理，比較對應系數(shù)相等，列出方程 解得 即 則數(shù)列是以為首項，以p為公比的等比數(shù)列。于是就可以進一步求出的通項。 同理，若其中是關于n的多項式時，也可以構造新的等比數(shù)列，利用待定系數(shù)法求出其通項。比如當=時，可設 展開根據(jù)對應系數(shù)分別相等求解方程即可。 為n的三次、四次、五次等多項式時也能用同樣的思路和方法進行求解。 而如果當是n的指數(shù)式，即時，遞推公式又將如何變形呢？ 三 例題3.在數(shù)列中，,,試求其通項。 分析1：由于與例題1的區(qū)別在于2n是指數(shù)式，可以用上面的思路進行變形，在兩邊同時加上變?yōu)榧? 則數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，則 分析2：如果將指數(shù)式先變?yōu)槌?shù)，兩邊同除 就回到了我們的類型一。進一步也可求出。 例題4.在數(shù)列中，,,試求的通項。 分析：若按例題3的思路2，在兩邊同時除以，雖然產生了、，但是又增加了，與原式并沒有大的變化。所以只能運用思路1，在兩邊同時加上10整理 進一步 則數(shù)列是首項為15，公比為3的等比數(shù)列 即 啟示：已知數(shù)列的首項， 1） 當,即由例題3知，有兩種思路進行變換，利用待定系數(shù)法構造首項和公比已知或可求的等比數(shù)列。 思路一：在兩邊同時除以，將不含的項變?yōu)槌?shù)，即 為前面的類型一，再用類型一的待定系數(shù)法思想可得數(shù)列最終求解出的通項。 思路二：在兩邊同時加上的倍數(shù)，最終能變形為 對應系數(shù)相等得 ，即 即 求出數(shù)列的通項，進一步求出的通項。 2） 當時，即 由例4可知只能在選擇思路二，兩邊既要加的倍數(shù)，也要加常數(shù)，最終能變形為 比較得x，y的方程組 于是 求出數(shù)列的通項，進一步求出的通項。 四：其中可以為常數(shù)、n的多項式或指數(shù)式）以=0為例。 例題5.在數(shù)列中，,試求的通項。 分析：這是三項之間遞推數(shù)列，根據(jù)前面的思路，可以把看做常數(shù)進行處理，可變?yōu)?，先求出?shù)列的通項 然后利用累加法即可進一步求出的通項。 對于形如的遞推數(shù)列，可以設展開，利用對應系數(shù)相等，列方程 于是數(shù)列就是以為首項，y為公比的等比數(shù)列，不難求出的通項進一步利用相關即可求出。 同理，當為非零多項式或者是指數(shù)式時，也可結合前面的思路進行處理。問題的關鍵在于先變形 然后把看做一個整體就變?yōu)榱饲懊娴念愋汀? 五：型，為正項數(shù)列 例題6.在數(shù)列中，，試求其通項。 分析：此題和前面的幾種類型沒有相同之處，左邊是一次式，而右邊是二次式，關鍵在于通過變形，使兩邊次數(shù)相同，由于，所以可聯(lián)想到對數(shù)的相關性質，對兩邊取對數(shù)，即 就是前面的類型一了，即 變形得 對于類似的遞推數(shù)列，由于兩邊次數(shù)不一致，又是正項數(shù)列，所以可以利用對數(shù)性質，兩邊同時取對數(shù)，得 然后就是前面的類型一了，就可以利用待定系數(shù)法進一步構造數(shù)列為已知首項和公比的等比數(shù)列了。求出最終就可以得出的通項。 同樣，如果將中的p換為指數(shù)式時，同樣可以利用相同的方法。即： 兩邊取對數(shù) 變?yōu)轭愋投? 即可進一步得出的通項。 以上是一些整式型的遞推數(shù)列通項公式的求解，接下來再看看比較復雜的分式型遞推數(shù)列。 六： 例題7.在數(shù)列中，，試求其通項。 分析：這是一個分式型數(shù)列，如果去分母變?yōu)楹缶蜔o法進行處理了。兩邊同時取倒數(shù) 就是前面的類型一了。 所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，不難求出 例題8.在數(shù)列中，，試求其通項。 分析：此題比例題7的區(qū)別多了常數(shù)項，兩邊取倒 左右兩邊與并不一致。但可以對照例題7的思路，取倒數(shù)之后分母會具有一致的結構，根據(jù)等式和分式的性質，我們可在兩邊同時加上某一常數(shù)，整理： 此時如果，那么遞推式左邊和右邊分母就一致了。解方程得 因此 此時可選擇其中一個遞推式按照例題7的方式進行處理，這里選擇，兩邊取倒 回到了類型一 根據(jù)類型一的方法易求出： 現(xiàn)在我們將兩式相比： 則數(shù)列是我已知首項和公比的等比數(shù)列，進一步化簡求出。 通過以上兩個例題可知，形如這一類型的遞推數(shù)列，對學生的綜合能力要求較高。 1、如果右邊分子缺常數(shù)項，即，那么直接對兩邊取倒數(shù)即可得： 此時，若，那就是我們熟悉的等差數(shù)列，若，那就是前面的類型一——用待定系數(shù)法求解。 2、 若，就需要先變形，使左邊和右邊分子結構一致。兩邊同時加上某一個常數(shù)() 然后令，解出的值。 而另一種思路是直接設變形之后為 然后展開，根據(jù)對應項系數(shù)相等得二元方程組 求出。 兩種思路都是解的一元二次方程，設其解為。 若時，那就只能利用例題7的方法，兩邊取倒數(shù)，部分分式整理即可轉變?yōu)轭愋鸵弧? 最終求出。 當時，可以選擇其中的一個按照上面的方式進行求解，但是此時計算量頗大，于是直接將兩式相比得： 所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列。進一步求出。 七： 例題9.在數(shù)列中，，試求其通項。 分析：本題屬于分式非線性遞推式，與類型五又有相似之處，所以我們可以結合類型五、六的思路，進行變換： 兩邊同時加上某個常數(shù)，設最終變?yōu)椋? 與原式比較，對應系數(shù)相等，得 解方程得 即有： 對單個式子進行處理，無從下手，兩式相比得 然后，兩邊取對數(shù)得： 則數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列。 進一步解得 顯然，按照例題9的思路，形如這一類型的參數(shù)必須滿足一定的條件，所得方程應有兩個不相等的實根。 現(xiàn)在來探討應該滿足哪些條件？ 設，即： 所以 對應系數(shù)相等得 方程要滿足 設方程的兩根為則有 兩式相比得 兩邊取對數(shù)得 數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列。 求出的通項再整理一下就得出了的通項，問題就得以解決了。 本文主要是通過例題的分析講解，并進行歸納總結概括而形成的，是我在平時的學習中，通過平時自己的一些積累和參考其他作者的思路，對用待定系數(shù)法求解遞推數(shù)列的初步探討和認識。例題的深度層層深入，前面的類型是后面的基礎，特別是第一種類型，是學習其他幾種類型的充分依據(jù)，其他的類型最終都會轉變?yōu)榈谝环N類型之后再進行求解。 參考文獻 [1]李春雷 用不動點法探究遞推數(shù)列的通項公式[J].中學數(shù)學研究 2006.05期 [2]用待定系數(shù)法求解遞推數(shù)列的通項公式[J].中學數(shù)學研究 2007.07期 [3]例析待定系數(shù)法求解遞推數(shù)列的通項公式[J].中學數(shù)學研究 2009.07期 -可編輯修改-