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1、陜西省黃陵中學2020屆高三數(shù)學6月模擬考試題 理（重點班，含解斬） 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分. 1.已知集合，，則 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：求的集合，根據(jù)集合的運算，即可得到． 詳解：由集合，， 所以，故選D． 點睛：本題考查了集合的交集運算，正確求解集合是解答的關鍵，著重考查了學生推理與運算能力． 2.已知是虛數(shù)單位，復數(shù)，若在復平面內，復數(shù)與所對應的點關于虛軸對稱，則 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)復數(shù)與所對應的點關于虛軸對稱

2、，，求出，代入計算即可 【詳解】復數(shù)與所對應的點關于虛軸對稱， 故選 【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算法則及其幾何意義，屬于基礎題 3.設等差數(shù)列的前項和為.若，，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：根據(jù)已知條件列出方程組求出，再求得解. 詳解：由題得 所以故答案為：B 點睛：本題主要考查等差數(shù)列的通項和前n項和，意在考查學生等差數(shù)列基礎知識的掌握能力和基本的運算能力. 4.《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，書中把三角形的田稱為“圭田”，把直角梯形的田稱為“邪田”，稱底是“廣”，稱高是“正從”，“步”是丈量土地的單位

3、.現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步，正從為十步，其內有一塊廣為八步，正從為五步的圭田.若在邪田內隨機種植一株茶樹，求該株茶樹恰好種在圭田內的概率為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：利用面積公式以及梯形的面積公式，以及幾何概型能求出在邪田內隨機種植一株茶樹，該株茶樹恰好種在圭田內的概率. 詳解：邪田的廣分別為十步和二十步，正從為十步， 圭田廣為八步，正從為五步的，在邪田內隨機種植一株茶樹， 所以利用面積公式，算出圭田的面積面積， 利用梯形的面積公式，算出邪田的面積， 根據(jù)幾何概型概率公式可得， 該株茶樹恰好種在圭田內的概率為：，故選A

4、. 點睛：本題題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本裏件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤 ；（3）利用幾何概型的概率公式時 , 忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤. 5.已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則“取得最小值”的一個充分不必要條件是（ ） A. 或 B. 或或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】

5、 求出等差數(shù)列的通項公式，令其小于或等于零 【詳解】設等差數(shù)列的公差為 ， 令，解得，故當或時都是最小值，則滿足題意“取得最小值”的一個充分不必要條件是，故選 【點睛】本題考查了等差數(shù)列前項和的最小問題，有兩種解法：一是求出的情況，另一個是化簡的表達式，得到一個關于的一元二次函數(shù)問題。 6.我國古代《九章算術》里，記載了一個例子：今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺，問積幾何？”該問題中的羨除是如圖所示的五面體，其三個側面皆為等腰梯形，兩個底面為直角三角形，其中尺，尺，尺，間的距離為尺，間的距離為尺，則異面直線與所成角的正弦值為（ ） A

6、. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先找出異面直線所成的角，然后計算邊長求出正弦值 【詳解】如圖： 根據(jù)題意，所以異面直線與所成角， 又因為尺，尺 且側面為等腰梯形，過點作，則尺，間的距離為尺，故尺，由勾股定理得尺， 所以, 故選 【點睛】為求異面直線所成角要先通過平行線找出或者作出異面直線所成的角，然后構造出三角形，求出邊長，就可以求三角函數(shù)值。 7.設，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 將，代入，然后執(zhí)行判

7、定語句輸出結果 【詳解】將，輸入，，即，故，故選 【點睛】本題考查了流程圖輸出結果，只有判定和的大小即可計算出結果，較為基礎 8.近幾個月來，繼“共享單車”后，“共享汽車”也在我國幾座大城市中悄然興起，關系非常要好的三個家庭（每個家庭個大人，個小孩，且大人都有駕照）共人決定周末乘甲、乙兩輛共享汽車出去旅游，已知每車限坐人（乘同一輛車的人不考慮位置），其中戶家庭的人需乘同一輛，則戶家庭恰好乘坐甲車且甲車至少有名小孩的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出總的基本事件，然后再求出滿足題意的至少兩名小孩的事件，運用古

8、典概率求出結果 【詳解】總的基本事件數(shù)： 要求至少兩名小孩： 則戶家庭恰好乘坐甲車且甲車至少有名小孩的概率 故選 【點睛】本題考查了古典概率，按照題目要求分別求出滿足題意的事件數(shù)，然后求出概率。 9.設分別為雙曲線的左、右焦點，過作一條漸近線的垂線，垂足為，延長與雙曲線的右支相交于點，若，此雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：用雙曲線的一條漸近線與過焦點的直線聯(lián)立方程組，求得點的坐標，利用，得到點的坐標，將點坐標代入雙曲線的方程，即可的雙曲線的離心率. 詳解：由雙曲線的方程，可得其漸近線的方程為與直線，

9、 聯(lián)立方程組，可得的坐標為， 又由，且，可得點的坐標為， 將點坐標代入雙曲線的方程，可得， 整理得，所以離心率為，故選A. 點睛：本題主要考查了雙曲線的離心率的曲解，以及雙曲線的漸近線方程的運用，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出 ，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，然后轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范圍)． 10.已知函數(shù)．將的圖象向左平移個單位長度后所得的函數(shù)圖象關于軸對稱，則關于函數(shù)，下列命題正確的是（ ） A. 函數(shù)在區(qū)間上有最小值 B. 函數(shù)的一條對稱軸為 C. 函數(shù)在

10、區(qū)間上單調遞增 D. 函數(shù)的一個對稱點為 【答案】C 【解析】 【分析】 通過三角函數(shù)圖像的平移求出平移后的表達式，然后結合圖像關于軸對稱求出的值，繼而判斷命題的真假 【詳解】由題意，函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到： 函數(shù) 函數(shù)圖象關于軸對稱 即，解得， ，，即 令， 即， 當時，即，此時函數(shù)單調遞增 故選 【點睛】本題考查了三角函數(shù)正弦圖像的性質，依據(jù)題意結合“左加右減”求出平移后的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的單調性、最值、對稱軸來對命題進行判斷。 11.如圖，在中，、分別是、的中點，若（，），且點落在四邊形內（含邊界），則的取值范圍是（ ）

11、 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：利用平面向量的線性運算，得出滿足的不等關系，再利用線性規(guī)劃思想求解. 詳解：由題意，當在線段上時，，當點在線段上時，，∴當在四邊形內（含邊界）時，（＊），又，作出不等式組（＊）表示的可行域，如圖， 表示可行域內點與連線的斜率，由圖形知，，即，∴，， 故選C. 點睛：在平面向量的線性運算中，如圖，的范圍可仿照直角坐標系得出，，類比于軸，直角坐標系中有四個象限，類比在（）中也有四個象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可類比得出其中的直線方程，二元一次不等式組表示的平面區(qū)域等等.

12、 12.設實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：將原問結合函數(shù)的單調性轉化為對任意的恒成立，結合導函數(shù)的性質求解實數(shù)的最大值即可. 詳解：不等式 . 設，則,于是f(x)在上是增函數(shù). 因為，，所以， 即對任意的恒成立，因此只需. 設，， 所以在上為增函數(shù)， 所以，所以，即m的最大值是e. 本題選擇D選項. 點睛：函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯(lián)系，

13、抓住其本質，那么運用函數(shù)的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效. 二、填空題 13.設x、y滿足條件 則z=4x-2y最小值是_______ 【答案】-5 【解析】 【分析】 畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最優(yōu)解求解目標函數(shù)的最小值即可 【詳解】如圖： ，則， 當即時 故答案為 【點睛】本題給出二元一次不等式組，求目標函數(shù)

14、的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎題。 14.已知0分別在區(qū)間（0，a）和（0，4-a）內任取一個數(shù)，且取的兩數(shù)之和小于1的概率為，則a=________ 【答案】 【解析】 【分析】 分類討論，分別計算其面積，由幾何概型的計算公式可得答案 【詳解】由題意可知： ，不合題意 ， 解得 故答案為 【點睛】本題主要考查了幾何概型的計算，解題的關鍵是在于用平面區(qū)域表示出題干的代數(shù)關系。 15.如圖，在等腰四面體ABCD中設BC=AD=a。AC=BD=b，AB=CD=c，外接球的半徑為R，則R=______（用a、b、c表示）

15、 【答案】 【解析】 【分析】 由題意得四面體是長方體中的四個頂點構成的幾何體，其中相等的邊長分別為長方體的相對的面上的對角線，然后計算出結果 【詳解】設長方體的長寬高分別為，，， 根據(jù)題意得，，，相加得， 故答案為 【點睛】本題考查了三棱錐外接球問題，本題需要把握住對邊相等長度聯(lián)想到長方體，三棱錐的外接球與長方體的外接球是相同的，因此進行轉化。 16.在中三個內角C,所對的邊分別是a，b，c，若（b+2sinC）cosA=-2sinAcosC,且a=2，則面積的最大值是________ 【答案】 【解析】 【分析】 運用兩角和的正弦公式逆用，然后結合正弦定理、余

16、弦定理進行化簡，最后運用不等式求出面積最大值 【詳解】 則，結合正弦定理得，即， 由余弦定理得，化簡得，故 故答案為 【點睛】本題為求三角形面積的最大值，較為綜合，考查了正弦定理、余弦定理和均值不等式，注意兩角和公式逆用還有誘導公式的化簡，整體計算需要把握好。 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知，設是單調遞減的等比數(shù)列的前項和，且，，成等差數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和滿足，求的值． 【答案】(1)；(2). 【解析】 分析: (1)根據(jù)，，成等差數(shù)列求數(shù)列的公比,再

17、求數(shù)列的通項公式.（2）先化簡，再利用裂項相消求的值 詳解：（1）設數(shù)列的公比為，由， 得， 即，∴， ∵是單調遞減數(shù)列，∴， 又∵，∴，∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∴或， ∵，∴． 點睛：（1）本題主要考查等比數(shù)列通項的求法和等差中項，考查裂項相消法求和，意在考查學生對這些知識的掌握能力和計算能力.(2) 類似（其中是各項不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：①，特別地當時， ②，特別地當時 ③ ④. 18.某企業(yè)對現(xiàn)有設備進行了改造，為了了解設備改造后的效果，現(xiàn)從設備改造前后生產的大量產品中

18、各抽取了100件產品作為樣本，檢測其質量指標值，若質量指標值在內，則該產品視為合格品，否則視為不合格品．圖1是設備改造前的樣本的頻率分布直方圖，表1是設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表． （1）完成列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為該企業(yè)生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關： 設備改造前 設備改造后 合計 合格品 不合格品 合計 （2）根據(jù)圖1和表1提供的數(shù)據(jù)，試從產品合格率的角度對改造前后設備的優(yōu)劣進行比較； （3）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，根據(jù)客戶需求對合格品進行等級細分，質量指標值落在內的定為一等品，每件售價180元；質量

19、指標值落在或內的定為二等品，每件售價150元；其他的合格品定為三等品，每件售價120元．根據(jù)頻數(shù)分布表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有合格產品中抽到一件相應等級產品的概率．現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產品，設其支付的費用為（單位：元），求的分布列和數(shù)學期望． 附： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)答案見解析；(2)改造后的設備更優(yōu)；(3)答案見解析. 【解析】 分析：（1）先完成列聯(lián)表，再利用公式計算，再判斷是否

20、有99%的把握認為該企業(yè)生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關.(2)根據(jù)產品合格率比較得到改造后的設備更優(yōu)．(3)先求X，再求X對應的概率，最后寫出X的分布列和期望. 詳解：（1）根據(jù)圖1和表1得到列聯(lián)表： 設備改造前 設備改造后 合計 合格品 86 96 182 不合格品 14 4 18 合計 100 100 200 將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得： ， ∵， ∴沒有的把握認為該企業(yè)生產的產品的質量指標值與設備改造有關． （2）根據(jù)圖1和表1可知，設備改造前的產品為合格品的概率約為，設備改造后產品為合格品的概率約為，顯然設備改造后合格率更

21、高，因此，改造后的設備更優(yōu)． （3）由表1知： 一等品的頻率為，即從所有合格品產品中隨機抽到一件一等品的概率為； 二等品的頻率為，即從所有合格品產品中隨機抽到一件二等品的概率為； 三等品的頻率為，即從所有合格品產品中隨機抽到一件三等品的概率為． 由已知得：隨機變量的取值為：240,270,300,330,360， ，， ， ，， ∴隨即變量的分布列為： ∴． 點睛：（1）本題主要考查獨立性檢驗和離散型隨機變量的分布列和期望，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和應用能力.(2) 一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為

22、 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 則稱 …… 為ξ的均值或數(shù)學期望，簡稱期望． 19.已知直三棱柱的底面是邊長為6的等邊三角形，是邊上的中點，點滿足，平面平面，求： (1)側棱長； (2)直線與平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)；(2). 【解析】 分析：(1)先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量垂直對應向量數(shù)量積為零列式解得豎坐標，即側棱長；(2)利用方程組解得平面一個法向量，由向量數(shù)量積得直線方向向量與平面一個法向量的夾角，最后根據(jù)直線與平面所成的角與向量夾角互余得結果. 詳解： （1）如圖所示

23、，以點為原點，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，.設側棱長為，則，. ∵ 平面， ∴ . 故要使平面平面，只需即可，就是當時， 則平面， ∴平面平面. ∴ ，即. 故側棱長為時，平面平面. （2）設平面法向量為， 則，∴ . ，∴ . 取. 又， ∴ . 故直線與平面所成的角的正弦值為. 點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”. 20.已知，，，，，，記動點的軌跡為. (1)求曲線的軌跡

24、方程. (2)若斜率為的直線與曲線交于不同的兩點、，與軸相交于點，則是否為定值？若為定值，則求出該定值；若不為定值，請說明理由. 【答案】(1)；(2)答案見解析. 【解析】 分析：(1)根據(jù)向量幾何意義得點為線段的垂直平分線與直線的交點，即得 ，再根據(jù)橢圓定義得曲線的軌跡方程. (2) 設，，，化簡得，再聯(lián)立侄媳婦與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡即得定值. 詳解： （1）由可知，為線段的中點.由可知，點在直線上. 由可知，.所以點為線段的垂直平分線與直線的交點，所以，所以，所以動點的軌跡為以、為焦點，長軸長為的橢圓，即，，所以.所以曲線的軌跡方程為. （2）設，，，則直線的方程

25、為，將代入得. ∴ ，所以. 則，. 所以 故是定值3. 點睛：定點、定值問題通常是通過設參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn). 21.已知，，. （Ⅰ）若，求的極值； （Ⅱ）若函數(shù)的兩個零點為，記，證明：． 【答案】（Ⅰ）極大值為，無極小值；（Ⅱ）證明見解析. 【解析】 分析：（Ⅰ）先判斷函數(shù)在上的單調性，然后可得當時，有極大值，無極小值．（Ⅱ）不

26、妨設，由題意可得，即，又由條件得，構造，令，則，利用導數(shù)可得，故得，又，所以． 詳解：（Ⅰ）， ， 由得， 且當時，，即在上單調遞增， 當時，，即在上單調遞減， ∴當時，有極大值，且，無極小值． （Ⅱ）函數(shù)的兩個零點為，不妨設， ，． ， 即， 又，， ， ． 令，則 ， 在上單調遞減， 故， ， 即， 又， ． 點睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最大（?。┲?、函數(shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的大體圖象，然后通過數(shù)形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)． （2）證

27、明不等式時常采取構造函數(shù)的方法，然后通過判斷函數(shù)的單調性，借助函數(shù)的最值進行證明． 22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）.以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是 （1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程； （2）設P為曲線C1上的動點，求點P到C2上點的距離的最小值，并求此時點P的直角坐標. 【答案】（1），；（2）的最小值為,此時點P的坐標為 【解析】 【分析】 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系把參數(shù)化為直角坐標方程，利用直角坐標和極坐標的互化公式，，把極坐標方程化為直角坐標方程 求得橢圓上的點到直線的距離為 ，可得的最小值，以及此時的值，從而求得點的坐標 【詳解】(1）由曲線:可得：，兩式兩邊平方相加可得： 曲線的普通方程為:. 由曲線得:, 即,所以曲線的直角坐標方程為:. (2)由(1)知橢圓與直線無公共點,橢圓上的點到直線的距離為, 當時,d的最小值為,此時點P的坐標為. 【點睛】本題主要考查的是曲線的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉化，點到直線的距離公式，考查了學生的轉化能力及三角恒等變換的掌握，屬于中檔題。