《高三數(shù)學(xué) 名校尖子生培優(yōu)大專題 向量與復(fù)數(shù)試題 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué) 名校尖子生培優(yōu)大專題 向量與復(fù)數(shù)試題 新人教A版（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三講 平面向量與復(fù)數(shù) 一、 向量有關(guān)的概念及運(yùn)算 例1、已知向量與的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表示。 （1）證明：對(duì)于任意向量及常數(shù)m，n恒有成立； （2）設(shè)，求向量及的坐標(biāo)； （3）求使，（p，q為常數(shù)）的向量的坐標(biāo) 解析：（1）設(shè)，則，故 ， ∴ （2）由已知得=（1，1），=（0，－1） （3）設(shè)=（x，y），則， ∴y=p，x=2p－q，即=（2P－q，p）。 例2、已知非零向量與滿足= 0且，則△ABC為_____________三角形。 解：由= 0，知角A的平分線垂直于BC，故△ABC為等腰三角形，即|AB| = |AC|；由， ∴= 600 . 所以△ABC為

2、等邊三角形。 例3、(1)已知, , 與的夾角為1200，求使與的夾角為銳角的實(shí)數(shù)k的取值范圍. (2) 已知，，且與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解：(1) == k + (k2 + 1)×1×2×cos1200 + 4k = – k2 + 5k –1 , 依題意，得 – k2 + 5k –1＞0，∴. 又當(dāng)與同向時(shí)，仍有＞0，此時(shí)設(shè)，顯然、不共線，所以，k =, k ==, 取k ==1. A B C M O N E ∴且k≠1 . 例4、如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的 中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同 的兩點(diǎn)M、N，若，，則 m +

3、n =______. 解1：取特殊位置. 設(shè)M與B重合，N與C 重合，則m=n=1, 所以m+n=2. 解2：=，∵M(jìn)、O、N三點(diǎn)共線，∴,∴m + n = 2. 解3：過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC, 則，. 又，∴1– m = n –1, ∴m + n = 2 . 二、向量與三角結(jié)合 例5、已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a與b之間有關(guān)系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0， （1）用k表示a·b; （2）求a·b的最小值，并求此時(shí)a·b的夾角的大小。 解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用兩邊平方，得 |ka+b|

4、2=(|a－kb|)2 k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b) ∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2 a·b = ∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)， ∴a2=1, b2=1, ∴a·b == （2）∵k2+1≥2k，即≥= ∴a·b的最小值為， 又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1 ∴=1×1×cos。 ∴=60°,此時(shí)a與b的夾角為60°。 例6、已知向量,且滿足, (1) 求證 ; (2)將與的數(shù)量積表示為關(guān)于的函數(shù); (3)求函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)向量與向量的夾角.

5、 解:(1) , 故 (2) , 故. (3) ,此時(shí)當(dāng)最小值為. ,量與向量的夾角 三、復(fù)數(shù) 例7、已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），，求一個(gè)以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程. [解法一] ，∴. 若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根，則必有共軛虛根. ， 所求的一個(gè)一元二次方程可以是. [解法二] 設(shè) ， 得 ， 以下解法同[解法一]. 例8、設(shè)z∈C，求滿足z+∈R且|z－2|=2的復(fù)數(shù)z. 分析：設(shè)z=a+bi(a、b∈R)，代入條件，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，易得a、b的兩個(gè)方程 解法一：設(shè)z=a+bi， 則z+=a+bi+=a+bi+ =a++(b－)i∈R ∴b=∴b=0或a2+b2=1 當(dāng)b=0時(shí)，z=a， ∴|a－2|=2 ∴a=0或4 a=0不合題意舍去，∴z=4 當(dāng)b≠0時(shí)，a2+b2=1 又∵|z－2|=2，∴(a－2)2+b2=4 解得a=，b=，∴z=±i 綜上，z=4或z=±i 解法二：∵z+∈R， ∴z+ = + ∴(z－)－=0，(z－)·=0 ∴z=或|z|=1，下同解法一