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1、《新課標》高三數學（人教版）第一輪復習單元講座 第二講 函數概念與表示 一．課標要求 1．通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念； 2．在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數； 3．通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用； 4．通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義；結合具體函數，了解奇偶性的含義； 5．學會運用

2、函數圖象理解和研究函數的性質。 二．命題走向 函數是整個高中數學的重點，其中函數思想是最重要的數學思想方法，函數問題在歷年的高考中都占據相當大的比例。 從近幾年來看，對本部分內容的考察形勢穩(wěn)中求變，向著更靈活的的方向發(fā)展，對于函數的概念及表示多以下面的形式出現：通過具體問題（幾何問題、實際應用題）找出變量間的函數關系，再求出函數的定義域、值域，進而研究函數性質，尋求問題的結果。 高考對函數概念與表示考察是以選擇或填空為主，以解答題形式出現的可能性相對較小，本節(jié)知識作為工具和其他知識結合起來命題的可能性依然很大。 預測2020年高考對本節(jié)的考察是： 1．題型是1個選擇和一個填空；

3、2．熱點是函數概念及函數的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數成為新的熱點。 三．要點精講 1．函數的概念： 設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數。記作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函數符號“y=f(x)”中的f(x)表

4、示與x對應的函數值，一個數，而不是f乘x。 2．構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域 （1）解決一切函數問題必須認真確定該函數的定義域，函數的定義域包含三種形式： ①自然型：指函數的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數的分母不為零，偶次根式函數的被開方數為非負數，對數函數的真數為正數，等等）； ②限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數學習中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤； ③實際型：解決函數的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變量x的實際意義。 （2）求函數的值域是比較困難的數學問題，中學數學要求能用初等方法求一些簡單函數的值域

5、問題。 ①配方法（將函數轉化為二次函數）；②判別式法（將函數轉化為二次方程）；③不等式法（運用不等式的各種性質）；④函數法（運用基本函數性質，或抓住函數的單調性、函數圖象等）。 3．兩個函數的相等： 函數的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則f。當函數的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之后，函數的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應法則為函數的兩個基本條件，當且僅當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一個函數。 4．區(qū)間 （1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間； （2）無窮區(qū)間； （3）區(qū)間的數軸表示。 5．映射的概念 一般地，

6、設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”。 函數是建立在兩個非空數集間的一種對應，若將其中的條件“非空數集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，這種的對應就叫映射。 注意：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述。 （2）“都有唯一”什么意思？ 包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。 6．常用

7、的函數表示法 （1）解析法：就是把兩個變量的函數關系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數的解析表達式，簡稱解析式； （2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數關系； （3）圖象法：就是用函數圖象表示兩個變量之間的關系。 7．分段函數 若一個函數的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數又稱分段函數； 8．復合函數 若y=f(u)，u=g(x),x?(a，b)，u?(m,n)，那么y=f[g(x)]稱為復合函數，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。 四．典例解析 題型1：函數概念 例1．（1）設函數 （2）（2001上海理，1）設函數f（x

8、）＝，則滿足f（x）=的x值為 。 解：（1）這是分段函數與復合函數式的變換問題，需要反復進行數值代換， = = （2）當x∈（－∞，1，值域應為［，＋∞］， 當x∈（1，＋∞）時值域應為（0，＋∞）， ∴y＝，y∈（0，＋∞）， ∴此時x∈（1，＋∞）， ∴l(xiāng)og81x＝，x＝81＝3。 點評：討論了函數的解析式的一些常用的變換技巧（賦值、變量代換、換元等等），這都是函數學習的常用基本功。 變式題：（2020山東 文2）設（ ） A．0 　 B．1 C．2

9、 D．3 解：選項為C。 例2．（2020安徽 文理15） （1）函數對于任意實數滿足條件，若則__ ________； （2）函數對于任意實數滿足條件，若則__________。 解：（1）由得， 所以，則。 （2）由得，所以，則。 點評：通過對抽象函數的限制條件，變量換元得到函數解析式，考察學生的邏輯思維能力。 題型二：判斷兩個函數是否相同 例3．試判斷以下各組函數是否表示同一函數？ （1）f（x）=，g（x）=； （2）f（x）=，g（x）= （3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）； （4）f（x）=，g（x）=； （5）f（x）=x2－2x

10、－1，g（t）=t2－2t－1。 解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數； （2）由于函數f（x）=的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數； （3）由于當n∈N*時，2n±1為奇數， ∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數； （4）由于函數f（x）=的定義域為{x|x≥0}，而g（x）=的定義域為{x|x≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數； （5）函數的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們

11、是同一函數。 點評：對于兩個函數y=f（x）和y=g（x），當且僅當它們的定義域、值域、對應法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數若兩個函數表示同一函數，則它們的圖象完全相同，反之亦然。 （1）第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數，原因是對函數的概念理解不透要知道，在函數的定義域及對應法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達式，這對于函數本身并無影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數。（2）對于兩個函數來講，只要函數的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數就不可能是同一函數。 題型三：函數定義域

12、問題 例4．求下述函數的定義域： （1）； （2） 解：（1），解得函數定義域為. （2） ，（先對a進行分類討論，然后對k進行分類討論）， ①當a=0時，函數定義域為； ②當時，得， 1）當時，函數定義域為， 2）當時，函數定義域為， 3）當時，函數定義域為； ③當時，得， 1）當時，函數定義域為， 2）當時，函數定義域為， 3）當時，函數定義域為。 點評：在這里只需要根據解析式有意義，列出不等式，但第（2）小題的解析式中含有參數，要對參數的取值進行討論，考察學生分類討論的能力。 例5．已知函數定義域為(0，2)，求下列函數的定義域： (1) ；(2)。

13、解：（1）由0＜x＜2， 得 點評：本例不給出f(x)的解析式，即由f(x)的定義域求函數f[g(x)]的定義域關鍵在于理解復合函數的意義，用好換元法；求函數定義域的第三種類型是一些數學問題或實際問題中產生的函數關系，求其定義域，后面還會涉及到。 變式題：已知函數f（x）=的定義域是R，則實數a的取值范圍是（ ） A．a＞ B．－12＜a≤0 C．－12＜a＜0 D．a≤ 解：由a=0或可得－12＜a≤0，答案B。 題型四：函數值域問題 例5．求下列函數的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）；（9）。 解：（1

14、）（配方法）， ∴的值域為。 改題：求函數，的值域。 解：（利用函數的單調性）函數在上單調增， ∴當時，原函數有最小值為；當時，原函數有最大值為。 ∴函數，的值域為。 （2）求復合函數的值域： 設（），則原函數可化為。 又∵， ∴，故， ∴的值域為。 （3）（法一）反函數法： 的反函數為，其定義域為， ∴原函數的值域為。 （法二）分離變量法：， ∵，∴， ∴函數的值域為。 （4）換元法（代數換元法）：設，則， ∴原函數可化為，∴， ∴原函數值域為。 注：總結型值域， 變形：或 （5）三角換元法： ∵，∴設， 則 ∵，∴，∴， ∴， ∴原函數

15、的值域為。 （6）數形結合法：， ∴，∴函數值域為。 （7）判別式法：∵恒成立，∴函數的定義域為。 由得： ① ①當即時，①即，∴ ②當即時，∵時方程恒有實根， ∴△， ∴且， ∴原函數的值域為。 （8）， ∵，∴， ∴， 當且僅當時，即時等號成立。 ∴， ∴原函數的值域為。 （9）（法一）方程法：原函數可化為：， ∴（其中）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原函數的值域為。 點評：上面討論了用初等方法求函數值域的一些常見類型與方法，在現行的中學數學要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數的最大與最小值，在后面的復習中要作詳盡的討論。 題型五

16、：函數解析式 例6．（1）已知，求； （2）已知，求； （3）已知是一次函數，且滿足，求； （4）已知滿足，求。 解：（1）∵， ∴（或）。 （2）令（），則， ∴，。 （3）設， 則， ∴，， ∴。 （4） ①， 把①中的換成，得 ②， ①②得， ∴。 點評：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函數，可用待定系數法；第（4）題用方程組法。 例7．（2020重慶理21）已知定義域為R的函數f(x)滿足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x。 （Ⅰ）若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)； （Ⅱ）設有且

17、僅有一個實數x0，使得f(x0)= x0。求函數f(x)的解析表達式。 解：（Ⅰ）因為對任意x∈R，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x， 所以f(f(2)－22+2)=f(2)－22+2。 又由f(2)=3，得f(3－22+2)－3－22+2，即f(1)=1。 若f(0)=a，則f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a。 （Ⅱ）因為對任意x∈R，有f(f(x))－ x2 +x)=f(x)－ x2 +x。 又因為有且只有一個實數x0,使得f(x0)－ x0。 所以對任意x∈R，有f(x)－ x2 +x= x0.。 在上式中令x= x0，有f(x0)－x

18、 + x0= x0。 又因為f(x0)－ x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1。 若x0=0，則f(x)－ x2 +x=0，即f(x)= x2 –x。 但方程x2 –x=x有兩上不同實根，與題設條件矛質，故x2≠0。 若x2=1，則有f(x)－ x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1。 易驗證該函數滿足題設條件。 綜上，所求函數為f(x)= x2 –x+1（xR）。 點評：該題的題設條件是一個抽象函數，通過應用條件進一步縮小函數的范圍得到函數的解析式。這需要考生有很深的函數理論功底。 題型六：函數應用 例8．（2020北京春，理文21）某租賃公司擁有汽車100輛

19、.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出。當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛。租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元。 （1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？ （2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數為： =12，所以這時租出了88輛車。 （2）設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為： f（x）=（100－）（x－150）－×50， 整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+30

20、7050。 所以，當x=4050時，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050。 即當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元. 點評：根據實際問題求函數表達式，是應用函數知識解決實際問題的基礎，在設定或選定變量去尋求等量關系并求得函數表達式后，還要注意函數定義域常受到實際問題本身的限制。 例9．（2020湖南 理20）對1個單位質量的含污物體進行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：為，要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質量變?yōu)?。設用單位質量的

21、水初次清洗后的清潔度是，用單位質量的水第二次清洗后的清潔度是，其中是該物體初次清洗后的清潔度。 (Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少； (Ⅱ)若采用方案乙, 當為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小? 并討論取不同數值時對最少總用水量多少的影響。 解：(Ⅰ)設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z。 由題設有=0.99，解得x=19。 由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。 因為當,故方案乙的用水量較少。 （II）設初次與第二次清洗的用水量分別

22、為與，類似（I）得 ，（*） 于是+ 當為定值時,, 當且僅當時等號成立。 此時 將代入（*）式得 故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為， 最少總用水量是。 當, 故T()是增函數(也可以用二次函數的單調性判斷)。這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量。 點評：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準確建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題并加以解決。該題典型代表高考的方向。 題型7：課標創(chuàng)新題 例10．（1）設，其中a、b、c、d是常數。 如果求； （2）若不等式對滿足的所有m都成立，求x的取值范圍。 解：（1）構造函數則故

23、： （2）原不等式可化為 構造函數，其圖象是一條線段。 根據題意，只須： 即 解得。 點評：上面兩個題目通過重新構造函數解決了實際問題，體現了函數的工具作用。 五．思維總結 “函數”是數學中最重要的概念之一，學習函數的概念首先要掌握函數三要素的基本內容與方法。由給定函數解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對各種式的認識與解不等式技能的熟練。 1．求函數解析式的題型有： （1）已知函數類型，求函數的解析式：待定系數法； （2）已知求或已知求：換元法、配湊法； （3）已知函數圖像，求函數解析式； （4）滿足某個等式，這個等

24、式除外還有其他未知量，需構造另個等式：解方程組法； （5）應用題求函數解析式常用方法有待定系數法等。 2．求函數定義域一般有三類問題： （1）給出函數解析式的：函數的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合； （2）實際問題：函數的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題有意義； （3）已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域： ①掌握基本初等函數（尤其是分式函數、無理函數、對數函數、三角函數）的定義域； ②若已知的定義域，其復合函數的定義域應由解出。 3．求函數值域的各種方法 函數的值域是由其對應法則和定義域共同決定的。其類型依解析式的特點分可分三類：(

25、1)求常見函數值域；(2)求由常見函數復合而成的函數的值域；(3)求由常見函數作某些“運算”而得函數的值域。 ①直接法：利用常見函數的值域來求 一次函數y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R； 反比例函數的定義域為{x|x0}，值域為{y|y0}； 二次函數的定義域為R， 當a>0時，值域為{}； 當a<0時，值域為{}。 ②配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特征來求值；常轉化為型如：的形式； ③分式轉化法（或改為“分離常數法”） ④換元法：通過變量代換轉化為能求值域的函數，化歸思想； ⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數，運用三角函數有界性來求值域； ⑥基本不等式法：轉化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域； ⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。 ⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。