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1、不等式證明典型例題一 例1 若，證明（ 且）． 分析1 用作差法來(lái)證明．需分為和兩種情況，去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后比較法證明． 解法1 （1）當(dāng)時(shí)， 因?yàn)?， 所以 ． （2）當(dāng)時(shí)， 因?yàn)? 所以 ． 綜合（1）（2）知． 分析2 直接作差，然后用對(duì)數(shù)的性質(zhì)來(lái)去絕對(duì)值符號(hào)． 解法2 作差比較法． 因?yàn)? ， 所以． 說(shuō)明：解法一用分類相當(dāng)于增設(shè)了已知條件，便于在變形中脫去絕對(duì)值符號(hào)；解法二用對(duì)數(shù)性質(zhì)（換底公式）也能達(dá)到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡(jiǎn)捷、明快． 典型例題二 例2 設(shè)，求證：

2、 分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號(hào)較為困難．考慮到兩邊都是正數(shù)，可以作商，判斷比值與1的大小關(guān)系，從而證明不等式． 證明： ∵，∴ ∴. ∴ 又∵， ∴. 說(shuō)明：本題考查不等式的證明方法——比較法(作商比較法).作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號(hào)、作商、變形、判斷與1的大小. 典型例題三 例3 對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，求證（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 分析 這個(gè)題若使用比較法來(lái)證明，將會(huì)很麻煩，因?yàn)椋C明的不等式中有，展開(kāi)后很復(fù)雜。若使用綜合法，從重要不等式：出發(fā)，再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。 證明：∵ （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 兩邊同加， 即：

3、 （1） 又：∵ （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 兩邊同加 ∴ ∴ （2） 由（1）和（2）可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）． 說(shuō)明：此題參考用綜合法證明不等式．綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來(lái)證明，要注意均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來(lái)解． 典型例題四 例4 已知、、，，求證 分析 顯然這個(gè)題用比較法是不易證出的。若把通分，則會(huì)把不等式變得較復(fù)雜而不易得到證明．由于右邊是一個(gè)常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正確

4、的證明途徑，這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧． 證明：∵ ∴ ∵，同理：，。 ∴ 說(shuō)明：此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式．題目中用到了“湊倒數(shù)”，這種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用，但有時(shí)要首先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，以期達(dá)到可以“湊倒數(shù)”的目的． 典型例題五 例５ 已知，求證：＞0. 分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來(lái)證明，由于分析法的過(guò)程可以用綜合法來(lái)書(shū)寫(xiě)，所以此題用兩種方法來(lái)書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程. 證明一：(分析法書(shū)寫(xiě)過(guò)程) 為了證明＞0 只需要證明＞ ∵ ∴ ∴＞0 ∴＞成立 ∴＞0成立 證明二：

5、(綜合法書(shū)寫(xiě)過(guò)程) ∵ ∴ ∴＞ ＞0 ∴＞成立 ∴＞0成立 說(shuō)明：學(xué)會(huì)分析法入手，綜合法書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，但有時(shí)這兩種方法經(jīng)常混在一起應(yīng)用，混合應(yīng)用時(shí)，應(yīng)用語(yǔ)言敘述清楚. 典型例題六 例6 若，且，求證： 分析 這個(gè)不等式從形式上不易看出其規(guī)律性，與我們掌握的定理和重要的結(jié)論也沒(méi)有什么直接的聯(lián)系，所以可以采用分析的方法來(lái)尋找證明途徑．但用“分析”法證不等式，要有嚴(yán)格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分條件，直到推出的條件是明顯成立的（已知條件或某些定理等）． 證明：為要證 只需證， 即證， 也就是， 即證， 即證， ∵， ∴，故即有， 又 由可得成

6、立， ∴ 所求不等式成立． 說(shuō)明：此題考查了用分析法證明不等式．在題目中分析法和綜合法是綜合運(yùn)用的，要注意在書(shū)寫(xiě)時(shí)，分析法的書(shū)寫(xiě)過(guò)程應(yīng)該是：“欲證……需證……”，綜合法的書(shū)寫(xiě)過(guò)程是：“因?yàn)椋ā撸裕ā啵?，即使在一個(gè)題目中是邊分析邊說(shuō)明也應(yīng)該注意不要弄混． 典型例題七 例7 若，求證． 分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更簡(jiǎn)、宜用反證法． 證法一：假設(shè)，則， 而，故． ∴．從而， ∴． ∴． ∴． 這與假設(shè)矛盾，故． 證法二：假設(shè)，則， 故，即，即， 這不可能．從而． 證法三：假設(shè)，則． 由，得，故． 又， ∴． ∴，即．

7、這不可能，故． 說(shuō)明：本題三種方法均采用反證法，有的推至與已知矛盾，有的推至與已知事實(shí)矛盾． 一般說(shuō)來(lái)，結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等字句，或結(jié)論以否定語(yǔ)句出現(xiàn)，或結(jié)論肯定“過(guò)頭”時(shí)，都可以考慮用反證法． 典型例題八 例8 設(shè)、為正數(shù)，求證． 分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法． 證明：要證，只需證， 即證， 化簡(jiǎn)得，． ∵， ∴． ∴． ∴原不等式成立． 說(shuō)明：1．本題證明易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤證法：，，然后分(1)；(2)；(3)且；(4)且來(lái)討論，結(jié)果無(wú)效． 2．用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，要求相鄰兩步的關(guān)系是，前一步是后一步的必要條件，后一步是前一步的

8、充分條件，當(dāng)然相互為充要條件也可以． 典型例題九 例9 已知，求證． 分析：聯(lián)想三角函數(shù)知識(shí)，進(jìn)行三角換元，然后利用三角函數(shù)的值域進(jìn)行證明． 證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)． ∵， ∴可設(shè)，，其中． ∴． 由，故． 而，，故． 說(shuō)明：1．三角代換是最常見(jiàn)的變量代換，當(dāng)條件為或或時(shí)，均可用三角代換．2．用換元法一定要注意新元的范圍，否則所證不等式的變量和取值的變化會(huì)影響其結(jié)果的正確性． 典型例題十 例10 設(shè)是正整數(shù)，求證． 分析：要求一個(gè)項(xiàng)分式的范圍，它的和又求不出來(lái)，可以采用“化整為零”的方法，觀察每一項(xiàng)的范圍，再求整體的范圍． 證明：由

9、，得． 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， …… 當(dāng)時(shí)，． ∴． 說(shuō)明：1、用放縮法證明不等式，放縮要適應(yīng)，否則會(huì)走入困境．例如證明．由，如果從第3項(xiàng)開(kāi)始放縮，正好可證明；如果從第2項(xiàng)放縮，可得小于2．當(dāng)放縮方式不同，結(jié)果也在變化． 2、放縮法一般包括：用縮小分母，擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子，擴(kuò)大分母，分式值縮小；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求，第一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過(guò)頭，同時(shí)放縮后便于求和． 典型例題十一 例11 已知，求證：． 分析：欲證不等式看起來(lái)較為“復(fù)雜”，宜將它化為較“簡(jiǎn)單”的形式，因而用分析法證明較好． 證明：欲證，

10、 只須證． 即要證， 即要證． 即要證， 即要證． 即要證，即． 即要證　　?。?） ∵，∴（*）顯然成立， 故 說(shuō)明：分析法證明不等式，實(shí)質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．分析法通常采用“欲證——只要證——即證——已知”的格式． 典型例題十二 例12 如果，，，求證：． 分析：注意到不等式左邊各字母在項(xiàng)中的分布處于分離狀態(tài)，而右邊卻結(jié)合在一起，因而要尋求一個(gè)熟知的不等式具有這種轉(zhuǎn)換功能（保持兩邊項(xiàng)數(shù)相同），由，易得，此式的外形特征符合要求，因此，我們用如下的結(jié)合法證明． 證明：∵ 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　

11、　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 ． ∴． 說(shuō)明：分析時(shí)也可以認(rèn)為是連續(xù)應(yīng)用基本不等式而得到的．左右兩邊都是三項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上是公式的連續(xù)使用． 如果原題限定，，，則不等式可作如下變形：進(jìn)一步可得到：． 顯然其證明過(guò)程仍然可套用原題的思路，但比原題要難，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)思路還要有一個(gè)轉(zhuǎn)化的過(guò)程． 典型例題十三 例13 已知，，，求證：在三數(shù)中，不可能都大于． 分析：此命題的形式為否定式，宜采用反證法證明．假設(shè)命題不成立，則三數(shù)都大于，從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，進(jìn)一步去導(dǎo)出矛盾． 證明：假設(shè)三數(shù)都大于， 即，，． 又∵，，， ∴，，． ∴　　　① 又

12、∵，，． 以上三式相加，即得： 　?、? 顯然①與②相矛盾，假設(shè)不成立，故命題獲證． 說(shuō)明：一般情況下，如果命題中有“至多”、“至少”、“都”等字樣，通常情況下要用反證法，反證法的關(guān)鍵在于“歸謬”，同時(shí)，在反證法的證明過(guò)程中，也貫穿了分析法和綜合法的解題思想． 典型例題十四 例14 已知、、都是正數(shù)，求證：． 分析：用分析法去找一找證題的突破口．要證原不等式，只需證，即只需證．把變?yōu)椋瑔?wèn)題就解決了．或有分析法的途徑，也很容易用綜合法的形式寫(xiě)出證明過(guò)程． 證法一：要證， 只需證， 即，移項(xiàng)，得． 由、、為正數(shù)，得． ∴原不等式成立． 證法二：∵、、為正數(shù)， ． 即

13、，故． ， ． 說(shuō)明：題中給出的，，，，只因?yàn)椤?、都是正?shù)，形式同算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理一樣，不加分析就用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理來(lái)求證，問(wèn)題就不好解決了． 原不等式中是用“不大于”連結(jié)，應(yīng)該知道取等號(hào)的條件，本題當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”號(hào)．證明不等式不論采用何種方法，僅僅是一個(gè)手段或形式問(wèn)題，我們必須掌握證題的關(guān)鍵．本題的關(guān)鍵是證明． 典型例題十五 例15 已知，，且．求證：． 分析：記，欲證，聯(lián)想到正、余弦函數(shù)的值域，本題采用三角換元，借助三角函數(shù)的變換手段將很方便，由條件，可換元，圍繞公式來(lái)進(jìn)行． 證明：令，，且， 則 ∵，∴，即成立． 說(shuō)明：換元的思想

14、隨處可見(jiàn)，這里用的是三角代換法，這種代換如能將其幾何意義挖掘出來(lái)，對(duì)代換實(shí)質(zhì)的認(rèn)識(shí)將會(huì)深刻得多，常用的換元法有：(1)若，可設(shè)；(2)若，可設(shè)，，；(3)若，可設(shè)，，且． 典型例題十六 例16 已知是不等于1的正數(shù)，是正整數(shù)，求證． 分析：從求證的不等式看，左邊是兩項(xiàng)式的積，且各項(xiàng)均為正，右邊有2的因子，因此可考慮使用均值不等式． 證明：∵是不等于1的正數(shù)， ∴， ∴．　　　?、? 又．　　　?、? 將式①，②兩邊分別相乘得 ， ∴． 說(shuō)明：本題看起來(lái)很復(fù)雜，但根據(jù)題中特點(diǎn)，選擇綜合法求證非常順利．由特點(diǎn)選方法是解題的關(guān)鍵，這里因?yàn)?，所以等?hào)不成立，又因?yàn)棰?，②兩個(gè)不等式

15、兩邊均為正，所以可利用不等式的同向乘性證得結(jié)果．這也是今后解題中要注意的問(wèn)題． 典型例題十七 例17 已知，，，，且，求證． 分析：從本題結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)看，使用比較法和綜合法都難以奏效．為找出使不等式成立的充分條件不妨先用分析法一試，待思路清晰后，再?zèng)Q定證題方法． 證明：要證， 只需證， 只需證． ∵，，， ∴，，， ∴， ∴成立． ∴． 說(shuō)明：此題若一味地用分析法去做，難以得到結(jié)果．在題中得到只需證后，思路已較清晰，這時(shí)改用綜合法，是一種好的做法．通過(guò)此例可以看出，用分析法尋求不等式的證明途徑時(shí)，有時(shí)還要與比較法、綜合法等結(jié)合運(yùn)用，決不可把某種方法看成是孤立的． 典

16、型例題十八 例18 求證． 分析：此題的難度在于，所求證不等式的左端有多項(xiàng)和且難以合并，右邊只有一項(xiàng)．注意到這是一個(gè)嚴(yán)格不等式，為了左邊的合并需要考查左邊的式子是否有規(guī)律，這只需從下手考查即可． 證明：∵， ∴． 說(shuō)明：此題證明過(guò)程并不復(fù)雜，但思路難尋．本題所采用的方法也是解不等式時(shí)常用的一種方法，即放縮法．這類題目靈活多樣，需要巧妙變形，問(wèn)題才能化隱為顯，這里變形的這一步極為關(guān)鍵． 典型例題十九 例19 在中，角、、的對(duì)邊分別為，，，若，求證． 分析：因?yàn)樯婕暗饺切蔚倪吔顷P(guān)系，故可用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化． 證明：∵，∴． 由余弦定理得 ∴， ∴ 　　　　 = 　　　　 　　　　 　　　　 說(shuō)明：三角形中最常使用的兩個(gè)定理就是正弦和余弦定理，另外還有面積公式．本題應(yīng)用知識(shí)較為豐富，變形較多．這種綜合、變形能力需要讀者在平時(shí)解題時(shí)體會(huì)和總結(jié)，證明不等式的能力和直覺(jué)需要長(zhǎng)期培養(yǎng)．