《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第4講　數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第4講　數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教版（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講　數(shù)學(xué)歸納法 【2020年高考會(huì)這樣考】 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的原理及其步驟． 2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)時(shí)要抓住數(shù)學(xué)歸納法證明命題的原理，明晰其內(nèi)在的聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟，熟知每一步之間的區(qū)別聯(lián)系，熟悉數(shù)學(xué)歸納法在證明命題中的應(yīng)用技巧． 基礎(chǔ)梳理 1．歸納法 由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法．根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 (1)數(shù)學(xué)歸納法：設(shè){Pn}是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：①證明起始命題P1(或P0)成立；②在

2、假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以斷定{Pn}對一切正整數(shù)成立． (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，其步驟為： ①歸納奠基：證明當(dāng)取第一個(gè)自然數(shù)n0時(shí)命題成立； ②歸納遞推：假設(shè)n＝k，(k∈N*，k≥n0)時(shí)，命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立； ③由①②得出結(jié)論． 兩個(gè)防范 數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法，第一步是遞推的“基礎(chǔ)”，第二步是遞推的“依據(jù)”，兩個(gè)步驟缺一不可，在證明過程中要防范以下兩點(diǎn)： (1) 第一步驗(yàn)證n＝n0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值． (2)第二步中，歸納假設(shè)起著“已知

3、條件”的作用，在證明n＝k＋1時(shí)，命題也成立的過程中一定要用到它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．第二步關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”． 三個(gè)注意 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意以下三點(diǎn)： (1)n＝n0時(shí)成立，要弄清楚命題的含義． (2)由假設(shè)n＝k成立證n＝k＋1時(shí)，要推導(dǎo)詳實(shí)，并且一定要運(yùn)用n＝k成立的結(jié)論． (3)要注意n＝k到n＝k＋1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù)． 雙基自測 1．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0 等于(　　)． A．1 B．2 C．3 D．0 解析　邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形． 答案　C 2

4、．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N*)的過程，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，左邊增加了(　　)． A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．2k－1項(xiàng) D．2k項(xiàng) 解析　1＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，共增加了2k項(xiàng)，故選D. 答案　D 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為(　　)． A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案　C 4．某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知

5、n＝5時(shí)，該命題不成立，那么可以推得(　　)． A．n＝6時(shí)該命題不成立 B．n＝6時(shí)該命題成立 C．n＝4時(shí)該命題不成立 D．n＝4時(shí)該命題成立 解析　法一　由n＝k(k∈N*)成立，可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．現(xiàn)知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立． 法二　其逆否命題“若當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題不成立，則當(dāng)n＝k時(shí)也不成立”為真，故“n＝5時(shí)不成立”?“n＝4時(shí)不成立”． 答案　C 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋＞的過程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是________． 解析　不等式的左邊增加的式子是＋－＝

6、，故填. 答案　 　　 考向一　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 【例1】?用數(shù)學(xué)歸納法證明： tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n(n∈N*，n≥2)． [審題視點(diǎn)] 注意第一步驗(yàn)證的值，在第二步推理證明時(shí)要注意把假設(shè)作為已知． 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，右邊＝－2＝－2＝＝tan α·tan 2α＝左邊，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥2)時(shí)，等式成立，即 tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， tan α·tan 2α＋tan

7、 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α ＝＋1＋tan kα·tan(k＋1)α－(k＋1) ＝＋－(k＋1) ＝－(k＋1)． 這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由(1)(2)知，對任何n∈N*且n≥2，原等式成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，要注意第(1)步中驗(yàn)證n0的值，如本題要取n0＝2，在第(2)步的證明中應(yīng)在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上正確地使用正切的差角公式． 【訓(xùn)練1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 對任意的n∈N*，＋＋…＋＝. 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝，左邊＝右

8、邊，所以等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)(2)可知，對一切n∈N*等式都成立． 考向二　用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 【例2】?是否存在正整數(shù)m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9對任意自然數(shù)n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由． [審題視點(diǎn)] 觀察所給函數(shù)式，湊出推理要證明所需的項(xiàng)． 解　由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝

9、34×36，由此猜想：m＝36. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立； (2)假設(shè)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， 由于3k－1－1是2的倍數(shù)，故18(3k－1－1)能被36整除，這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(n)也能被36整除． 由(1)(2)可知對一切正整數(shù)n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值為36. 證明整除問

10、題的關(guān)鍵“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，湊出n＝k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證． 【訓(xùn)練2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)， ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a

11、＋1)(a＋1)2k－1，由假設(shè)可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除， ∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除， 即n＝k＋1時(shí)命題也成立， ∴對任意n∈N*原命題成立． 考向三　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【例3】?用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式·…·>均成立． [審題視點(diǎn)] 本題用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，在推理過程中用放縮法，要注意放縮的“度”． 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝；右邊＝. ∵左邊>右邊，∴不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，且k∈N*)時(shí)不等式

12、成立， 即·…·>. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ·…· >·＝＝ >＝＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立． 在由n＝k到n＝k＋1的推證過程中，應(yīng)用放縮技巧，使問題得以簡化，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)，從n＝k到n＝k＋1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等． 【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)＝x3－x，數(shù)列{an}滿足條件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．試比較＋＋＋…＋與1的大小，并說明理由． 解　∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－

13、1. ∵函數(shù)g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，進(jìn)而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥21－1＝1，結(jié)論成立； ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即ak≥2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①、②知，對任意n∈N*，都有an≥2n－1. 即1＋an≥2n

14、，∴≤， ∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－n＜1. 考向四　歸納、猜想、證明 【例4】?數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)． (1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想． [審題視點(diǎn)] 利用Sn與an的關(guān)系式求出{an}的前幾項(xiàng)，然后歸納出an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1. 當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝. 當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝. 當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝. 由此

15、猜想an＝(n∈N*)． (2)證明?、佼?dāng)n＝1時(shí)，左邊＝a1＝1，右邊＝＝1，左邊＝右邊，結(jié)論成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝，那么n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak， ∴ak＋1＝＝＝， 這表明n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立， 由①②知猜想an＝成立． (1)歸納、猜想、證明是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例從特例入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律． (2)數(shù)列是定義在N*上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法所運(yùn)用的范圍是一致

16、的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實(shí)質(zhì)上是一致的，數(shù)列中有不少問題常用數(shù)學(xué)歸納法解決． 【訓(xùn)練4】 由下列各式1＞， 1＋＋＞1， 1＋＋＋＋＋＋＞， 1＋＋＋…＋＞2， 1＋＋＋…＋＞， …，你能得到怎樣的一般不等式，并加以證明． 答案　猜想：第n個(gè)不等式為1＋＋＋…＋＞(n∈N*)． (1)當(dāng)n＝1時(shí)，1＞，猜想正確． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)猜想正確， 即1＋＋＋…＋＞， 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝＋＝＋＝. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． ∴對于任意n∈N*，不等式恒成立． 　　 閱卷報(bào)告20—

17、—由于方法選擇不當(dāng)導(dǎo)致失誤 【問題診斷】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題時(shí)，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)，其難點(diǎn)在于歸納假設(shè)后，如何推證對下一個(gè)正整數(shù)值命題也成立. 【防范措施】 把歸納假設(shè)當(dāng)做已知條件參加推理.明確對下一個(gè)正整數(shù)值命題成立的目標(biāo)，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，這里可以使用綜合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用數(shù)學(xué)歸納法. 【示例】? 在數(shù)列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N*)． (1)

18、求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論； (2)證明：＋＋…＋＜. 實(shí)錄　(1)由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立， 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對一切正整數(shù)都成立． 錯(cuò)因　第二問由于不等式的右端為常數(shù)，結(jié)論本身是不能用數(shù)學(xué)歸納法證明的，可考慮用放縮法證明，也可考慮加強(qiáng)不等式后，用數(shù)學(xué)歸納法證明．(2)當(dāng)n＝1時(shí) ＝＜ 假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)不等式成立 即＋＋…＋＜ 當(dāng)n＝k＋1時(shí) ＋＋…＋＋＜＋ 到此無法用數(shù)學(xué)歸納法證明． 正解　(1)用實(shí)錄(1) (2)證明：＝＜. n≥2時(shí)，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n. 故＋＋…＋ ＜＋ ＝＋ ＝＋＜＋＝. 綜上，原不等式成立．