《高中數(shù)學(xué) 考前歸納總結(jié) 圓錐曲線與向量的綜合性問題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 考前歸納總結(jié) 圓錐曲線與向量的綜合性問題（8頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、圓錐曲線與向量的綜合性問題 一、常見基本題型： 在向量與圓錐曲線相結(jié)合的題目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去尋找坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系，往往要和根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合運(yùn)用。 (1) 問題的條件以向量的形式呈現(xiàn)，間接的考查向量幾何性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)， 例1、設(shè)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在軸上，且． 當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程； 解：（解法一），故為的中點(diǎn)． 設(shè)，由點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，則 又， 又， 所以，點(diǎn)的軌跡的方程為 （解法二），故為的中點(diǎn)． 設(shè)，

2、由點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，則 - 又由，故，可得 由，則有，化簡得： 所以，點(diǎn)的軌跡的方程為 例2、已知橢圓的方程為，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn) 重合，離心率，過橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓 于、兩點(diǎn)． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)點(diǎn)，且，求直線的方程； 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，因?yàn)榈慕裹c(diǎn)坐標(biāo)為，所以 因?yàn)?，則， 故橢圓方程為： （Ⅱ）由（I）得，設(shè)

3、的方程為（） 代入，得， 設(shè)則， 所以直線的方程為 （2）所求問題以向量的形式呈現(xiàn) 例3、已知橢圓E的長軸的一個(gè)端點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，離心率是 （1）求橢圓E的方程； （2）過點(diǎn)C（—1，0），斜率為k的動(dòng)直線與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，請問x軸上 是否存在點(diǎn)M，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請 說明理由。 解：（1）根據(jù)條件可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸， 且

4、 故所求方程為即， （2）假設(shè)存在點(diǎn)M符合題意，設(shè)AB：代入 得： 則 要使上式與無關(guān)，則有 解得，存在點(diǎn)滿足題意。 例4、線段過y軸上一點(diǎn)，所在直線的斜率為，兩端點(diǎn)、 到y(tǒng)軸的距離之差為. (Ⅰ)求出以y軸為對稱軸，過、、三點(diǎn)的拋物線方程； (Ⅱ)過該拋物線的焦點(diǎn)作動(dòng)弦，過、兩點(diǎn)分別作拋物

5、線的切線，設(shè) 其交點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程，并求出的值. 解：(Ⅰ)設(shè)所在直線方程為，拋物線方程為， 且， ，不妨設(shè)， 即 把代入得 ， 故所求拋物線方程為 (Ⅱ)設(shè)， 則過拋物線上、兩點(diǎn)的切線方程分別是 ， 兩條切線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為 設(shè)的直線方程為，代入得 故的坐標(biāo)為　點(diǎn)的軌跡為 而 故 (3)問

6、題的條件及待求的問題均已向量的形式呈現(xiàn) 例5、在直角坐標(biāo)系xOy中，長為的線段的兩端點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸上 滑動(dòng)，．記點(diǎn)P的軌跡為曲線E． （I）求曲線E的方程； （II）經(jīng)過點(diǎn)（0，1）作直線l與曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M在曲線E上時(shí)，求的值． 解：（Ⅰ）設(shè)C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)． 由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)， ∴得 由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2， ∴(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2， 整理，得曲線E的方程為x2＋＝1． （Ⅱ）設(shè)

7、A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2)． 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，代入曲線E方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 則x1＋x2＝－，x1x2＝－． y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝， 由點(diǎn)M在曲線E上，知(x1＋x2)2＋＝1， 即＋＝1，解得k2＝2． 這時(shí)x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－， (x＋y)(x＋y)＝(2－x)(2－x)＝4－2(x＋x)＋(x1x2)2 ＝4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝，

8、 cosá，?＝＝－． 二、針對性練習(xí) 1. 已知圓M：及定點(diǎn)，點(diǎn) P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上， 且滿足 （1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程； （2）過點(diǎn)K（2，0）作直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)， O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) ,是否存在這樣的直線使四邊形OASB的對角 線相等？若存在，求出直線的方程； 若不存在，說明理由. 解：（1）由為PN的中點(diǎn)，且是PN的中垂線， ∴＞ ∴點(diǎn)G的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，又 ∴

9、 （2） ∵.四邊形OASB為平行四邊行， 假設(shè)存在直線1，使四邊形OASB為矩形 若1的斜率不存在，則1的方程為 由＞0. 這與相矛盾， ∴1的斜率存在. 設(shè)直線1的方程 ，化簡得： ∴ ∴ 由∴ ∴存在直線1：或滿足條件. 二、針對性練習(xí) 1.已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于, （）兩點(diǎn)，且． （1）求該拋物線的方程； （2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋

10、物線上一點(diǎn)，若，求的值． 解：（1）直線AB的方程是,與聯(lián)立， 消去，得，所以， 由拋物線定義得：，所以p=4， 拋物線方程為： （2）由p=4，化簡得， 從而,從而A(1,),B(4,) 設(shè)=， 又因?yàn)?，?（4）， 即，解得 2、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)已知兩點(diǎn)、，若將動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變， 縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍后得到點(diǎn)，且滿足. （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)所在曲線的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)作斜率為的直線

11、交曲線于、兩點(diǎn)，且， 又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，試問、、、四點(diǎn)是否共圓？若共 圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請說明理由. 解（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為， 依據(jù)題意，有 動(dòng)點(diǎn)所在曲線的方程是 （Ⅱ）因直線過點(diǎn)，且斜率為，故有 聯(lián)立方程組，消去，得 設(shè)、，可得，于是. 又，得即 而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，于是，可得點(diǎn) 若線段、的中垂線分別為和，，則有 聯(lián)立方程組，解得和的交點(diǎn)為 因此，可算得 所以、、、四點(diǎn)共圓，且圓心坐標(biāo)為半徑為