《高中數(shù)學(xué) 考前歸納總結(jié) 立體幾何常見題型與解法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 考前歸納總結(jié) 立體幾何常見題型與解法（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、立體幾何常見題型與解法 一、求空間角問題 1．異面直線所成的角 設(shè)異面直線的方向向量分別為。則與所成的角滿足對應(yīng)的銳角或直 角即為直線a(AB)與b(CD)所成的角。。 O A P 2．線面所成的角 設(shè)直線的方向向量與平面的法向量分別為，則直線的方向向量與平面所成角滿足。 3．二面角的求法 二面角，平面的法向量，平面的法向量。二面角的大小為, 若將法向量的起點放在兩個半平面上(不要選擇起點在棱上)， 當(dāng)兩個法向量的方向都向二面角內(nèi)或外時，則為二面角的平面角的補角； 即：; 當(dāng)兩個法向量的方向一個向二面角內(nèi)，另一

2、個向外時，則為二面角的平面角。 即：; 圖（1） 圖（2） 例1：在棱長為的正方體中，分別是的中點， （1）求直線所成角的余弦值； （2）求直線與平面所成角的余弦值； （3）求平面與平面所成角的余弦值； 解：（1）如圖建立坐標(biāo)系，則 A B C D E F G x y z ， 故所成角的余弦值為。 （2） 所以在平面內(nèi)的射影在的平分線上， 又為菱形，為

3、的平分線， 故直線與平面所成的角為， 建立如圖所示坐標(biāo)系，則， ， 故與平面所成角的余弦值為 （3）由， 所以平面的法向量為下面求平面的法向量， 設(shè)，由， ， ，所以平面與平面所成角的余弦值為。 例2. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD， AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中點． （I）求證：平面EAC⊥平面PBC; （II）若二面角P-A C-E的余弦值為， 求直線PA與平面EAC所成

4、角的正弦值． 解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，ACì平面ABCD，∴AC⊥PC， ∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC， 又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC， D A C E P B x y z ∵ACì平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． （Ⅱ）如圖，以C為原點，、、分別為x軸、 y軸、z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系， 則C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)． 設(shè)P(0，0，a)（a＞0）， 則E(，－，)， ＝(1，1，

5、0)，＝(0，0，a)， ＝(，－，)， 取m＝(1，－1，0)，則 m·＝m·＝0，m為面PAC的法向量． 設(shè)n＝(x，y，z)為面EAC的法向量，則n·＝n·＝0， 即取x＝a，y＝－a，z＝－2，則n＝(a，－a，－2)， 依題意，|cosám，n?|＝＝＝，則a＝2． 于是n＝(2，－2，－2)，＝(1，1，－2)． 設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ， 則sinθ＝|cosá，n?|＝＝， 即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為． 例3：如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，AD=PD，E， F分別CD、PB的中點. （Ⅰ

6、）求證：EF平面PAB； （Ⅱ）設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的正弦值。 （Ⅰ）證明：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）， 設(shè)AD=PD=1，AB=（）， A B C D E F x y z P 則E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), . 得，，. 由，得， 即， 同理，又， 所以EF平面PAB. （Ⅱ）解：由，得，即. 得，，. 有，，.

7、 設(shè)平面AEF的法向量為， 由， 解得. 于是. 設(shè)AC與面AEF所成的角為，與的夾角為. 則. . 所以，AC與平面AEF所成角的正弦值為. 二、探索性問題 例4．如圖，在直三棱柱中， （1）求證（2）在上是否存在點使得 （3）在上是否存在點使得 C A B x D y Z 解：直三棱柱，兩兩垂直， 以為坐標(biāo)原點，直線分別 為軸軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則， （1）， （2）假設(shè)在上存在點，使得，則

8、 其中，則，于是， 由于，且 所以得， 所以在上存在點使得，且這時點與點重合。 （3） 假設(shè)在上存在點使得， 則其中 則，， 又由于，， 所以存在實數(shù)成立， 所以，所以在上存在點使得，且使的中點。 三、范圍問題 例5.如圖，在梯形中，，，四邊形 為矩形，平面平面，. （1）求證：平面； （2）點在線段上運動，設(shè)平面與 平面所成二面角的平面角為 ，試求的取值范圍. （1）證明：在梯形中， ∵ ,， ∠＝，∴

9、 ∴ ∴ ∴　⊥ ∵ 平面⊥平面,平面∩平面, 平面 ∴ ⊥平面 （2）由（1）可建立分別以直線為的如圖所示空間直角坐標(biāo) 系，令，則， ∴ 設(shè)為平面的一個法向量， 由 ， 聯(lián)立得 ， 取，則 ∵　是平面的一個法向量 ∴ ∵ ∴　當(dāng)時，有最小值， 當(dāng)時，有最大值. ∴ 四

10、、折疊問題 例6。在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如圖1）.將△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2） （1）求證：A1E⊥平面BEP； （2）求直線A1E與平面A1BP所成角的大??； （3）求二面角B－A1P－F的余弦值. 解：不妨設(shè)正三角形ABC 的邊長為 3 . (1)在圖1中，取BE的中點D，連結(jié)DF． ∵AEEB=CFFA=12，∴A

11、F=AD=2，而∠A=600,∴△ADF是正三角形， 又AE=DE=1，∴EF⊥AD． 在圖2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB為二面角A1-EF-B的平面角． 由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，∴A1E⊥BE． 又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP． (2)建立分別以ED、EF、EA為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系，則E(0,0,0),A(0,0,1), B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0), 則,． 設(shè)平面ABP的法向

12、量為， 由平面ABP知，，即 令，得，． , , 所以直線A1E與平面A1BP所成的角為600． (2) ，設(shè)平面AFP的法向量為． 由平面AFP知，，即 令，得，． , 所以二面角B-A1P-F的余弦值是． 五、用法向量求點到平面的距離 如右圖所示，已知AB是平面α的 一條斜線，為平面α的法向量，則 A到平面α的 距離為； 例7、如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2. （I）證明：AB1⊥BC1； （II）求點B到平面AB1C1的距離; （III）求二面角C1—AB1—A1的大小 5解：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，其中C為坐標(biāo)原點. 依題意A（2，0，0），B（0，2，0）， B1（0，2，2），C1（0，0，2）， 因為，所以AB1⊥BC1. （2）設(shè)是平面AB1C1的法向量， 由得 所以令， 則，因為， 所以，B到平面AB1C1的距離為. （3）設(shè)是平面A1AB1的法向量.由 令=1，則 因為所以，二面角C1—AB1—A1的大小為60°