《高中數(shù)學(xué) 考前歸納總結(jié) 直線和圓的易錯(cuò)題剖析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 考前歸納總結(jié) 直線和圓的易錯(cuò)題剖析（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、直線和圓的易錯(cuò)題剖析 例題1、求過(guò)點(diǎn)且與兩坐標(biāo)所圍成的三角形面積為4的直線方程。 錯(cuò)解：設(shè)所求直線方程為。 ∵在直線上，∴， ① 又，即 ， ② 由①、②得,故所求直線方程為。 剖析：本題的“陷阱”是直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的表示。上述解法中， 由 于對(duì)截距概念模糊不清，誤將直線在x軸和y軸上的截距作距離使用而掉入“陷 阱”。事實(shí)上，直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為，而不是。 故所求直線方程應(yīng)為： ，或或。 例題2、求過(guò)點(diǎn)且與x軸的交點(diǎn)到的距離是的直線方程。 錯(cuò)解：設(shè)直線斜率為k，其方程為，

2、 則與x軸的交點(diǎn)為， ∴，解得。 故所求直線的方程為。 剖析：題中僅考慮了斜率存在的情況，忽視了斜率不存在的情況，即經(jīng)過(guò)A且垂直于x 軸的直線，落入“陷阱”。其實(shí)也符合題意。 例題3、求過(guò)點(diǎn)且橫、縱截距相等的直線方程。 錯(cuò)解：設(shè)所求方程為，將代入得， 從而得所求直線方程為。 剖析：上述錯(cuò)解所設(shè)方程為，其中不含橫、縱截距為0的特殊情形，事實(shí)上， 橫、縱截距為0且過(guò)點(diǎn)的直線 也符合條件。 例題4、已知圓的方程為，一定點(diǎn)為，要使過(guò)A點(diǎn)作圓的切線有兩條，求的取值范圍。 錯(cuò)解：將圓的方程

3、配方得： ， ∵其圓心坐標(biāo)為C（－，－1），半徑r ＝。 當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)A可作圓的兩條切線，則 。 即 ＞。即，解得。 剖析：本題的“陷阱”是方程表示圓的充要條件，上述解 法僅由條件得出，即，卻忽視了的另一制約條件 。事實(shí)上，由及可得的取值范圍是 （）。 例題5、已知直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 錯(cuò)解：由，消去得：。 （ * ） ∵ 與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)， ∴ ， 解得－＜b＜ 剖析：上述解法

4、忽視了方程y =中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1這一限制條件， 得出了錯(cuò)誤的結(jié)論。 事實(shí)上，曲線C和直線L有兩個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程（*）有兩個(gè)不等的非負(fù)實(shí)根。 ，解得1≤ b ≤。 例題6、等腰三角形頂點(diǎn)是，底邊的一個(gè)端點(diǎn)是，求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方 程。 錯(cuò)解：設(shè)另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意有： =，即：= ∴ ，即為C點(diǎn)的軌跡方程。 這是以A（4，2）為圓心、以為半徑的圓。 剖析：因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)為三角形三個(gè)頂點(diǎn)，所以A、B、C三點(diǎn)不共線，即B、C不能 重合，且

5、不能為圓A一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，這正是解題后沒(méi)有對(duì)軌跡進(jìn)行檢驗(yàn)，出 現(xiàn)增解，造成的解題錯(cuò)誤。 事實(shí)上，C點(diǎn)的坐標(biāo)須滿足，且， 故端點(diǎn)C的軌跡方程應(yīng)為(。 它表示以（4，2）為圓心，以為半徑的圓，除去（3，5）（5，-1）兩點(diǎn)。 例題7、求的最大值和最小值，使式中滿足約束條件： 錯(cuò)解：作出可行域如圖1所示，過(guò)原點(diǎn)作直線L0：3 x + 5 y = 0 。 由于經(jīng)過(guò)B點(diǎn)且與L0平行的直線與原點(diǎn)的距離最近， 故在B點(diǎn)取得最小值。解方程組， 得B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），∴ 。 由于經(jīng)過(guò)A點(diǎn)且與L0平行的直線與原點(diǎn)的距離最大，

6、 故z = 3x + 5y在A點(diǎn)取得最大值。 解方程組，得A點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。 ∴ 。 剖析：上述解法中，受課本例題的影響，誤認(rèn)為在對(duì)過(guò) 原點(diǎn)的直線L0的平行移動(dòng)中，與原點(diǎn)距離最大的 直線所經(jīng)過(guò)的可行域上的點(diǎn)，即為目標(biāo)函數(shù)Z取 得最大值的點(diǎn)。反之，即為Z取得最小值的點(diǎn)， 并把這一認(rèn)識(shí)移到不同情況中加以應(yīng)用，由此造

7、 成了解題失誤。 事實(shí)上，過(guò)原點(diǎn)作直線L0：3x + 5y = 0，由于使 的區(qū)域?yàn)橹本€L0的 右上方，而使z = 3x + 5y ＜ 0的區(qū)域?yàn)長(zhǎng)0的 左下方。由圖知應(yīng)在A點(diǎn)取得最大值，在C點(diǎn)取得最小值。 解方程組，得C（－2，－1）。 ∴ z最小＝3（－2）＋5（－1）= －11。 例8、已知曲線C：與直線L：僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的范圍。 錯(cuò)解：曲線C：可化為（1），聯(lián)立，得： ，由Δ＝0,得。 剖析：方程（1）與原方程并不等價(jià)，應(yīng)加上。

8、故原方程的對(duì)應(yīng)曲線應(yīng)為橢圓的上半部分。（如 圖），結(jié)合圖形易求得m的范圍為 。 在將方程變形時(shí)應(yīng)時(shí)時(shí)注意范圍的變化，這樣才不 會(huì)出錯(cuò)。 例9、設(shè)雙曲線的漸近線為：，求其離心率。 錯(cuò)解：由雙曲線的漸近線為：，可得：，從而 剖析：由雙曲線的漸近線為是不能確定焦點(diǎn)的位置在x軸上的，當(dāng)焦點(diǎn)的位 置在y軸上時(shí)，，故本題應(yīng)有兩解，即：或。 例10、直線L：與圓O：相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，弦AB 的 中點(diǎn)M的軌跡方程。 錯(cuò)解：易知直線恒過(guò)定點(diǎn)P（5,0），再由，得： ∴，整理得：. 剖析：求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)應(yīng)注意它的完備性與純粹性。本題中注意到點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)，故易求 得軌跡為圓內(nèi)的部分，此時(shí)。