《高考數(shù)學(xué) 考前最后一輪基礎(chǔ)知識(shí)鞏固之第五章 第4課 數(shù)列的應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前最后一輪基礎(chǔ)知識(shí)鞏固之第五章 第4課 數(shù)列的應(yīng)用（8頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4課　數(shù)列的應(yīng)用 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1．能在具體的問題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題。 2．注意基本數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，構(gòu)造思想：已知數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列，轉(zhuǎn)化思想：將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．將正偶數(shù)按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18

2、 20 22 24 第4行 32 30 28 26 … … … … … 則2020在第 251 行 ，第 5 列。 2．圖1，2，3，4分別包含1，5，13和25個(gè)互不重疊的單位正方形，按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第個(gè)圖包含 個(gè)互不重疊的單位正方形. 3．若數(shù)列中，，且對(duì)任意的正整數(shù)、都有，則 . 4．設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)

3、列，則的值為 。 5．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則 。 【范例導(dǎo)析】 例1．一種計(jì)算裝置，有一數(shù)據(jù)入口A和一個(gè)運(yùn)算出口B ，按照某種運(yùn)算程序：①當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時(shí)，從B口得到 ，記為 ；②當(dāng)從A口輸入自然數(shù)時(shí)，在B口得到的結(jié)果是前一個(gè)結(jié)果的倍。 （1）當(dāng)從A口分別輸入自然數(shù)2 ，3 ，4 時(shí)，從B口分別得到什么數(shù)？并求的表達(dá)式； （2）記為數(shù)列的前項(xiàng)的和。當(dāng)從B口得到16112195的倒數(shù)時(shí)，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值. 分析：根據(jù)題意可以知道，所以可以采用迭乘法求出的表達(dá)式， 這樣就可以解決題目中的問題。 解：（1）由題意可知： ∵

4、 ∴ ∴ ∴ （2） ∴ 由得： ∴ 點(diǎn)評(píng)：本題考查了迭乘法求數(shù)列的通項(xiàng)，裂項(xiàng)法求數(shù)列的前項(xiàng)和，更主要的是能從題目的描述中把數(shù)列分離出來，也就是理解題目的含義。 例2．已知正數(shù)組成的兩個(gè)數(shù)列，若是關(guān)于的方程的兩根 （1）求證：為等差數(shù)列； （2）已知分別求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）求數(shù)。 （1）證明：由的兩根得： 是等差數(shù)列 （2）由（1）知 ∴　　　又也符合該式， （3） ① ② ①—②得 . 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的構(gòu)造，數(shù)列的轉(zhuǎn)化思想，乘公比錯(cuò)項(xiàng)相減法求和等。

5、 例3．設(shè)數(shù)列滿足 ，且數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列。 （I）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，說明理由。 解：由題意得： ＝ ； 由已知得公比 （2） ，所以當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。 又， 所以當(dāng)時(shí)， 又， 所以不存在，使。 備用題．已知點(diǎn)和互不相同的點(diǎn)，，，…，，…，滿足，其中分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn). （1）求的值； （2）點(diǎn)，，，…，，…能否共線？證明你的結(jié)論； （3）證明：對(duì)于給定的公差不零的，都能找到唯一的一個(gè)，使得，，，…，，…，都在一個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象上. 解：（1）是線段的中點(diǎn)

6、 又， 且不共線， 由平面向量基本定理，知： (2) 由 設(shè)的公差為，的公比為，則由于，，，…，，…互不相同， 所以，不會(huì)同時(shí)成立； 若，則， ，，，…，，…都在直線上； 若，則為常數(shù)列， ，，，…，，…都在直線上； 若且，，，，…，，…共線 與共線（） 與矛盾， ∴當(dāng)且時(shí)，，，，…，，…不共線. （3）設(shè)都在指數(shù)函數(shù)的圖像上，則 令，則，

7、 于是，有唯一解， 由于，，從而滿足條件“，，，…，，…互不相同”。 ∴當(dāng)對(duì)于給定的，都能找到唯一的一個(gè)， 使得，，，…，，…，都在指數(shù)函數(shù)的圖象上。 【反饋演練】 1．制造某種產(chǎn)品，計(jì)劃經(jīng)過兩年要使成本降低，則平均每年應(yīng)降低成本 。 2．在中，是以為第三項(xiàng)，4為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差，是以為第三項(xiàng)，9為第六項(xiàng)的等比數(shù)列的公比，則這個(gè)三角形是 銳角三角形 。 3．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則 54 。 4．?dāng)?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且是一等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，若該等比數(shù)列的首項(xiàng)為3，則 。 5．設(shè)為等

8、差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，為數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和，則． 6．某人為了觀看2020年奧運(yùn)會(huì)，從2001年起，每年5月10日到銀行存入元定期儲(chǔ)蓄，利率為p且保持不變，并約定每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2020年將所有的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)（元）為。（用式子作答） 7．在數(shù)列中，，記，則使成立的最小正整數(shù) 11 。 8．在等差數(shù)列中，若，則有成立。類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列中，若，則有等式。 9.已知數(shù)列 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求證數(shù)列是等比數(shù)列； （3）求使得的集合. 解：（1）設(shè)數(shù)列，由題意得： 解得： （2

9、）由題意知：， 為首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列 （2）由 10. 為減少市區(qū)的環(huán)境污染，有關(guān)部門決定，從2020年開始停止辦理市區(qū)摩托車入戶手續(xù).此時(shí)該區(qū)域內(nèi)居民摩托車擁有量已達(dá)1.6萬輛.據(jù)測算，每7輛摩托車排放污染物總量等于一輛公交車排放的污染物，而每輛摩托車的運(yùn)送能力是一輛公交車運(yùn)送能力的4%.若從2020年年初起年內(nèi)退役部分摩托車，第一年退役萬輛，以后每年退役的摩托車數(shù)量是上一年的80%，同時(shí)增加公交車的數(shù)量，使新增公交車的運(yùn)送能力等于退役摩托車原有的運(yùn)送能力. （1）求年內(nèi)新增公交車的總量（萬輛）; （2）要求到2020年年初，剩余摩托車與新增公交車排放污染物的總

10、量不超過原有1.6萬輛摩托車排放污染物總量的一半，假定每輛摩托車排放污染物數(shù)量為,問第一年至少退役摩托車多少萬輛？（精確到0.01）. 解：（1）由題意知，第一年退役摩托車萬輛，第二年萬輛，第n年萬輛， 所以，n年共退役摩托車 根據(jù)所給條件得： 因此n年內(nèi)新增公交車的總量為萬輛； （2）由題意，經(jīng)過4年剩余摩托車排放污染物為：， 新增公交車排放的污染物為：， 據(jù)題意 + 則 答： 第一年至少退役摩托車0.38萬輛. 11. 設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，記?nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（）.

11、（1）求、的值及的表達(dá)式； （2）設(shè)，為的前項(xiàng)和，求. 解：（1）由已知易于得到， ； 當(dāng)時(shí)，，可取格點(diǎn)個(gè)；當(dāng)時(shí),，可取格點(diǎn)個(gè) ∴. （2）由題意知: ………① ∴ ………② ∴①—②得 ∴ 12.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，滿足關(guān)系. （1）證明：是等比數(shù)列； （2）在正數(shù)數(shù)列中，設(shè)，求數(shù)列中的最大項(xiàng). 解：（1）證明：∵ ① ∴ ② ②－①，得 ∵ 故數(shù)列{an}是等比數(shù)列 （2）解：據(jù)（Ⅰ）可知 由，得 令 ∵在區(qū)間（0，e）上， ∴在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù). ∴是遞減數(shù)列 又 ∴數(shù)列中的最大項(xiàng)為.