《高考數(shù)學(xué) 考前最后一輪基礎(chǔ)知識(shí)鞏固之第五章 第2課 等差、等比數(shù)列》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前最后一輪基礎(chǔ)知識(shí)鞏固之第五章 第2課 等差、等比數(shù)列（7頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2課　等差、等比數(shù)列 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1． 掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，能運(yùn)用公式解決一些簡單的問題； 2． 理解等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，了解等差、等比數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系； 3． 注意函數(shù)與方程思想方法的運(yùn)用。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首項(xiàng)a1= -2 ，公差d= 3 。 2．一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，則它的第1項(xiàng)是，第2項(xiàng)是 8 。 3．．某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個(gè)分裂為二個(gè)），經(jīng)過3小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可以繁殖成 512 個(gè)。

2、4．設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則。 5．公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a2，a3，a6依次成等比數(shù)列，則公比等于 3 。 【范例導(dǎo)析】 例1．（1）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有 13 項(xiàng)。 （2）設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是 2 。 （3）設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若＝，則＝ 。 解：（1）答案：13 法1：設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng) ∵ ∴ ∴n＝13 法2：設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng) ∵

3、 ∴ ∴ 又 ∴n＝13 （2）答案：2 因?yàn)榍叭?xiàng)和為12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4 又a1·a2·a3＝48， ∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8， 把a(bǔ)1，a3作為方程的兩根且a1＜a3， ∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴選B. （3）答案為。 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用和學(xué)生分析問題、解決問題的能力。 例2．（1）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）證明 分析：（1）借助通過等差數(shù)列的定義求出數(shù)列的公差，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，（2）求

4、和還是要先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求和。 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d， 由 即d=1。 所以即 （II）證明：因?yàn)椋? 所以 點(diǎn)評(píng)：該題通過求通項(xiàng)公式，最終通過通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律。 例3．已知數(shù)列的首項(xiàng)（是常數(shù)，且），（），數(shù)列的首項(xiàng)，（）。 （1）證明：從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列； （2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值； （3）當(dāng)a>0時(shí)，求數(shù)列的最小項(xiàng)。 分析：第（1）問用定義證明，進(jìn)一步第（2）問也可以求出，第（3）問由的不同而要進(jìn)行分類討論。 解：（1）∵ ∴

5、 (n≥2) 由得，，∵，∴ ， 即從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列。 （2） 當(dāng)n≥2時(shí)， ∵是等比數(shù)列, ∴(n≥2)是常數(shù)， ∴3a+4=0，即 。 （3）由（1）知當(dāng)時(shí)，， 所以，所以數(shù)列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，…… 顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng)。 當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為8a-1； 當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a或8a-1； 當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a； 當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為4a或2a+1； 當(dāng)時(shí)，最小項(xiàng)為2a+1。 點(diǎn)評(píng)：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性。 備用題．1．（1）設(shè)｛an｝（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前

6、n項(xiàng)的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ C ） A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6與S7均為Sn的最大值 （2）等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ C ） A.130 B.170 C.210 D.260 解：（1）答案：C； 由S50， 又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0， 由S7>S8，得a8<0，而C選項(xiàng)S9

7、>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0， 由題設(shè)a7=0，a8<0，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。 （2）答案：C 解法一：由題意得方程組， 視m為已知數(shù)，解得， ∴。 解法二：設(shè)前m項(xiàng)的和為b1，第m+1到2m項(xiàng)之和為b2，第2m+1到3m項(xiàng)之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。 于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40?！郻3=b2+d=70+40=110 ∴前3m項(xiàng)之和S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2－S1=70，從而d=a2－a1=40。 于是a3=a2+d=70+40=11

8、0.∴S3=a1+a2+a3=210。 點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可知，對(duì)任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項(xiàng)的和是與m無關(guān)的不變量，在含有某種變化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。 2．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： 分析：涉及等比數(shù)列的前項(xiàng)和問題一定要注意考慮公比是否為1的問題。 證明略。（分公比兩種情況分別利用公式帶入驗(yàn)證即可。） 【反饋演練】 1．已知等差數(shù)列中，，則前10項(xiàng)的和＝ 210 。 2．在等差數(shù)列中，已知?jiǎng)t＝

9、 42 。 3．已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是 3 。 4．如果成等比數(shù)列，則 3 ， -9 。 5．設(shè)、是項(xiàng)數(shù)相同的兩個(gè)等比數(shù)列，為非零常數(shù)，現(xiàn)有如下幾個(gè)數(shù)列，其中必為等比數(shù)列的有 （3） 。 （1） （2） （3） （4） 6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且三點(diǎn)共線（該直線不過點(diǎn)），則等于 100 。 解：由題意得：a1＋a200＝1，故為100。 7．已知正數(shù)等比數(shù)列，若，則公比的取值范圍是。 8．已知a,b,a

10、+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0

11、b32, 已知a2+a4=b3,b2·b4=a3, ∴b3=2a3,a3=b32, 得b3=2b32, ∵b3≠0, ∴b3=,a3=. 由a1=1,a3=，知{an}的公差d=－, ∴S10=10a1+d=－. 由b1=1,b3=, 知{bn}的公比q=或q=－, 12．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d≠0,由{an}中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列a,a,…,a,…為等比數(shù)列，其中b1=1,b2=5,b3=17. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)記Tn=Cb1+Cb2+Cb3+…+Cbn,求. 解：(1)由題意知a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a

12、1+16d)a1d=2d2, ∵d≠0,∴a1=2d,數(shù)列{}的公比q==3, ∴=a1·3n－1 ① 又=a1+(bn－1)d= ② 由①②得a1·3n－1=·a1. ∵a1=2d≠0,∴bn=2·3n－1－1. (2)Tn=Cb1+Cb2+…+Cbn=C (2·30－1)+C·(2·31－1)+…+C(2·3n－1－1) =(C+C·32+…+C·3n)－(C+C+…+C) =［(1+3)n－1］－(2n－1)= ·4n－2n+, 13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范圍； (2)指出S1、S

13、2、…、S12中哪一個(gè)值最大，并說明理由. 解：(1)依題意有： 解之得公差d的取值范圍為－＜d＜－3. (2)解法一：由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk為最大值的條件為：ak≥0且ak+1＜0,即 ∵a3=12, ∴， ∵d＜0, ∴2－＜k≤3－ ∵－＜d＜－3,∴＜－＜4,得5.5＜k＜7. 因?yàn)閗是正整數(shù)，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大. 解法二：由d＜0得a1>a2>…>a12>a13， 因此若在1≤k≤12中有自然數(shù)k,使得ak≥0,且ak+1＜0,則Sk是S1，S2，…，S12中的最大值。

14、又2a7=a1+a13=S13＜0, ∴a7＜0, a7+a6=a1+a12=S12>0, ∴a6≥－a7>0 故在S1，S2，…，S12中S6最大. 解法三：依題意得： 最小時(shí)，Sn最大； ∵－＜d＜－3, ∴6＜(5－)＜6.5. 從而，在正整數(shù)中，當(dāng)n=6時(shí)，［n－ (5－)］2最小，所以S6最大. 點(diǎn)評(píng)：該題的第(1)問通過建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易. 第(2)問難度較高，為求{Sn}中的最大值Sk（1≤k≤12）：思路之一是知道Sk為最大值的充要條件是ak≥0且ak+1＜0；而思路之二則是通過等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解；思路之三是可視Sn為n的二次函數(shù)，借助配方法可求解，它考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計(jì)算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點(diǎn).