《2019-2020年高一數(shù)學(xué)圓的一般方程 新課標(biāo) 人教版2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高一數(shù)學(xué)圓的一般方程 新課標(biāo) 人教版2（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2019-2020年高一數(shù)學(xué)圓的一般方程新課標(biāo)人教版2 學(xué)習(xí)目標(biāo) 主要概念：圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0()。軌跡方程-――是指點(diǎn)動點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式。 教材分析 一、重點(diǎn)難點(diǎn)本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是掌握圓的一般方程，以及用待定系數(shù)法求圓的一般方程，難點(diǎn)是二元二次 方程與圓的一般方程的關(guān)系及求動點(diǎn)的軌跡方程。 二、教材解讀本節(jié)教材的理論知識有問題提出、探索研究、思考交流三個板塊組成。編寫形式上采用了 特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)知方式。 解讀 第一板塊問題提出 方程表示什么圖形？方程x2+y2—2x—4y+6—0表示什么圖形？ 第二板塊探索研究 方程

2、x2+y2+Dx+Ey+F—0 在什么條件下表示圓？ 對給出的方程通過配方，化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，第一個方程為，它表示以(1，-2)為圓心，2為半徑的圓；第二個方程為，由于不存在點(diǎn)的坐標(biāo)滿足這個方程，所以它不表示任何圖形。 配方得(x+D)2+(y+|)2 解讀 (1) 當(dāng)時，方程表示以為圓心，為半徑的圓 (2) 當(dāng)時，方程表示一個點(diǎn) (3) 當(dāng)時，方程不表示任何圖形。 關(guān)于的二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F—0成為圓方程的充要條件是(1)和的系數(shù)相同且不等于0，即A=C0；(2)沒有這樣的二次項，即B=0；(3)。 對于圓的一般方程，要熟練地通過配方

3、法，求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑。 根據(jù)已知條件求圓的方程，仍然采用待定系數(shù)法，但要注意的是待定的方程是設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程還是設(shè)一般方程，這要根據(jù)已知條件而定。 第三板塊思考交流解讀 1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾 程各有什么特點(diǎn)？何特征明顯；圓的一般方程表明圓的方程是一種特殊 2、課本P.129例4解完后，問：的二元二次方程，代數(shù)特征明顯。圓的一般方程與圓與例2的方法比較，你有什么體的標(biāo)準(zhǔn)方程可以相互轉(zhuǎn)化。 會？2、讓學(xué)生通過對同一個類似問題的兩種解法的 比較，一方面加深對解題方法的理解；另一方面促使學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的良好習(xí)慣． 拓展閱讀 設(shè)圓

4、0的圓心在原點(diǎn)，半徑是，圓0與軸的正半軸的交點(diǎn)是(如圖)。設(shè)點(diǎn)在圓0上從開始按逆時針方向運(yùn)動到達(dá)點(diǎn)P,。我們看到，點(diǎn)P的位置與旋轉(zhuǎn)角有密切的關(guān)系。當(dāng)確定時，點(diǎn)P在圓0上的位置也隨著確定；當(dāng)變化時，點(diǎn)P在圓0上的位置也隨著變化。如果點(diǎn)P的坐標(biāo)是，根據(jù)三角函數(shù)的定義，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是的函數(shù)，即 ，① 并且對于的每一個允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)P都在圓0上。 我們把方程組①叫做圓心為原點(diǎn)、半徑為的圓的參數(shù)方程，是參數(shù)。圓心為、半徑為的圓可以看成由圓心為原點(diǎn)0、半徑為的圓按向量平移得到的。容易求得此圓的參數(shù)方程為 ，(為參數(shù))② 相對于圓的參數(shù)方程來說，前面學(xué)過的直接給出圓上點(diǎn)的坐

5、標(biāo)關(guān)系的方程，叫做圓的普通方程。 在圓的有些問題中，借助于圓的參數(shù)方程，能夠使問題變得容易解決。例如：已知實(shí)數(shù)滿足等式，求的最值。 解：設(shè)x=4+3cos0,y=一3+3sin0，貝y =x=4+3cos0-3+3sin0=1+3*2sin(0+=) 4 ?；?的最大值為，最小值為。網(wǎng)站點(diǎn)擊 gag?" 中國教育信息平臺 腋芬唁息時代毅育行業(yè) 冑耆"9 www.gaokaol6B>net 典型例題解析 例1：已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓，求k的取值范圍。點(diǎn)撥由二元二次方程成為圓方程的條件，得到關(guān)于k的不等式。解答方程x2+y2+2kx+4y+

6、3k+8=0表示一個圓， (2k)2+42-4(3k+8)>0,解得 ?當(dāng)時，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓。 總結(jié)在圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，系數(shù)D、E、F必須滿足。 變式題演練 若(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的圖形表示一個圓，則m的值是c 答案：－3 例2：求經(jīng)過三點(diǎn)A(1,—1)、B(1,4)、C(4，-2)的圓的方程。點(diǎn)撥利用圓的一般方程，尋找關(guān)于D、E、F的方程組。 解答設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0， A(1,—1)、B(1,4)、C(4，—2)三點(diǎn)在圓上，代入圓的方程并化簡，得

7、 'D-E+F=-2

8、 ABC夕卜接圓的方程為=0,即x2+y2—4x—4y+6=0。 例3：若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是。 點(diǎn)撥因為的幾何意義是表示原點(diǎn)到點(diǎn)P(x,y)的距離的平方，而點(diǎn)P(x,y)在圓上，故可利用幾何法先求出原點(diǎn)到圓上的點(diǎn)之間的最大距離，然后再求出的最大值。 解答由，得 .?.點(diǎn)P(x,y)在以(一2,1)為圓心，半徑r=3的圓C上, IOC1=丫(°+2)2+(0—1)2’5， ?:原點(diǎn)到圓上的點(diǎn)P(x,y)之間的最大距離為丨OCl+r=+3 ???的最大值為。 總結(jié)反思本題的求解過程可看出：不管點(diǎn)P與圓C的位置關(guān)系怎樣，點(diǎn)P到半徑為r的圓C上的點(diǎn)之間的最大距離恒為lPCl+r。

9、同理可得，點(diǎn)P到半徑為r的圓C上的點(diǎn)之間的最小距離恒為丨lPC|一r|。 變式題演練 已知點(diǎn)和圓C:x2+y2—4x—6y+9=0，一束光線從點(diǎn)經(jīng)過軸反射到圓周的最短路程是 () A、B、C、D、 答案：D 例4：已知一曲線是與兩個定點(diǎn)O(0,0)、A(，0)()距離的比為()的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并判斷曲線的形狀。 點(diǎn)撥利用曲線上的任一點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之比為，尋找動點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)滿足的條件。解答設(shè)M是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到點(diǎn)0、A的距離之比為， .*.，化簡，得 (k2—1)x2+(k2—1)y2—2k2ax+k2a2=0 且〉0,? 2k2ak2a2 ?

10、x2+y2一x+=0 k2—1k2—1 D2+E2—4F= 4k4a2 (k2—1)2 4k2a2 k2—1 4k2a2>0 (k2—1)2 2k2ak2a2 ???所求曲線的方程是x2+y2-Cx+戸=0，它表示一個圓。 總結(jié)|1、由本例可知，圓除了看作是平面內(nèi)動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡外，還可以看作是動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離的比為常數(shù)(常數(shù)不為1)的動點(diǎn)的軌跡。 2、“軌跡”與“軌跡方程”是不同的兩個概念，前者是圖形，要指出形狀、位置、大小(范圍）等特性；后者是方程（等式），不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍。 3、在探求點(diǎn)的軌跡時，可先用信息技術(shù)工具

11、探究軌跡的形狀，對問題有一個直觀的了解，然后再從本質(zhì)上分析軌跡形成的原因，找出解決問題的方法，制訂合理的解題策略。 變式題演練 過圓外一點(diǎn)Q向圓O作割線，交圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB中點(diǎn)M的軌跡。 答案：設(shè)M（x,y）,連0M,則0MAB,???點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)Q為直徑的圓，.?.弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程是=0，即（），?弦AB中點(diǎn)M的軌跡是圓?。ǎ?。 知識結(jié)構(gòu)矢口識點(diǎn)圖表圓的一般方程二元二次方程成為圓方程的條件圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的特點(diǎn) 學(xué)法指導(dǎo)I 1、用待定系數(shù)法求圓方程的大致步驟是：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；（2）根據(jù)條件列出關(guān)于或D、E、F的方程組；（3）解出或

12、D、E、F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。 2、“曲線”和“方程”是動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律在“形”和“數(shù)”方面的反映。在解析幾何的問題中，求動點(diǎn)的軌跡方程是一種常見題型。求動點(diǎn)的軌跡方程的常用方法有： （1）直接法：應(yīng)用解析幾何中公式，根據(jù)已知條件直接列出動點(diǎn)M的兩個坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，從而求得動點(diǎn)的軌跡方程（如例3）。 （2）代入法：已知點(diǎn)P在已知曲線上運(yùn)動，動點(diǎn)M隨著點(diǎn)P的變化而變化，而點(diǎn)P的坐標(biāo)又可設(shè)法用動點(diǎn)M的坐標(biāo)表示，那么為了要得到動點(diǎn)M的軌跡方程，只需把用M的坐標(biāo)所表示的P點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的曲線方程中，即可求出動點(diǎn)M的軌跡方程（如課本P.129例5）。 （3）定義法：先根據(jù)已知條件判斷動點(diǎn)

13、的軌跡所表示的曲線的類型，再利用已知曲線的方程求出所求動點(diǎn)的軌跡方程。如變式題演練3,因M為圓O的弦AB的中點(diǎn)，故OMAB，因此點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)Q為直徑的圓。 （4）參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)M的兩個坐標(biāo)之間的等量關(guān)系不易直接得到時，可先引進(jìn)一個中間變量（參數(shù)）分別表示動點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，間接地把動點(diǎn)M的兩個坐標(biāo)聯(lián)系起來，然后消去參數(shù)，求得動點(diǎn)M的軌跡方程。例如：過定點(diǎn)P引動直線分別交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程。此題中的動點(diǎn)M是隨著的變化而變化，而又過定點(diǎn)P,故的變化實(shí)質(zhì)是由斜率的變化而引起的，所以可引進(jìn)斜率作為參數(shù)，用表示出A、B的坐標(biāo)，由此用表示出M的坐標(biāo),消去參數(shù)即可得動點(diǎn)M的軌

14、跡方程。答案:。 求動點(diǎn)的軌跡方程時，要做到滿足曲線方程的兩個要求，防止遺留和多余。 2019-2020年高一數(shù)學(xué)圓的一般方程二新課標(biāo)人教 三維目標(biāo)： 知識與技能：（1）在掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特 征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件. （2）能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．能用待定系數(shù)法求圓的方程。 （3）:培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力。 過程與方法：通過對方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力。 情感態(tài)度價值

15、觀：滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索。 教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F. 教學(xué)難點(diǎn)：對圓的一般方程的認(rèn)識、掌握和運(yùn)用 教具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程： 課題引入： 問題：求過三點(diǎn)A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程。利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。 探索研究： 請同學(xué)們寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （x—

16、a）2+（y—b）2=r，圓心（a,b）,半徑r. 把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，并整理： x2＋y2—2ax—2by＋a2＋b2—r2=0. 取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2一r2得 x2+y2+Dx+Ey+F=0① 這個方程是圓的方程. 反過來給出一個形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎? 把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得 D、E、D2+E2—4F （X+y）2+（y+y）2=4②（配方過程由學(xué)生去完成）這個方程是不是 表示圓? （1）當(dāng)D2+E2—4F>0時，方程②表示（1）當(dāng)時，表示以（-，-）為圓心，為半徑的圓； （2）當(dāng)時，方

17、程只有實(shí)數(shù)解，，即只表示一個點(diǎn)（-，-）; （3）當(dāng)時，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形 綜上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F二0表示的曲線不一定是圓 只有當(dāng)時，它表示的曲線才是圓，我們把形如 x2+y2+Dx+Ey+F二0的表示圓的方程稱為圓的一般方程 我們來看圓的一般方程的特點(diǎn)：（啟發(fā)學(xué)生歸納） （1）①X2和y的系數(shù)相同，不等于0. ②沒有xy這樣的二次項. （2）圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了. （3）、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾

18、何特征較明顯。 知識應(yīng)用與解題研究： 例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。 （1）4x2+4y2一4x+12y+9=0 （2）4x2+4y2一4x+12y+11=0 學(xué)生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式。②、運(yùn)用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于（1）4x2+4y2-4x+12y+9=0來說，這里的 9 D=-1,E=3,F=-而不是D=-4,E=12,F=9. 4 例2：求過三點(diǎn)A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標(biāo)。 分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)

19、方程，而圓的一般方程則需確定三個系數(shù)，而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo)，不妨試著先寫出圓的一般方程 解：設(shè)所求的圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ???在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解?把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于的三元一次方程組， 'F=0 即

20、關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組； 解出a、b、r或D、E、F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。 例3、已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。 分析：如圖點(diǎn)A運(yùn)動引起點(diǎn)M運(yùn)動,而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動,點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程。建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件，求出點(diǎn)M的軌跡方程。 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x,y）,點(diǎn)A的坐標(biāo)是 （x,y）.由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4,3）且M是線段AB的重點(diǎn)，所以00 x+4y+3 x—-0,y——0, 22① 于是有x=2x一4,y=2y一3 00 上運(yùn)動，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程,即 ② 把①代入②，得 (2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理，得 X—— 2丿 +y-_ V2丿 所以，點(diǎn)M的軌跡是以品為圓心半徑長為1的圓 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)第1、2、3題小結(jié)： 1.對方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的討論（什么時候可以表示圓） 2．與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化 3. 用待定系數(shù)法求圓的方程 4. 求與圓有關(guān)的點(diǎn)的軌跡。課后作業(yè)：習(xí)題4.1第2、3、6題