《數(shù)學 第二部分 綜合強化 八 二次函數(shù)的綜合探究(壓軸題) 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數(shù)學 第二部分 綜合強化 八 二次函數(shù)的綜合探究(壓軸題) 新人教版（45頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、專題綜合強化專題綜合強化第二部分第二部分 專題八二次函數(shù)的綜合探究專題八二次函數(shù)的綜合探究( (壓軸題壓軸題) )特征與方法：特征與方法：拋物線中特殊圖形的存在性問題主要包括特殊三角形和特殊四邊拋物線中特殊圖形的存在性問題主要包括特殊三角形和特殊四邊形存在性的探究，解決此類問題可按照找點形存在性的探究，解決此類問題可按照找點求點求點代點的步驟進行分析思考，首先代點的步驟進行分析思考，首先找到圖形中關鍵點，如頂點、中點等等，再把這些點求出或用拋物線的解析式表示找到圖形中關鍵點，如頂點、中點等等，再把這些點求出或用拋物線的解析式表示出來，最后把點的坐標轉化為線段的長度，根據(jù)幾何圖形的性質代入得方程

2、出來，最后把點的坐標轉化為線段的長度，根據(jù)幾何圖形的性質代入得方程(組組)，如，如果求出的解滿足題意，結果就存在，否則，就不存在果求出的解滿足題意，結果就存在，否則，就不存在重點類型重點類型 突破突破二次函數(shù)與特殊圖形的存在性探究二次函數(shù)與特殊圖形的存在性探究1【思路點撥】【思路點撥】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，配方法求函數(shù)的頂點坐本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，配方法求函數(shù)的頂點坐標，平行四邊形的性質，菱形的判定標，平行四邊形的性質，菱形的判定. (1)根據(jù)對稱軸、根據(jù)對稱軸、A、B點的坐標，可得方程，點的坐標，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；根據(jù)解方程，可得答案；(2)根據(jù)平行四邊形的

3、面積公式，可得函數(shù)解析式；根據(jù)平行四邊形的面積公式，可得函數(shù)解析式；(3)根據(jù)根據(jù)函數(shù)值，可得函數(shù)值，可得E點坐標，根據(jù)菱形的判定，可得答案點坐標，根據(jù)菱形的判定，可得答案234如圖，拋物線如圖，拋物線 yax2bx3經過經過A(1,0)、B(4,0)兩點兩點(1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；(2)如圖如圖1，在拋物線的對稱軸上是否存在點，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得四邊形，使得四邊形PAOC的周長最小？的周長最??？若存在，求出四邊形若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在，請說明理由；周長的最小值；若不存在，請說明理由；(3)如圖如圖2，點，點Q是線段是線段OB上一動

4、點，連接上一動點，連接BC，在線段，在線段BC上是否存在點上是否存在點M，使，使CQM為等腰三角形且為等腰三角形且BQM為直角三角形？若存在，求點為直角三角形？若存在，求點M的坐標的坐標【考查內容【考查內容】二次函數(shù)的綜合探究，相似三角二次函數(shù)的綜合探究，相似三角形的判定與性質，周長最值問題，等腰三角形與直形的判定與性質，周長最值問題，等腰三角形與直角三角形的判定角三角形的判定5678910特征與方法：特征與方法：拋物線中的規(guī)律探究性問題通常在題中字母的下標出現(xiàn)字母拋物線中的規(guī)律探究性問題通常在題中字母的下標出現(xiàn)字母n或年或年份，題目新穎，考查的知識點較多，有很濃的初高中銜接的味道，成為了江西

5、省中份，題目新穎，考查的知識點較多，有很濃的初高中銜接的味道，成為了江西省中考數(shù)學試題的一道主菜解決此類問題應遵循從特殊到一般的思維方法，也就是從考數(shù)學試題的一道主菜解決此類問題應遵循從特殊到一般的思維方法，也就是從簡單情況出發(fā)探究拋物線上關鍵點滿足的規(guī)律，然后歸納出一般情況簡單情況出發(fā)探究拋物線上關鍵點滿足的規(guī)律，然后歸納出一般情況二次函數(shù)與規(guī)律探究性問題二次函數(shù)與規(guī)律探究性問題11【例【例2】(2017原創(chuàng)原創(chuàng))在平面直角坐標系中，有一組有規(guī)律的點：在平面直角坐標系中，有一組有規(guī)律的點：A1(0,1)、A2(1,0)、A3(2,1)、A4(3,0)、A5(4,1).依此規(guī)律可知，依此規(guī)律可

6、知，當當n為奇數(shù)時，有點為奇數(shù)時，有點An (n1,1)，當，當n為偶數(shù)時，有點為偶數(shù)時，有點An(n1,0)拋物線拋物線C1經過經過A1，A2，A3三點，拋物線三點，拋物線C2經過經過A2，A3，A4三點，拋物線三點，拋物線C3經過經過A3，A4，A5三點，三點，拋物線拋物線Cn經過經過An，An1，An2.(1)直接寫出拋物線直接寫出拋物線Cn的解析式；的解析式；(2)若點若點E(e，f1)、F(e，f2)分別在拋物線分別在拋物線C27、C28上，當上，當e29時，請判斷時，請判斷A26EF是什么形狀的三角形并說明理由；是什么形狀的三角形并說明理由；(3)若直線若直線xm分別交分別交x軸、

7、拋物線軸、拋物線C2 017、C2 018于點于點P、M、N，作直線，作直線A2 018 M、A2 018 N，當，當PA2 018M45時，求時，求sinPA2 018N的值的值12【思路點撥】【思路點撥】本題考查頂點式求拋物線的解析式，勾股定理，銳角三角函數(shù)本題考查頂點式求拋物線的解析式，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識和分類討論思想、從特殊到一般的歸納思想等知識和分類討論思想、從特殊到一般的歸納思想(1)先在備用圖上畫出根據(jù)頂點先在備用圖上畫出根據(jù)頂點式式C1，C2，C3，C4的圖象，再根據(jù)頂點式求出它們的解析式，然后分的圖象，再根據(jù)頂點式求出它們的解析式，然后分n為奇數(shù)和偶數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)分

8、別寫出分別寫出Cn的解析式；的解析式；(2)由由(1)的規(guī)律可知拋物線的規(guī)律可知拋物線C27、C28的解析式應為的解析式應為y27(x27)2, y28(x28)21.則得到點則得到點E(29,4)、F(29,0)、A26(25,0)，根據(jù)坐標求出角度和線段，根據(jù)坐標求出角度和線段的長度可得的長度可得A26EF是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(3)分兩種情況：在點分兩種情況：在點A2 018(2 017,0)的左側的左側或右側，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到或右側，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到sinPA2 018N的值的值13【解答【解答】(1)根據(jù)頂點式容易求出根據(jù)頂點式容易求出C1，C2，C

9、3，C4的解析式分別為：的解析式分別為：y1(x1)2y3(x3)2y2(x2)21y4(x4)21由特殊出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)這組拋物線解析式的特點：由特殊出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)這組拋物線解析式的特點：當當n為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，yn(xn)2；當當n為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，yn(xn)21；14(2)A26EF是等腰直角三角形如圖是等腰直角三角形如圖1，由一般到特殊，可得拋物線由一般到特殊，可得拋物線C27的解析式為：的解析式為：y27(x27)2，且過點，且過點A27，A28，A29 ，拋物線，拋物線C28的解析式為：的解析式為：y28(x28)21.且過點且過點A28，A29，A30，點點E(e，f1)、F

10、(e，f2)分別在拋物線分別在拋物線C27、C28上，上，e29，f1(2927)24，f2(2928)210，點點E(e，f1)、F(e，f2)坐標分別為坐標分別為E(29,4)、F(29,0)；A26的坐標是的坐標是(25,0)，點，點F(29,0)與點與點A30重合，重合，A26A3029254，EF4，且與，且與y軸平行，軸平行，EF A2690，A26EF是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；1516如圖，拋物線如圖，拋物線yax22ax(a0)位于位于x軸上方的圖象記為軸上方的圖象記為F1 ，它與，它與x軸交于軸交于P1 、O兩點，圖象兩點，圖象F2與與F1關于原點關于原點O對稱，對

11、稱， F2與與x軸的另一個交點為軸的另一個交點為P2 ，將，將F1與與F2同時沿同時沿x軸向右平移軸向右平移P1P2的長度即可得的長度即可得F3與與F4 ；再將；再將F3與與F4 同時沿同時沿x軸向右平移軸向右平移P1P2的長度即的長度即可得可得F5與與F6 ; 按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象F1 ，F(xiàn)2， ，F(xiàn)n ，我們把這組圖象稱為，我們把這組圖象稱為“波浪拋物線波浪拋物線”17(1)當當a1時，時， 求圖象求圖象F1的頂點坐標；的頂點坐標；點點H(2 017 , 3)_ (填填“在在”或或“不在不在”)該該“波浪拋物線波浪拋物線”上；

12、若圖象上；若圖象Fn 的頂點的頂點Tn的橫坐標為的橫坐標為201，則圖象，則圖象Fn 對應的解析式為對應的解析式為_，其自，其自變量變量x的取值范圍為的取值范圍為_.(2) 設圖象設圖象Fm、Fm1的頂點分別為的頂點分別為Tm 、Tm1(m為正整數(shù)為正整數(shù))，x軸上一點軸上一點Q的的坐標為坐標為(12 ,0)試探究：當試探究：當a為何值時，以為何值時，以O、Tm 、Tm1、Q四點為頂點的四邊形為四點為頂點的四邊形為矩形？并直接寫出此時矩形？并直接寫出此時m的值的值【考查內容【考查內容】二次函數(shù)的綜合探究，規(guī)律性問題，矩形的判定與性質二次函數(shù)的綜合探究，規(guī)律性問題，矩形的判定與性質不在不在y(x

13、201)21200 x20218【解析【解析】(1)當當a1時，時，yx22x(x1)21，F(xiàn)1的頂點是的頂點是(1,1)；由由知：知：“波浪拋物線波浪拋物線”的的y值的取值范圍是值的取值范圍是1y1，點點H(2 017，3)不在不在“波浪拋物線波浪拋物線”上；上；由平移知：由平移知：F2：y(x1)21，F(xiàn)3：y(x3)21，F(xiàn)n的頂點橫坐標是的頂點橫坐標是201，F(xiàn)n的解析式是：的解析式是：y(x201)21，此時圖象與此時圖象與x軸的兩個交點坐標是軸的兩個交點坐標是(200,0)、(202,0)，200 x202；1920特征與方法：特征與方法：拋物線中的幾何變換問題主要包括拋物線的平移

14、、旋轉、軸對拋物線中的幾何變換問題主要包括拋物線的平移、旋轉、軸對稱、中心對稱及位似變換，解決此類問題先弄清變換前后拋物線上關鍵點的坐標發(fā)稱、中心對稱及位似變換，解決此類問題先弄清變換前后拋物線上關鍵點的坐標發(fā)生了什么變化，再按照找點生了什么變化，再按照找點求點求點代點的步驟進行分析思考，把這些點求出或用拋代點的步驟進行分析思考，把這些點求出或用拋物線的解析式表示出來，最后把點的坐標轉化為線段的長度，根據(jù)圖形的性質得方物線的解析式表示出來，最后把點的坐標轉化為線段的長度，根據(jù)圖形的性質得方程程(組組)，從而解決問題，從而解決問題二次函數(shù)與幾何變換的綜合探究二次函數(shù)與幾何變換的綜合探究2122【

15、思路點撥】【思路點撥】本題考查二次函數(shù)的綜合探究，圖形的旋轉，等腰直角三角形本題考查二次函數(shù)的綜合探究，圖形的旋轉，等腰直角三角形的判定，解直角三角形等的判定，解直角三角形等(1)先確定出點先確定出點A的坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物線解的坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；析式；(2)由由BDP為等腰直角三角形，判斷出為等腰直角三角形，判斷出BDPD，建立，建立m的方程計算出的方程計算出m，從，從而求出而求出PD；(3)分點分點P落在落在x軸和軸和y軸兩種情況計算即可軸兩種情況計算即可2324252627(2016吉安九校聯(lián)考吉安九校聯(lián)考)已知拋物線已知拋物線C1 yax24ax4ab(a0

16、，b0)的頂點為的頂點為M，經過原點，經過原點O且與且與x軸另一交點為軸另一交點為A(1)求點求點A的坐標；的坐標；(2)若若AMO為等腰直角三角形，求拋物線為等腰直角三角形，求拋物線C1的解析式；的解析式；(3)現(xiàn)將拋物線現(xiàn)將拋物線C1繞著點繞著點P(m,0)旋轉旋轉180后得到拋物線后得到拋物線C2，若拋物線，若拋物線C2的頂點為的頂點為N，當，當b1，且頂點，且頂點N在拋物線在拋物線C1上時，求上時，求m的值的值【考查內容【考查內容】二次函數(shù)的綜合探究，旋轉的性質，等腰直角三角形的性質二次函數(shù)的綜合探究，旋轉的性質，等腰直角三角形的性質28【解析【解析】(1)拋物線拋物線C1：yax24

17、ax4ab(a0，b0)經過原點經過原點O，04ab，當當ax24ax4ab0時，則時，則ax24ax0，解得：，解得：x0或或4，拋物線與拋物線與x軸另一交點軸另一交點A坐標是坐標是(4,0)；(2)拋物線拋物線C1：yax24ax4aba(x2)2b(a0，b0)，(如圖如圖1)2930特征與方法：特征與方法：多條拋物線中的探究問題是前多條拋物線中的探究問題是前3種類型的再綜合，有的是一條拋物種類型的再綜合，有的是一條拋物線經過幾何變換得到一組拋物線，有的是隨著題中線經過幾何變換得到一組拋物線，有的是隨著題中n的變化得到一組拋物線，再去探的變化得到一組拋物線，再去探究其中的幾何圖形的性質解

18、決此類問題要善于綜合應用前面的方法，將復雜問題究其中的幾何圖形的性質解決此類問題要善于綜合應用前面的方法，將復雜問題轉化為簡單問題轉化為簡單問題多條拋物線中的探究問題多條拋物線中的探究問題31【例【例4】(2013江西江西)已知拋物線已知拋物線yn(xan)2an(n為正整數(shù)，且為正整數(shù)，且0a1a2an)與與x軸的交點為軸的交點為An1(bn1,0)和和An(bn,0)，當，當n1時，第時，第1條拋物線條拋物線y1(xa1)2a1與與x軸的交點為軸的交點為A0(0,0)和和A1(b1,0)，其他依此類推，其他依此類推(1)求求a1，b1的值及拋物線的值及拋物線y2的解析式；的解析式；(2)拋

19、物線拋物線y3的頂點坐標為的頂點坐標為(_，_)；依此類推第；依此類推第n條拋物線條拋物線yn的頂點坐標為的頂點坐標為(_，_)；所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關系式是；所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關系式是_；99n2n2yx32(3)探究下列結論：探究下列結論：若用若用An1An表示第表示第n條拋物線被條拋物線被x軸截得的線段長，軸截得的線段長，直接寫出直接寫出A0A1的值，并求出的值，并求出An1An；是否存在經過點是否存在經過點A(2,0)的直線和所有拋物線都相交，的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得的線段的長度都相等？若存在，直接且被每一條拋物線截得的線段的長度都相等？若存

20、在，直接寫出直線的表達式；若不存在，請說明理由寫出直線的表達式；若不存在，請說明理由【思路點撥】【思路點撥】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，頂點坐標，拋物線與本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，頂點坐標，拋物線與x軸的交點坐標、待定系數(shù)法，一次函數(shù)，解一元二次方程，根與系數(shù)關系，勾股定軸的交點坐標、待定系數(shù)法，一次函數(shù)，解一元二次方程，根與系數(shù)關系，勾股定理等知識點理等知識點(1)因為點因為點A0(0,0)在拋物線在拋物線y1(xa1)2a1上，可求得上，可求得a11，則，則y1(x1)21；令；令y10，求得，求得A1(2,0)，b12；33再由點再由點A1(2,0)在拋物線在拋物線y2

21、(xa2)2a2上，求得上，求得a24，y2(x4)24.(2)求得求得y1的頂點坐標的頂點坐標(1,1)，y2的頂點坐標的頂點坐標(4,4)，y3的頂點坐標的頂點坐標(9,9)，依此類推，依此類推，yn的頂點坐標的頂點坐標為為(n2，n2)因為所有拋物線頂點的橫坐標等于縱坐標，所以頂點坐標滿足的函數(shù)關因為所有拋物線頂點的橫坐標等于縱坐標，所以頂點坐標滿足的函數(shù)關系式是：系式是：yx；(3)由由A0(0,0)，A1(2,0)，求得，求得A0A12；yn(xn2)2n2，令，令yn0，求得，求得An1(n2n,0)，An(n2n,0)，所以，所以An1An(n2n)(n2n)2n；設直設直線解析

22、式為：線解析式為：ykx2k，設直線，設直線ykx2k與拋物線與拋物線yn(xn2)2n2交于交于E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)兩點，聯(lián)立兩式得一元二次方程，得到兩點，聯(lián)立兩式得一元二次方程，得到x1x22n2k，x1x2n4n22k.然后作輔助線，構造直角三角形，求出然后作輔助線，構造直角三角形，求出EF2的表述式為：的表述式為：EF2(k21)4n2(1k)k28k，可見當，可見當k1時，時，EF29為定值所以滿足條件的直線為：為定值所以滿足條件的直線為：yx2.34【解答【解答】(1)當當n1時，第時，第1條拋物線條拋物線y1(xa1)2a1與與x軸的交點為軸的交點為A0(0,0)，

23、0(0a1)2a1，解得，解得a11或或a10.由已知由已知a10，a11，y1(x1)21.令令y10，即，即(x1)210，解得，解得x0或或x2，A1(2,0)，b12.由題意，當由題意，當n2時，第時，第2條拋物線條拋物線y2(xa2)2a2經過點經過點A1(2,0)，0(2a2)2a2，解得，解得a21或或a24，a11，且已知，且已知a2a1，a24，y2(x4)24.a11，b12，y2(x4)24；35(2)拋物線拋物線y2(x4)24，令，令y20，即，即(x4)240，解得，解得x2或或x6.A1(2,0)，A2(6,0)由題意，當由題意，當n3時，第時，第3條拋物線條拋物

24、線y3(xa3)2a3經過經過點點A2(6,0)，0(6a3)2a3，解得，解得a34或或a39.a24，且已知且已知a3a2，a39，y3(x9)29.y3的頂點坐標為的頂點坐標為(9,9)由由y1的頂點坐標的頂點坐標(1,1)，y2的頂點坐標的頂點坐標(4,4)，y3的頂點的頂點坐標坐標(9,9)，依此類推，依此類推，yn的頂點坐標為的頂點坐標為(n2，n2)所有拋物線頂點的橫坐標等于縱坐標，所有拋物線頂點的橫坐標等于縱坐標，頂點坐頂點坐標滿足的函數(shù)關系式是：標滿足的函數(shù)關系式是：yx.363738(2016江西模擬江西模擬)已知，如圖，將拋物線已知，如圖，將拋物線y1(x1)21，y2(

25、x2)22，y3(x3)23，yn(xn)2n(n為正整數(shù)為正整數(shù))稱為稱為“系列拋物線系列拋物線”，其分別與，其分別與x軸交于點軸交于點O，A，B，C，E，F(xiàn)，.(1)拋物線拋物線y1的頂點坐標為的頂點坐標為_；該該“系列拋物線系列拋物線”的頂點在的頂點在_上；上；yn(xn)2n與與x軸的兩交點之間的距離是軸的兩交點之間的距離是_.(2)是否存在整數(shù)是否存在整數(shù)n，使以，使以yn(xn)2n的頂點及該拋物線的頂點及該拋物線與與x軸兩交點為頂點的三角形是等邊三角形？軸兩交點為頂點的三角形是等邊三角形？(1,1)直線直線yx39(3)以以yn(xn)2n的頂點的頂點P為一個頂點作該二次函數(shù)圖象的內接等邊為一個頂點作該二次函數(shù)圖象的內接等邊PMN(M，N兩點在該二次函數(shù)的圖象上兩點在該二次函數(shù)的圖象上)，請問：，請問：PMN的面積是否會隨著的面積是否會隨著n的變的變化而變化？若不會，請求出化而變化？若不會，請求出這個等邊三角形的面積；若會，請說明理由這個等邊三角形的面積；若會，請說明理由【考查內容【考查內容】二次函數(shù)的綜合探究，多條拋物線問題，等邊三角形的判定與性二次函數(shù)的綜合探究，多條拋物線問題，等邊三角形的判定與性質質40414243