《數(shù)學(xué) 第二部分題型八 二次函數(shù)綜合題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué) 第二部分題型八 二次函數(shù)綜合題（118頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、題型八題型八 二次函數(shù)綜合題二次函數(shù)綜合題類型一類型一 與線段、周長有關(guān)的問題與線段、周長有關(guān)的問題類型二類型二 與面積有關(guān)的問題與面積有關(guān)的問題類型三類型三 與特殊三角形有關(guān)的問題與特殊三角形有關(guān)的問題類型四類型四 與特殊四邊形有關(guān)的問題與特殊四邊形有關(guān)的問題類型一類型一 與線段、周長有關(guān)的問題與線段、周長有關(guān)的問題典例精講例 1 如圖，拋物線如圖，拋物線yax2bxc(a0)與與x軸交于軸交于點(diǎn)點(diǎn)A、B(1，0 0)，與，與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C，直線，直線y x2經(jīng)過經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)A、C.拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為D，對稱軸，對稱軸為直線為直線l.(1)求拋物線的解析式求拋物線的解析式及頂點(diǎn)及

2、頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；12【思維教練】已知直線【思維教練】已知直線y x2 2經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A、C，結(jié)結(jié)合題干，可求得合題干，可求得A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合B(1，0)，代代入即可求出拋物線解析式，將拋物線解析式配方成入即可求出拋物線解析式，將拋物線解析式配方成頂點(diǎn)式，即可求得頂點(diǎn)頂點(diǎn)式，即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)的坐標(biāo)12解解：(1)(1)對于直線對于直線 y x2，令令y0，得得x4，令令x0得得y2，點(diǎn)點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)點(diǎn)C(0，2)，已知點(diǎn)已知點(diǎn)B(1，0)，將將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物 線線的解析式得：的解析式得： 解解得得1216400,2abcabcc

3、 1= -25=,2= -2abc拋物線的解析式為拋物線的解析式為y x2 x2.又由拋物線又由拋物線y x2 x2得得：y (x25x)2 (x )2 ，拋物線頂點(diǎn)拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， )12521252121252985298(2)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)E為為x軸上一點(diǎn)，且軸上一點(diǎn)，且AECE，求點(diǎn)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；【思維教練】已知點(diǎn)【思維教練】已知點(diǎn)E在在x軸上，則設(shè)軸上，則設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(e，0)，要求點(diǎn)要求點(diǎn)E的坐標(biāo)，已知的坐標(biāo)，已知AECE，需先分別用含需先分別用含e的式子表示出的式子表示出AE和和CE，由于由于A點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)(1)(1)中已求得，中已求得，則則EA4e

4、，由題圖可知由題圖可知O、E、C三點(diǎn)可構(gòu)成三點(diǎn)可構(gòu)成RtCOE，結(jié)合結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理即可表示出出CE的長，建立方程求解即可的長，建立方程求解即可(2)如解圖如解圖，由點(diǎn)，由點(diǎn)E在在x軸上，可設(shè)點(diǎn)軸上，可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(e，0)，連接連接CE，則則EA4e.在在RtCOE中，根據(jù)勾股定理得中，根據(jù)勾股定理得CE2OC2OE222e2，AECE，(4e)222e2，解得解得e ，則點(diǎn)則點(diǎn)E的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ，0)3232例例1 1題解圖題解圖(3)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)G是是y軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G，使得，使得GDGB的值最小，若存在，求出點(diǎn)的

5、值最小，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；請說明理由；【思維教練】要求【思維教練】要求GDGB的值最小，解決方法為找的值最小，解決方法為找其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)，將兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段求解，其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)，將兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段求解，即先找點(diǎn)即先找點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)軸的對稱點(diǎn)B，再連接再連接BD，則則BD與與y軸的交點(diǎn)即為所求的軸的交點(diǎn)即為所求的G點(diǎn)，可先求直線點(diǎn)，可先求直線BD的解析的解析式，再求其與式，再求其與y軸的交點(diǎn)即可軸的交點(diǎn)即可(3)存在如解圖存在如解圖，取點(diǎn)，取點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)軸的對稱點(diǎn)B，則則點(diǎn)點(diǎn)B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (1 1，0)0

6、)連接連接BD，直線直線BD與與y軸的軸的交點(diǎn)交點(diǎn)G即為所求的點(diǎn)即為所求的點(diǎn)設(shè)直線設(shè)直線BD 的解析式為的解析式為ykxd(k0)，其中其中D( ， )， 解得解得0,5928kdkd 928.928kd5298例例1 1題解圖題解圖直線直線BD的解析式為的解析式為y x ，令令x0，得得y ，點(diǎn)點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0， )928928928928(4)在直線在直線l上是否存在一點(diǎn)上是否存在一點(diǎn)F，使，使得得BCF的周長最小，若存在，求的周長最小，若存在，求出點(diǎn)出點(diǎn)F的坐標(biāo)及的坐標(biāo)及BCF周長的最小周長的最小值；若不存在，請說明理由；值；若不存在，請說明理由；【思維教練】因為【思維教練】因為

7、BC的長為定值，要使的長為定值，要使BCF的周長最的周長最小，即要使小，即要使CFBF的值最小，由點(diǎn)的值最小，由點(diǎn)A，B關(guān)于直線關(guān)于直線l對稱，對稱，可知可知AC與與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，即可得即可得CFBF最小最小(4)存在要使存在要使BCF的周長最小，即的周長最小，即BCBFCF最小，在最小，在RtOBC中中，OB1，OC2，由勾股定理由勾股定理得得BC 為定值為定值，當(dāng)當(dāng)BFCF最小時最小時，CBCF最小最小點(diǎn)點(diǎn)B與點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線關(guān)于直線l對稱對稱，AC與對稱軸與對稱軸l l的交點(diǎn)即為所的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)求的點(diǎn)F，如解圖如解圖所示所示22125例例1 1題解圖題解圖根據(jù)拋物線解

8、析式可得對稱軸根據(jù)拋物線解析式可得對稱軸l為直線為直線 x . 將將x 代入直線代入直線 y x2，得得 ，點(diǎn)點(diǎn)F的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， )在在RtAOC中中，AO4，OC2，根據(jù)勾股定理得根據(jù)勾股定理得 AC2 ，BCF周長的最小值為周長的最小值為BCAC .5252121532224y 5234552 53 5(5)在在y軸上是否存在一點(diǎn)軸上是否存在一點(diǎn)S，使得，使得SDSB的值最大，的值最大，若存在，求出點(diǎn)若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【思維教練】要使【思維教練】要使SDSB的值最大，則需分兩種情的值最大，則需分兩種情況討論：況討論：S、B、

9、D三點(diǎn)不共線時構(gòu)成三角形，由三點(diǎn)不共線時構(gòu)成三角形，由三角形三邊關(guān)系得到三角形三邊關(guān)系得到SDSBBD；當(dāng)三點(diǎn)共線時，當(dāng)三點(diǎn)共線時，有有SDSBBD.從而得到當(dāng)點(diǎn)從而得到當(dāng)點(diǎn)S在在DB的延長線上時的延長線上時滿足條件，求出直線滿足條件，求出直線BD的解析式后，求出直線的解析式后，求出直線BD與與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可(5)存在當(dāng)存在當(dāng)S與與D、B不在同一條直線上時，由三角不在同一條直線上時，由三角形三邊關(guān)系得形三邊關(guān)系得SDSBBD，當(dāng)當(dāng)S與與D、B在同一條直線上時，在同一條直線上時，SDSBBD，SDSBBD，即當(dāng)即當(dāng)S在在DB的延長線上時，的延長線上時，SDSB最大，最大值為最

10、大，最大值為BD.如解圖如解圖，例例1 1題解圖題解圖B(1，0)，D( ， )，易得直線易得直線BD的解析式為的解析式為y x ，當(dāng)當(dāng)x0時時，y ，即當(dāng)點(diǎn)即當(dāng)點(diǎn)S的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0， )時時，SDSB的值最大的值最大529834343434(6)若點(diǎn)若點(diǎn)H是拋物線上位于是拋物線上位于AC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)H作作y軸的平行線，交軸的平行線，交AC于點(diǎn)于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為h，線段線段HKd.求求d關(guān)于關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式；求求d的最大值及此時的最大值及此時H點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)【思維教練】由題可得點(diǎn)【思維教練】由題可得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為h，分分

11、別將別將h代入拋物線及直線代入拋物線及直線AC的解析式中，即可得的解析式中，即可得到點(diǎn)到點(diǎn)H、K的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)H在點(diǎn)在點(diǎn)K的上方，表的上方，表示出示出HK，可得到可得到d關(guān)于關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式；利用二利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可得次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可得d的最大值的最大值(6)如解圖如解圖，點(diǎn)點(diǎn)H在拋物線上在拋物線上，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(h， )，HKy軸軸，交交AC于于K， 點(diǎn)點(diǎn)K的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(h， )，點(diǎn)點(diǎn)H在點(diǎn)在點(diǎn)K的上方，的上方，HK=215222hh122h215(2)22dhh 211(2)222hhh 例例1 1題解圖題解圖由由可知

12、，可知，當(dāng)當(dāng)h2時時，d最大最大，024，符合題意符合題意，當(dāng)當(dāng)h2時時，d最大，最大值為最大，最大值為2，此時點(diǎn)此時點(diǎn)H的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為(2，1)2221112(4 )(2)2222dhhhhh 線段線段、周長最值問題有兩種形式：、周長最值問題有兩種形式：1平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問題，常常通過線段兩端平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問題，常常通過線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)差表示線段長的函數(shù)關(guān)系式，點(diǎn)的坐標(biāo)差表示線段長的函數(shù)關(guān)系式， 然后運(yùn)用二次函數(shù)性然后運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求最值解決這類問題的關(guān)鍵是：質(zhì)求最值解決這類問題的關(guān)鍵是：(1)確定線段的函數(shù)關(guān)系確定線段的函數(shù)關(guān)系式，注意當(dāng)線段平行于式，注意當(dāng)線段平行于

13、y軸時，用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端軸時，用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo)；當(dāng)線段平行點(diǎn)的縱坐標(biāo)；當(dāng)線段平行x軸時，用右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左軸時，用右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)確定函數(shù)最值，注意函數(shù)自變量取值范圍確定函數(shù)最值，注意函數(shù)自變量取值范圍要確定正確；要確定正確；滿滿 分分 技技 法法2“將軍飲馬將軍飲馬”型問題或其變形問題，這類問題一般是型問題或其變形問題，這類問題一般是已知兩個定點(diǎn)和一條定直線，然后在定直線上確定一點(diǎn)，已知兩個定點(diǎn)和一條定直線，然后在定直線上確定一點(diǎn)，使得這個點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和最小其變形問題有三角形周使得這個點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和最小其變形問題有三角形

14、周長最小或四邊形周長最小等；這類問題的解決方法是：作長最小或四邊形周長最小等；這類問題的解決方法是：作其中一個定點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一其中一個定點(diǎn)關(guān)于已知直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一個定點(diǎn)，它們與已知直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，然后通過個定點(diǎn)，它們與已知直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，然后通過求直線解析式及直線交點(diǎn)坐標(biāo)，計算最小值或點(diǎn)坐標(biāo)求直線解析式及直線交點(diǎn)坐標(biāo)，計算最小值或點(diǎn)坐標(biāo)滿滿 分分 技技 法法類型二類型二 與面積有關(guān)的問題與面積有關(guān)的問題典例精講例 1 如圖如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線，在直角坐標(biāo)系中，直線yx3與與x軸軸相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)A，與，與y軸相交于點(diǎn)軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)

15、，點(diǎn)B在在x軸的正半軸上，軸的正半軸上，且且AB4，拋物線，拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A，B，C. (1)求拋物線的解析式求拋物線的解析式【思維教練【思維教練】要求拋物線的解析式，需知過拋物線】要求拋物線的解析式，需知過拋物線的三點(diǎn)的三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用直線的坐標(biāo)，利用直線yx3求得求得A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知的AB4，求得求得B點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，代入求解即可代入求解即可AB4，B(1，0)拋物線拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A，B，C， ，解得解得拋物線的解析式為拋物線的解析式為yx22x3.93003ab ca b cc 123abc解解：對于對于yx3

16、，當(dāng)當(dāng)x0時時，y3；當(dāng)當(dāng)y0時時， x3，A(3，0)，C(0，3)，(2)求求ABC的面積的面積【思維教練】【思維教練】要求要求ABC的面積，需知的面積，需知ABC的的一條邊的長度和這條邊上高的長度，由于一條邊的長度和這條邊上高的長度，由于ABC的的邊邊AB已知，底邊已知，底邊AB上的高為上的高為OC，即為點(diǎn)即為點(diǎn)C的縱坐的縱坐標(biāo)，代入三角形的面積公式計算即可標(biāo)，代入三角形的面積公式計算即可 解解：點(diǎn)點(diǎn)C坐標(biāo)為坐標(biāo)為(0，3)，OC3.SABC |AB|OC| 436.1212(3)點(diǎn)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，DE是拋物線的對稱軸，是拋物線的對稱軸，點(diǎn)點(diǎn)E在在x軸上，在拋物線上存

17、在點(diǎn)軸上，在拋物線上存在點(diǎn)Q，使得，使得QAE的的面積與面積與CBE的面積相等，請直接寫出點(diǎn)的面積相等，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)的坐標(biāo)【思維教練】【思維教練】QAE與與CBE的底邊的底邊AEBE，要要使兩三角形面積相等，只要高相等，因為使兩三角形面積相等，只要高相等，因為CBE底底邊邊BE上的高為上的高為3，所以點(diǎn)所以點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為3和和3時，滿時，滿足條件，分別代入拋物線解析式求解即可足條件，分別代入拋物線解析式求解即可 解解：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3)或或(0，3)或或(1 ，3)或或(1 ，3)77【解法提示】如解圖【解法提示】如解圖，依題意，依題意，AEBE，當(dāng)當(dāng)QAE的邊

18、的邊AE上的高為上的高為3時，時，QAE的面積與的面積與CBE的面積相等的面積相等當(dāng)當(dāng)y3時，時，x22x33，解得解得x12，x20，點(diǎn)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，3)或或(0，3)例例2 2題解圖題解圖 當(dāng)當(dāng)y3時，時，x22x33，解得，解得x1 ，點(diǎn)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1 ，3)或或(1 ，3)綜上所述，點(diǎn)綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，3)或或(0，3)或或(1 ，3)或或(1 ，3)77777(4)在在(3)的條件下，連接的條件下，連接AD，CD，求四邊形，求四邊形AOCD和和ACD的面積的面積.【思維教練】要求四邊形【思維教練】要求四邊形AOCD和和ACD的面積，由的面積，由

19、于四邊形于四邊形AOCD是不規(guī)則圖形，則可利用是不規(guī)則圖形，則可利用S四邊形四邊形AOCDSAODSCOD計算由于計算由于ACD的底與高不容易計的底與高不容易計算，所以可利用算，所以可利用SACDS四邊形四邊形AOCDSAOC計算計算 解解：如解圖如解圖，連接，連接OD，由由yx22x3(x1)24，知點(diǎn)知點(diǎn)D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，4)，S四邊形四邊形AOCDSAODSCODSACDS四邊形四邊形AOCDSAOC11153 43 1222 1513 3 322 例例2 2題解圖題解圖(5)在在(3)的條件下，在直線的條件下，在直線AC上方的拋物線上，存上方的拋物線上，存在一點(diǎn)在一點(diǎn)P(不與不與

20、D重合重合)，使，使ACD的面積等于的面積等于ACP的的面積請求出點(diǎn)面積請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)【思維教練】要求點(diǎn)【思維教練】要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，先確定點(diǎn)的坐標(biāo)，先確定點(diǎn)P的位置，的位置，由于由于ACD與與ACP的底的底AC相等，則只要等高，面相等，則只要等高，面積即相等，可過點(diǎn)積即相等，可過點(diǎn)D作作AC的平行線與拋物線相交，的平行線與拋物線相交，交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，即可求得點(diǎn)交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，即可求得點(diǎn)P坐標(biāo)坐標(biāo) 解解：如解圖如解圖，過點(diǎn)過點(diǎn)D作直線作直線DPAC，交拋物線于交拋物線于點(diǎn)點(diǎn)P，連接連接AP，PC，BD，則則SACDSACP .DPAC，且直線且直線AC的解析式為的解析式為yx3，可設(shè)直線

21、可設(shè)直線DP的解析式為的解析式為yxn，把點(diǎn)把點(diǎn)D(1，4)代入代入，得得1n4，n5，DP的解析式為的解析式為yx5.例例2 2題解圖題解圖DP的解析式為的解析式為yx5.聯(lián)立得聯(lián)立得 解得解得D(1，4)，點(diǎn)點(diǎn)P不與點(diǎn)不與點(diǎn)D重合重合，點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，3)2523yxyxx 111,4xy2223xy (6)在直線在直線AC上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M，使，使MAC的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由不存在，請說明理由【思維教練】要使【思維教練】要使MAC面積最大，可先把面積最大，可先把M

22、AC的面積用含字母的式子表示出來，再利用二次函數(shù)的的面積用含字母的式子表示出來，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論其最值，進(jìn)而求得性質(zhì)討論其最值，進(jìn)而求得M點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)解解：存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)M，使使MAC的面的面積最大如積最大如解圖解圖，過點(diǎn)，過點(diǎn)M作作MNy軸軸，交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)N，設(shè)設(shè)M(x，x22x3)，則則N(x，x3)，例例2 2題解圖題解圖MNx22x3(x3)x23x，SMACSAMNSCMN MN3 (x23x) (x )2 ， 0，3 x 0，當(dāng)當(dāng)x 時時，SMAC的最大值為的最大值為 .當(dāng)當(dāng)x 時時， ，點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， )123232322783232278322331

23、5()2 () 3224y 321541.解決二次函數(shù)與三角形面積最值綜合題，常見方法有：解決二次函數(shù)與三角形面積最值綜合題，常見方法有：(1)若三角形有一條邊在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸，首先計算若三角形有一條邊在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸，首先計算這條邊的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)；然后利用坐標(biāo)的差表示這條邊的這條邊的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)；然后利用坐標(biāo)的差表示這條邊的長長(若平行于若平行于x軸，用右邊的點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸，用右邊的點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得邊長；若平行于可得邊長；若平行于y軸，用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱軸，用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo)可得邊長坐標(biāo)可得邊長)；再確定另一頂點(diǎn)

24、到這條邊的距離，一般是另；再確定另一頂點(diǎn)到這條邊的距離，一般是另一點(diǎn)的橫一點(diǎn)的橫(縱縱)坐標(biāo)與已知邊的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與已知邊的點(diǎn)的橫(縱縱)坐標(biāo)的差；然后運(yùn)用坐標(biāo)的差；然后運(yùn)用三角形面積公式計算三角形面積公式計算滿滿 分分 技技 法法(2)若三角形的邊都不與坐標(biāo)軸平行，解決問題的一般步驟為：若三角形的邊都不與坐標(biāo)軸平行，解決問題的一般步驟為：根據(jù)三角形兩定點(diǎn)確定這條邊所在直線的解析式；根據(jù)三角形兩定點(diǎn)確定這條邊所在直線的解析式；過動點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線，與這條直線交于一點(diǎn)；過動點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線，與這條直線交于一點(diǎn)；分別用拋物線及直線的解析式表示出這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，并分別用拋物線及直線的解析式表示出這

25、兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示它們之間的距離；表示它們之間的距離；以所求距離為底邊，以兩定點(diǎn)的坐標(biāo)差的絕對值為高，列以所求距離為底邊，以兩定點(diǎn)的坐標(biāo)差的絕對值為高，列出三角形面積的函數(shù)關(guān)系式；出三角形面積的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值、對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值、對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)2. 對于二次函數(shù)與四邊形面積的綜合題，常常會將其轉(zhuǎn)化為對于二次函數(shù)與四邊形面積的綜合題，常常會將其轉(zhuǎn)化為三角形面積進(jìn)行計算三角形面積進(jìn)行計算滿滿 分分 技技 法法(7)點(diǎn)點(diǎn)H是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作HGx軸，試確定軸，試確定H點(diǎn)的位置，使點(diǎn)的位置，使HGA的面積被直線的面積被直線A

26、C分為相等的兩分為相等的兩部分部分【思維教練】設(shè)【思維教練】設(shè)HG與與AC相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)I，HGA要被要被分成面積相等的兩部分，由于高分成面積相等的兩部分，由于高AG一樣，只需一樣，只需HI與與IG相等即可，可設(shè)相等即可，可設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出線段點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出線段HI與與IG，利用其相等列方程求解即可利用其相等列方程求解即可 解：解：如解圖如解圖，設(shè)，設(shè)HG與與AC相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)I，H(x，x22x3)，則則I(x，x3)，則則HIx22x3(x3)x23x，IGx3， 當(dāng)當(dāng)HIIG時時，AHI和和AIG等等底同高則面積相等，即底同高則面積相等，即HGA的的面積被直線面積被直線AC

27、分為相等的兩部分分為相等的兩部分，x23xx3，整理得整理得x24x30，解得解得x11，x23(不合題意，舍去不合題意，舍去) )，點(diǎn)點(diǎn)H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，4)例例2 2題解圖題解圖(8)點(diǎn)點(diǎn)H是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作HGx軸，軸，試確定試確定H點(diǎn)的位置，使點(diǎn)的位置，使HGA的面積被直線的面積被直線AC分為分為1 2的兩部分的兩部分【思維教練】【思維教練】同上，利用同上，利用HI與與IG為為12或或21關(guān)關(guān)系列方程求解即可系列方程求解即可解解：如解圖：如解圖，由，由(7)(7)可知，可分兩種情況討論：可知，可分兩種情況討論：若若H1I12I1G1，則有則有x2

28、3x2(x3)， 整理得整理得x25x60， 解得解得x12，x23(不合題意，舍去不合題意，舍去)，H1(2，3)例例2 2題解圖題解圖若若2H2I2I2G2，則有則有2(x23x)x3，整理得整理得2x27x30，解得解得x1 ，x23(不合題意，舍去不合題意，舍去)，H2( ， )綜上所述，點(diǎn)綜上所述，點(diǎn)H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為H1(2，3)或或H2( ， )121541215412與與圖形面積數(shù)量關(guān)系有關(guān)的問題圖形面積數(shù)量關(guān)系有關(guān)的問題1如果是面積的倍數(shù)關(guān)系，一般需要用等積變形如果是面積的倍數(shù)關(guān)系，一般需要用等積變形來解決，即過三角形的一個頂點(diǎn)作它對邊的平行線來解決，即過三角形的一個頂點(diǎn)作它

29、對邊的平行線或是從圖形中尋找出這樣的直線，利用等底同高來或是從圖形中尋找出這樣的直線，利用等底同高來進(jìn)行等積變形，從而實(shí)現(xiàn)三角形頂點(diǎn)的轉(zhuǎn)移；進(jìn)行等積變形，從而實(shí)現(xiàn)三角形頂點(diǎn)的轉(zhuǎn)移；2如果過某個頂點(diǎn)的線段平分三角形的面積，則如果過某個頂點(diǎn)的線段平分三角形的面積，則該線段一定過該頂點(diǎn)對邊的中點(diǎn)該線段一定過該頂點(diǎn)對邊的中點(diǎn) 突突 破破 設(shè)設(shè) 問問(9)在對稱軸左側(cè)的拋物線上，是否存在點(diǎn)在對稱軸左側(cè)的拋物線上，是否存在點(diǎn)R，使得，使得SRBC ？若存在，求出點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由請說明理由92【思維教練】先假設(shè)存在點(diǎn)【思維教練】先假設(shè)存在點(diǎn)R，使得使得SRB

30、C .過過點(diǎn)點(diǎn)R作作BC的垂線交的垂線交BC于點(diǎn)于點(diǎn)K，可得可得 BCRK ，此時點(diǎn)此時點(diǎn)R，K坐標(biāo)不容易計算可考慮作坐標(biāo)不容易計算可考慮作RHy軸與軸與BC的延長線相交于點(diǎn)的延長線相交于點(diǎn)F，利用利用RKF與與BOC相似，得到相似，得到RFOBBCRK9，設(shè)出設(shè)出R點(diǎn)坐標(biāo)利用此關(guān)系式列方點(diǎn)坐標(biāo)利用此關(guān)系式列方程求解程求解 929212解解：不妨假設(shè)存在點(diǎn)不妨假設(shè)存在點(diǎn)R，使使SRBC ，如解圖如解圖. .過點(diǎn)過點(diǎn)R作作RKBC，交交BC的延長線的延長線于點(diǎn)于點(diǎn)K，作作RHy軸，交軸，交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)H，交交BC的延長線于點(diǎn)的延長線于點(diǎn)F，連接連接BR，CR，BC，則則FBCO，RKFBOC9

31、0，RKFBOC， ，BCRKBORF，又又SRBC ，BO1，92BKRFBOBC92例例2 2題解圖題解圖 BCRK BORF ，RF9.由由B(1，0)，C(0，3)可求出直線可求出直線BC的解析式的解析式為為 y3x3，設(shè)設(shè)R(x，x22x3)，則則F(x，3x3)RF3x3(x22x3)x2x. x2x9，921212解得解得x1 ，x2 (不合題意，舍去不合題意，舍去)R( ， )存在點(diǎn)存在點(diǎn)R，使使SRBC ，點(diǎn)點(diǎn)R的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， )1372137213723 37 1529213723 37 152類型三類型三 與特殊三角形有關(guān)的問題與特殊三角形有關(guān)的問題典例精講例 3

32、 如圖，在平面直角坐標(biāo)系如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與中，拋物線與x軸軸交于點(diǎn)交于點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，與，與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C，直線，直線BC的解析式為的解析式為ykx3，拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為的頂點(diǎn)為D，對稱軸與，對稱軸與直線直線BC交于點(diǎn)交于點(diǎn)E，與，與x軸交軸交于點(diǎn)于點(diǎn)F.(1)求拋物線解析式及點(diǎn)求拋物線解析式及點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； 【思維教練】要求拋物線的解析式，根據(jù)題目需知【思維教練】要求拋物線的解析式，根據(jù)題目需知經(jīng)過拋物線上的三點(diǎn)經(jīng)過拋物線上的三點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，由直線的坐標(biāo)，由直線BC解析解析式得到點(diǎn)式得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合題干，拋物線與的坐標(biāo)，結(jié)合題

33、干，拋物線與x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A，B，故設(shè)拋物線的解析式為故設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)(x3)將點(diǎn)將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，即可求解的坐標(biāo)代入，即可求解解解：直線直線BC的解析式為的解析式為ykx3，令令x0，得得y3，點(diǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0，3)，設(shè)拋物線的解析式為設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)(x3)，將將C(0，3)代入，得代入，得3a3，解得解得a1， 拋物線的解析式為拋物線的解析式為yx22x3，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式為轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式為y(x1)24，拋物線的頂點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，4)，對稱軸為對稱軸為x1，將點(diǎn)將點(diǎn)B(3，0)代入直線代入直線ykx3，得得03k3，解得：解得

34、：k1，直線直線BC的解析式為的解析式為yx3，令令x1，得得y2，點(diǎn)點(diǎn)E的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，2)(2)判斷判斷CAF的形狀，并說明理由；的形狀，并說明理由；【思維教練】先確定點(diǎn)【思維教練】先確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，得到OFOA，再由再由CO垂直平分垂直平分AF即可得出結(jié)論即可得出結(jié)論 解解：CAF是等腰三角形理由如下：是等腰三角形理由如下：拋物線的對稱軸為拋物線的對稱軸為x1，點(diǎn)點(diǎn)F的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，0)，AOOF1，即即O為為AF的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，COAF，CO是線段是線段AF的垂直平分線，的垂直平分線，CACF，CAF是等腰三角形是等腰三角形(3)x軸上是否存在點(diǎn)軸上是否存在點(diǎn)G

35、，使得，使得ACG是以是以AC為底為底邊的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)邊的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；存在，請說明理由；【思維教練】由【思維教練】由ACG是以是以AC為底邊的等腰三角形為底邊的等腰三角形可考慮作可考慮作AC的垂直平分線，與的垂直平分線，與x軸交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為G，設(shè)出點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后表示出的坐標(biāo)，然后表示出AG、OG、OC和和CG.列關(guān)系式即列關(guān)系式即可求解可求解解解：存在如解圖存在如解圖，作，作AC的垂直平分線，交的垂直平分線，交x軸軸于點(diǎn)于點(diǎn)G，連接連接CG，則點(diǎn)則點(diǎn)G即為所求即為所求設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(g，0)，在在Rt

36、COG中中，CO3，OGg，由勾股定理得由勾股定理得CG2CO2OG29g2，又又AGg1，AGCG，9g2(g1)2，解得解得 g4，此時點(diǎn)此時點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(4，0)例例3 3題解圖題解圖(4)若點(diǎn)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上，是否在拋物線對稱軸上，是否存在點(diǎn)存在點(diǎn)P使得使得PDQ是等邊三角形，若存在，求出點(diǎn)是等邊三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；例3題圖【思維教練】【思維教練】由由(1)(1)知拋物線解析式，對稱軸及頂點(diǎn)知拋物線解析式，對稱軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)P作作PHDQ于點(diǎn)于點(diǎn)H，設(shè)出設(shè)出H

37、點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)，由等邊三角形的性質(zhì)可得由等邊三角形的性質(zhì)可得PH DH，可得可得H點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，由拋物線的對稱性可知點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線的對稱性可知點(diǎn)P在對在對稱軸兩側(cè)各有一點(diǎn)，求得符合條件的另一點(diǎn)稱軸兩側(cè)各有一點(diǎn)，求得符合條件的另一點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)即可即可3解解：存在由存在由(1)(1)得拋物線解析式得拋物線解析式為為yx22x3，對稱軸對稱軸為為x1，頂點(diǎn)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，4)點(diǎn)點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(t，t22t3)，如解圖如解圖，過點(diǎn)，過點(diǎn)P作作PHDQ于點(diǎn)于點(diǎn)H，則則PHx軸軸，點(diǎn)點(diǎn)H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，t22t

38、3)，DPQ是等邊三角形，是等邊三角形，DHHQ，PH DHDH4(t22t3)t22t1，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在在DQ的右側(cè)時的右側(cè)時，PHt1，t1 (t22t1)，即即 t2(2 1)t 10，例例3 3題解圖題解圖33333解得解得：t1 , t21(舍舍)，此時點(diǎn)此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， ).當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在在DQ的左側(cè)時，根據(jù)對稱性可知，此時點(diǎn)的左側(cè)時，根據(jù)對稱性可知，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( , ).綜上，存在點(diǎn)綜上，存在點(diǎn)P使得使得PDQ是等邊三角形，此時點(diǎn)是等邊三角形，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， )或或( ， ).333333113333113333113113333探究直角三

39、角形的存在性探究直角三角形的存在性 先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點(diǎn)的不確定性，分情況先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點(diǎn)的不確定性，分情況討論；討論；找點(diǎn)：當(dāng)所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直找點(diǎn)：當(dāng)所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時，需分情況討論，具體方法如下：角邊時，需分情況討論，具體方法如下：a當(dāng)定長為直角三角形的直角邊時，分別以定長的某一當(dāng)定長為直角三角形的直角邊時，分別以定長的某一端點(diǎn)作定長的垂線，與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時，此交點(diǎn)端點(diǎn)作定長的垂線，與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；即為符合條件的點(diǎn)；滿滿 分分 技技 法法b當(dāng)定長為直角三角形的斜邊時，以此定長為直徑

40、作圓，當(dāng)定長為直角三角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；圓弧與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；計算：把圖形中的點(diǎn)坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出計算：把圖形中的點(diǎn)坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形的各個邊來，從而表示出三角形的各個邊( (表示線段時，注意代數(shù)式的表示線段時，注意代數(shù)式的符號符號) )再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進(jìn)行計算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點(diǎn)坐標(biāo)定理進(jìn)行計算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點(diǎn)坐標(biāo)滿滿 分分 技技 法法(5)(5)

41、若點(diǎn)若點(diǎn)H在在拋物線對稱軸上，是否存在點(diǎn)拋物線對稱軸上，是否存在點(diǎn)H，使得，使得BCH是直角三角形，若存在，求出點(diǎn)是直角三角形，若存在，求出點(diǎn)H H的坐標(biāo)；若的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；不存在，請說明理由；例3題解圖【思維教練】要使思維教練】要使BCH是直角三角形，需從直角是直角三角形，需從直角考慮，分考慮，分HCB90，HBC90，CHB90三種情況討論，借助三角形相似對應(yīng)邊成比例即三種情況討論，借助三角形相似對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論可得出結(jié)論 解解：存在設(shè)點(diǎn)存在設(shè)點(diǎn)H 的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1(1，h) )，要使要使BCH為直角三角形，可分以下三種情況討論：為直角三角形，可分以下三種情況討論

42、：(i)(i)HCB9090，如解圖如解圖，C(0(0，3)3)，D(1(1，4)4)，B(3(3，0)0)，BC2 23 32 23 32 21818，BD2 2(3(31)1)2 24 42 22020，CD2 21 12 2(4(43)3)2 22 2，BC2CD2BD2， DCBC， 此時點(diǎn)此時點(diǎn)H與點(diǎn)與點(diǎn)D重合，坐標(biāo)為重合，坐標(biāo)為H1(1，4)；例例3 3題解圖題解圖(ii)HBC9090，如解圖如解圖，易得，易得BEHBHE4545，BEBH，又又BFEH，F(xiàn)HEF2 2，點(diǎn)點(diǎn)H2的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1(1，2)2)；例例3 3題解圖題解圖(iii)(iii)CHB9090，如解圖如

43、解圖，過點(diǎn)，過點(diǎn)C作作CMDF于點(diǎn)于點(diǎn)M，則則CHMBHE9090，BHEFBH9090CHMFBH，又又CMHBFH9090， CHMHBF， , ,即即 解得解得：h1 ，h2HMBFCMHF321hh31723172例例3 3題解圖題解圖此時這樣的點(diǎn)此時這樣的點(diǎn)H有兩個，坐標(biāo)分別為有兩個，坐標(biāo)分別為H3(1 ， ），），H4(1， ）.31723172綜上所述，存在點(diǎn)綜上所述，存在點(diǎn)H使得使得BCH是直角三角形，點(diǎn)是直角三角形，點(diǎn)H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為H1(1(1，4)4)，H2(1(1，2)2)，H3(1(1， ），），H4(1(1， ）. .31723172(6)(6)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P是第一象

44、限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是線是線段段BC上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得使得PCQ是等腰直角是等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)三角形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由說明理由例3題圖【思維教練】要使【思維教練】要使PCQ是等腰直角三角形，根是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)：有一個角為直角，一個據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)：有一個角為直角，一個銳角為銳角為4545. .結(jié)合結(jié)合CBOBCO45，從而考從而考慮分三種情況：慮分三種情況：PCQ90，PQy軸軸；CPQ90，CPx軸軸；CQP90，CPx軸軸，分別討論即可得出分

45、別討論即可得出結(jié)果結(jié)果 解解：存在存在BOC是等腰直角三角形是等腰直角三角形，且且BOC9090，CBO4545，點(diǎn)點(diǎn)Q在直線在直線BC上，設(shè)點(diǎn)上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (t，t3)3)，(i)當(dāng)當(dāng)PCBC時，如解圖時，如解圖，由由(5)(5)得此時得此時點(diǎn)點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)D重合，坐標(biāo)為重合，坐標(biāo)為(1(1，4)4)，PQCBCO4545，PQy軸軸，點(diǎn)點(diǎn)Q Q與點(diǎn)與點(diǎn)E重合，重合，此時此時PCQ是等腰直角三角形，點(diǎn)是等腰直角三角形，點(diǎn)Q的坐的坐標(biāo)為標(biāo)為( (1 1，2)2)； 例例3 3題解圖題解圖(ii)當(dāng)當(dāng)CPQ90，CPx軸時軸時，如如解圖解圖，則，則PQy軸軸，PCQCBO45，此，

46、此時時CPQ是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，且點(diǎn)且點(diǎn)P(2，3)，點(diǎn)點(diǎn)Q(2，1)；例例3 3題解圖題解圖(iii)當(dāng)當(dāng)CQP9090，CPx軸時，如軸時，如解圖解圖，過點(diǎn)，過點(diǎn)Q作作QQCP，CPQ是等腰直角三角形是等腰直角三角形，CQPQ，CQPQ，點(diǎn)點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上，則點(diǎn)在拋物線對稱軸上，則點(diǎn)Q的坐的坐標(biāo)為標(biāo)為(1，2)綜上所述，這樣的點(diǎn)綜上所述，這樣的點(diǎn)Q有兩個，坐標(biāo)分有兩個，坐標(biāo)分別為別為(1，2) ) 或或(2，1)例例3 3題解圖題解圖類型四類型四 與特殊四邊形有關(guān)的問題與特殊四邊形有關(guān)的問題典例精講例4 如圖，拋物線經(jīng)過如圖，拋物線經(jīng)過A(5，0)，B(1，0)，C(0

47、，5)三點(diǎn)，頂點(diǎn)為三點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，連接連接AC，BC，拋物線的對稱軸為，拋物線的對稱軸為l，l與與x軸交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為D，與與AC交點(diǎn)交點(diǎn)為為E. (1)求此拋物線的解析式，求此拋物線的解析式，頂點(diǎn)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，對稱軸的坐標(biāo)，對稱軸l；例例4 4題圖題圖【思維教練】【思維教練】由由A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)拋物線三點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為解析式為yax2bxc，將三點(diǎn)代入求解即可；將將三點(diǎn)代入求解即可；將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)和的坐標(biāo)和對稱軸對稱軸l；解解：(1)(1)設(shè)拋物線解析式為設(shè)拋物線解析式為yax2bxc，將點(diǎn)將點(diǎn)A(5，0)，B(

48、1，0)，C(0，5)代入，得代入，得 解得解得拋物線的解析式拋物線的解析式為為 yx2 26x5.5.將解析式化為頂點(diǎn)式得將解析式化為頂點(diǎn)式得 y(x3)24，頂點(diǎn)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3，4)，對稱軸對稱軸l為為直線直線 x3.25500,5abcabcc16,5abc(2)(2)拋物線沿直線拋物線沿直線AB平移，使平移，使得點(diǎn)得點(diǎn)A落在點(diǎn)落在點(diǎn)B處，此時點(diǎn)處，此時點(diǎn)C的的對應(yīng)點(diǎn)為對應(yīng)點(diǎn)為C，求點(diǎn)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，試判定四邊形試判定四邊形ABCC的形狀，的形狀，并說明理由；并說明理由；例例4 4題圖題圖【思維教練】【思維教練】要判定四邊形要判定四邊形ABCC的形狀，根據(jù)的形狀，根據(jù)

49、平移的性質(zhì)，點(diǎn)平移的性質(zhì)，點(diǎn)A平移到點(diǎn)平移到點(diǎn)B的規(guī)律與點(diǎn)的規(guī)律與點(diǎn)C平移到點(diǎn)平移到點(diǎn)C的規(guī)律一致，即可得到點(diǎn)的規(guī)律一致，即可得到點(diǎn)C坐標(biāo)，再由坐標(biāo)，再由ABCC，ABCC判定四邊形的形狀；判定四邊形的形狀；解解：如解圖如解圖，A( (5 5，0)0)，B( (1 1，0)0)，C(0(0，5)5)，點(diǎn)點(diǎn)A向右平移向右平移4 4個單位長度得到點(diǎn)個單位長度得到點(diǎn)B. .由平移性質(zhì)可知由平移性質(zhì)可知C平移到平移到C與與A平移平移到到B的規(guī)律一致的規(guī)律一致，C(4(4，5)5)四邊形四邊形ABCC是平行四邊形理由如下：是平行四邊形理由如下：根據(jù)平移規(guī)律得：根據(jù)平移規(guī)律得：ABCC4 4，ABCC，四

50、邊形四邊形ABCC是平行四邊形是平行四邊形. . 例例4 4題圖解題圖解(3)(3)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)C是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)是否存在以點(diǎn)A，B，C，C為為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；不存在，請說明理由；例例4 4題圖題圖【思維教練】以點(diǎn)【思維教練】以點(diǎn)A、B、C、C為頂點(diǎn)的四邊形為為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，已知線段平行四邊形，已知線段AB和和AC，可分兩種情況討論：可分兩種情況討論：(1)(1)當(dāng)線段當(dāng)線段AB為平行四邊形的邊時，可利用平移的性為平行四邊形的邊時，可利用平移的性質(zhì)：質(zhì)：將線

51、段將線段AB沿沿AC平移，使點(diǎn)平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)C重合，重合，將將線段線段BC沿沿BA平移，使點(diǎn)平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)與點(diǎn)A重合；重合；(2)(2)當(dāng)線段當(dāng)線段AB為平行四邊形的對角線，為平行四邊形的對角線，AC為平行四邊形的邊時，利為平行四邊形的邊時，利用平移的性質(zhì)，將線段用平移的性質(zhì)，將線段AC沿著沿著CB邊平移，使點(diǎn)邊平移，使點(diǎn)C與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，此時點(diǎn)重合，此時點(diǎn)C即為所求即為所求解解：存在存在，( (i) )當(dāng)線段當(dāng)線段AB為平行四邊形的為平行四邊形的邊時，邊時，如如解圖解圖，將線段，將線段AB沿沿AC平移，使點(diǎn)平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)C重合，此時重合，此時點(diǎn)點(diǎn)C坐標(biāo)為坐標(biāo)為(4，5)；如解圖

52、如解圖，將線段，將線段BC沿沿BA平移，平移，使使點(diǎn)點(diǎn)B與點(diǎn)與點(diǎn)A重合，此時點(diǎn)重合，此時點(diǎn)C的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(4，5)；例例4 4題圖解題圖解例例4 4題圖解題圖解(ii)當(dāng)線段當(dāng)線段AB為平行四邊形的對角線為平行四邊形的對角線，AC為平行四邊形的邊時為平行四邊形的邊時，如解圖如解圖，將線段，將線段AC沿沿CB平移，使平移，使點(diǎn)點(diǎn)C與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，此時點(diǎn)重合，此時點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(6，5)綜上所述，滿足條件的點(diǎn)綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(4，5)，(4，5)，(6，5)例例4 4題圖解題圖解( (4)4)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)K是拋物線上一點(diǎn)，過是拋物線上一點(diǎn)，過K作作KJy軸，交直線軸，

53、交直線AC于點(diǎn)于點(diǎn)J，是否，是否存在點(diǎn)存在點(diǎn)K，使得以，使得以M，E，K，J為頂為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請說的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；明理由；例例4 4題圖題圖【思維教練】根據(jù)點(diǎn)【思維教練】根據(jù)點(diǎn)K、J分別為拋物線和直線分別為拋物線和直線AC上的點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)上的點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)K、J坐標(biāo)，由坐標(biāo)，由KJME，從而從而只需只需KJME即可得到平行四邊形，再根據(jù)點(diǎn)即可得到平行四邊形，再根據(jù)點(diǎn)K、J坐標(biāo)及其相對位置，求出點(diǎn)坐標(biāo)及其相對位置，求出點(diǎn)K坐標(biāo)；坐標(biāo)；解解：存在，理由如下：存在，理由如下：如解圖如解圖，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)

54、為的坐標(biāo)為( (e，e26e5) )，KJy軸軸，交交AC于于J，直線直線AC的解析的解析式為式為yx5 5，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)J的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(e，e5) )M(3，4)，E(3，2)，ME6. .MEy 軸軸，KJy 軸軸，KJME，要得到平行四邊形，只需要得到平行四邊形，只需KJME6.6.例例4 4題解圖題解圖 ( (i) )當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)K 在點(diǎn)在點(diǎn)J 的下方時，的下方時， KJ(e5)(e26e5)e25e，則則e2 25 5e6 6，解得解得e12 2，e2 23 3，則則K1(2 2，3)3)，K2( (3 3，4)(4)(舍去舍去) )；( (ii) )當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)K在點(diǎn)在點(diǎn)J的上方時，的上方

55、時，KJ( (e26e5)(e5)e25e，則則e25e6，解得解得e36，e41，則則K3(6，5)，K4(1，12)；綜上所述，滿足條件的點(diǎn)綜上所述，滿足條件的點(diǎn)K有有3 3個，坐標(biāo)分別為個，坐標(biāo)分別為(2，3)，(6，5)，(1，12)(5)(5)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)S是是x軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得，使得以以A，E，N，S為頂點(diǎn)的四邊形是平為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；標(biāo)；若不存在，請說明理由；例例4 4題圖題圖【思維教練】分【思維教練】分NS為平行四邊形的邊和為平行

56、四邊形的邊和NS為平行為平行四邊形的對角線兩種情況討論，結(jié)合圖形過四邊形的對角線兩種情況討論，結(jié)合圖形過N作作NTx軸，由平行四邊形性質(zhì)得到軸，由平行四邊形性質(zhì)得到SNT AED，從而得到從而得到NTED2，即可得到點(diǎn)即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)的坐標(biāo)；解解：存在，理由如下：存在，理由如下：(i)當(dāng)當(dāng)NS為平行四邊形的一條邊時，為平行四邊形的一條邊時，如解圖如解圖，過，過N作作NTx軸，交軸，交x軸于軸于T，以解圖以解圖中中N1為例為例，NSAE，且且NSAE，則則NSTEAD，NTx軸軸，EDx軸軸，NTSEDA90SNT AED，NTED2.2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (n，n26n5) )，

57、例例4 4題解圖題解圖a當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) N 在在 x 軸軸上方，上方，則則NTn26n52，解得解得n1 3 3，n2 3 3，N1( ( 3 3，2)2)，N2( 3 3，2)2)；b當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) N 在在 x 軸軸下方，下方，則則NTn26n52，解得解得n33 3 + + n43 3 ，N3( (3 3 ，2)2)，N4( (3 3 ，2)2)； 66662例例4 4題解圖題解圖222(ii)如解圖如解圖，當(dāng)，當(dāng)NS是平行四邊形的對角線時，則是平行四邊形的對角線時，則NEx軸，軸，點(diǎn)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為2 2，代入拋物線得代入拋物線得n26n52，解得解得n1 3，n2 3( (舍去舍去) )

58、，點(diǎn)點(diǎn)N的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( 3，2)綜上所述，滿足條件的點(diǎn)綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N有有4 4個個，分別為分別為( 3，2)，( 3，2)，(3 ，2)，(3 ，2)62例例4 4題解圖題解圖66266 探究平行四邊形的存在性具體方法如下：探究平行四邊形的存在性具體方法如下： (1)(1)假設(shè)結(jié)論成立；假設(shè)結(jié)論成立；( (2)2)找點(diǎn)：探究平行四邊形的存在性問題，一般是已知兩定找點(diǎn)：探究平行四邊形的存在性問題，一般是已知兩定點(diǎn)求未知點(diǎn)坐標(biāo)，此時可以分兩種情況，分別以這兩點(diǎn)所構(gòu)點(diǎn)求未知點(diǎn)坐標(biāo)，此時可以分兩種情況，分別以這兩點(diǎn)所構(gòu)成的線段為邊和對角線來討論：成的線段為邊和對角線來討論：以這兩點(diǎn)所構(gòu)成

59、線段為邊以這兩點(diǎn)所構(gòu)成線段為邊時，可以利用平行四邊形對邊平行且相等，畫出符合題意的時，可以利用平行四邊形對邊平行且相等，畫出符合題意的圖形；圖形；以這兩點(diǎn)所構(gòu)成線段為對角線時，則該線段的中點(diǎn)以這兩點(diǎn)所構(gòu)成線段為對角線時，則該線段的中點(diǎn)為平行四邊形對角線的交點(diǎn)，結(jié)合拋物線的對稱性，畫出符為平行四邊形對角線的交點(diǎn)，結(jié)合拋物線的對稱性，畫出符合題意的圖形合題意的圖形法法技技分分滿滿(3)(3)建立關(guān)系式，并計算：根據(jù)以上分類方法畫出所建立關(guān)系式，并計算：根據(jù)以上分類方法畫出所有的符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質(zhì)有的符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計算，也可以利用拋物線的對稱性

60、、相似三角形進(jìn)行計算，也可以利用拋物線的對稱性、相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算，要具體情況具體分析，或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算，要具體情況具體分析，有時也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組有時也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解的解為交點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解法法技技分分滿滿(6)(6)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)G是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)K是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G，使得以使得以A，C，G，K為頂點(diǎn)的四邊形為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，求出點(diǎn)是矩形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；若不存在，請說明理由；例例4

61、 4題圖題圖【思維教練】使得以【思維教練】使得以A、C、G、K為頂點(diǎn)的四邊形為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，是矩形，K點(diǎn)任意，則只需點(diǎn)任意，則只需ACG是直角三角形，即是直角三角形，即可構(gòu)成以可構(gòu)成以A，C，G，K為頂點(diǎn)的矩形，然后利用勾股為頂點(diǎn)的矩形，然后利用勾股定理列方程求解；定理列方程求解；解解：存在存在，理由如下：，理由如下：要以要以A，C，G，K為頂點(diǎn)的為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，則四邊形是矩形，則ACG 一定是直角三角形如解一定是直角三角形如解 圖圖，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3，g)g)，作作GHy軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)H( (以解以解圖圖中點(diǎn)中點(diǎn)G1 1為例為例) )，AC25 52 25

62、52 25050， AG2(53)2g24g2， CG232(5g)2g210g34，例例4 4題圖解題圖解(i)若若ACG9090，則則AC2CG2AG2，即即5050g21010g34344 4g2，解得解得g8 8，此時點(diǎn)此時點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3，8)8)；(ii)若若CAG9090，則則AC2AG2CG2，即即50504 4g2 2g2 21010g3434，解得解得g2 2， 此時點(diǎn)此時點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3，2)2)； (iii)若若CGA90，則則CG2AG2AC2， 即即g210g344g250，解得解得g16，g21， 此時點(diǎn)此時點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(

63、(3，6)或或( (3，1)，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)綜上所述，滿足條件的點(diǎn)G有有4 4個，分別為個，分別為(3，8)，(3，6)，(3，1)，(3，2)探究矩形的存在性具體方法如下：探究矩形的存在性具體方法如下： (1)(1)假設(shè)結(jié)論成立；假設(shè)結(jié)論成立； ( (2)2)分情況討論：分別以己知的兩個定點(diǎn)連線的線段為矩分情況討論：分別以己知的兩個定點(diǎn)連線的線段為矩形的長或?qū)捇驅(qū)蔷€作出所有的矩形；或者轉(zhuǎn)化為探究直角形的長或?qū)捇驅(qū)蔷€作出所有的矩形；或者轉(zhuǎn)化為探究直角三角形的存在性問題，分別以兩個定點(diǎn)連線的線段為直角三三角形的存在性問題，分別以兩個定點(diǎn)連線的線段為直角三角形的直角邊或斜邊作出所有符合

64、條件的直角三角形，進(jìn)而角形的直角邊或斜邊作出所有符合條件的直角三角形，進(jìn)而作出矩形；作出矩形；(3)(3)建立關(guān)系式，并計算：根據(jù)以上分類方法畫出所有的符建立關(guān)系式，并計算：根據(jù)以上分類方法畫出所有的符合條件的圖形后，建立方程求解或利用全等三角形、直角三合條件的圖形后，建立方程求解或利用全等三角形、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算角形的性質(zhì)進(jìn)行計算法法技技分分滿滿(7)(7)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)G是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)過點(diǎn)G作平行于作平行于AB的一條直線的一條直線l，點(diǎn)，點(diǎn)K在在l上，若以上，若以A，O，G，K為頂點(diǎn)的為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件四邊形是菱形，請求出所有滿足條

65、件的點(diǎn)的點(diǎn)G，點(diǎn)，點(diǎn)K的坐標(biāo)的坐標(biāo)例例4 4題圖題圖【思維教練】由【思維教練】由GKAO可知，若可知，若GKAO，則以則以A，O，G，K為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，再證為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，再證OGOA或或AGOA即可滿足菱形的條件，根據(jù)即可滿足菱形的條件，根據(jù)G點(diǎn)點(diǎn)在在l上，設(shè)出點(diǎn)上，設(shè)出點(diǎn)G坐標(biāo)，得到方程求解即可坐標(biāo)，得到方程求解即可；解解：如解圖如解圖，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3，g)g)，由勾股定理易得由勾股定理易得OG2OD2DG29g2，AG2AD2GD24g2，GKAO，(i)(i)當(dāng)當(dāng)OGAO，且且GKAO時時，四邊形四邊形OGKA是菱形是菱形，此時有此時有

66、9 9g2 22525，解得解得g14 4，g24 4，例例4 4題解圖題解圖點(diǎn)點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3，4)4)，( (3 3，4)4)，點(diǎn)，點(diǎn)K的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (8 8，4)4)，( (8 8，4)4)；(ii)當(dāng)當(dāng)AGAO，且且GKAO時，四邊形時，四邊形AGKO是菱形是菱形，此時此時4 4g22525，解得解得g3 ，g4 ，點(diǎn)點(diǎn)G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3， ) )，( (3 3， ) )，點(diǎn)點(diǎn)K的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2(2， ) )，(2(2， ) )212121212121探究菱形的存在性具體方法如下：探究菱形的存在性具體方法如下：(1)(1)假設(shè)結(jié)論成立；假設(shè)結(jié)論成立；(2)(2)分情況討論：已知兩個定點(diǎn)去探究菱形時，以分情況討論：已知兩個定點(diǎn)去探究菱形時，以兩個定點(diǎn)確定的線段作為要探究的菱形的對角線或兩個定點(diǎn)確定的線段作為要探究的菱形的對角線或邊長畫出符合題意的菱形，結(jié)合題干要求找出滿足邊長畫出符合題意的菱形，結(jié)合題干要求找出滿足條件的菱形；條件的菱形；法法技技分分滿滿(3)(3)建立關(guān)系式，并計算：根據(jù)以上分類方法畫出所有的建立關(guān)系式，并計算：根據(jù)以上分類