《數(shù)學 反比例函數(shù)及其應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數(shù)學 反比例函數(shù)及其應用（57頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、反比例函數(shù)及其應用一、反比例函數(shù)解析式的三種形式一、反比例函數(shù)解析式的三種形式1.y=_(k01.y=_(k0，k k為常數(shù)為常數(shù)).).2.y=k_(k02.y=k_(k0，k k為常數(shù)為常數(shù)).).3.xy=_(k03.xy=_(k0，k k為常數(shù)為常數(shù)).).kxx x-1-1k k二、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)二、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.1.反比例函數(shù)反比例函數(shù)y= (ky= (k為常數(shù)，為常數(shù)，k0)k0)的圖象是的圖象是_，且關，且關于于_對稱對稱. .kx雙曲線雙曲線原點原點2.2.反比例函數(shù)反比例函數(shù) (k(k為常數(shù)，為常數(shù)，k0)k0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì)函數(shù)函數(shù)圖象圖象所

2、在象限所在象限性質(zhì)性質(zhì)(k(k為為常數(shù)，常數(shù)，k0)k0)k0k0_象限象限(x(x，y y同號同號) )在每個象限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，y y隨隨x x增大而增大而_k0k0)(k0)的圖象的圖象上，則上，則y y1 1，y y2 2的大小關系為的大小關系為y y1 1y0k=210，所以函數(shù)，所以函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)y y隨隨x x的增大而減小的增大而減小. .答案：答案：21yx21721yx(2)(2)若函數(shù)若函數(shù) 的圖象在同一象限內(nèi)，的圖象在同一象限內(nèi)，y y隨隨x x的增大而增大，的增大而增大，則則m-10m-10，所以，所以m1m1

3、，所以，所以m m的值可以是的值可以是0.0.答案：答案：0(0(答案不唯一答案不唯一) )m 1yx【規(guī)律方法【規(guī)律方法】比較反比例函數(shù)上的點的坐標值的大小比較反比例函數(shù)上的點的坐標值的大小先要判斷是同一象限還是不同象限內(nèi)的點，同一象限內(nèi)的先要判斷是同一象限還是不同象限內(nèi)的點，同一象限內(nèi)的點可根據(jù)函數(shù)的增減性進行比較；不同象限內(nèi)的點，可根據(jù)縱點可根據(jù)函數(shù)的增減性進行比較；不同象限內(nèi)的點，可根據(jù)縱坐標的正、負性進行比較；更直觀的方法是利用函數(shù)圖象進行坐標的正、負性進行比較；更直觀的方法是利用函數(shù)圖象進行比較比較. .【真題專練【真題專練】1.1.若反比例函數(shù)若反比例函數(shù) 的圖象位于第二、四象限

4、，則的圖象位于第二、四象限，則k k的取值的取值可能是可能是( () )A.0A.0B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析【解析】選選A.A.因為因為k-10k-10，所以，所以k1k1，在，在4 4個選項中，只有個選項中，只有A A適合適合. .k 1yx2.2.函數(shù)函數(shù) (a0)(a0)與與y=a(x-1)(a0)y=a(x-1)(a0)在同一坐標系中的大致在同一坐標系中的大致圖象是圖象是( () )ayx【解析【解析】選選A.A.當當a0a0a0時，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，而雙曲線分布在時，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，而雙曲線分布在第一、三象限，第一、三象限，A

5、A選項符合題意，故應選選項符合題意，故應選A.A.【方法技巧【方法技巧】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象確定根據(jù)反比例函數(shù)的圖象確定k k的取值的方法的取值的方法一看所在象限：若雙曲線兩個分支在第一、三象限，則一看所在象限：若雙曲線兩個分支在第一、三象限，則k0k0；若雙曲線兩個分支在第二、四象限，則若雙曲線兩個分支在第二、四象限，則k0.k0k0；若雙曲線在兩個分支的每個分支中，；若雙曲線在兩個分支的每個分支中，y y隨隨x x的的增大而增大，則增大而增大，則k0.k0.3.3.關于反比例函數(shù)關于反比例函數(shù) 的圖象，下列說法正確的是的圖象，下列說法正確的是( () )A.A.圖象經(jīng)過點圖象經(jīng)過點(1(1

6、，1)1)B.B.兩個分支分布在第二、四象限兩個分支分布在第二、四象限C.C.兩個分支關于兩個分支關于x x軸成軸對稱軸成軸對稱D.D.當當x0 x0=20，圖象的每個分支，都有圖象的每個分支，都有y y隨隨x x的增大而減小的增大而減小. .熱點考向二熱點考向二 確定反比例函數(shù)的解析式確定反比例函數(shù)的解析式【例【例2 2】反比例函數(shù)反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點的圖象經(jīng)過點(-2(-2，3)3)，則，則k k的值的值為為( () )A.6A.6B.-6B.-6C.C.D.D.【思路點撥【思路點撥】將點的坐標代入反比例函數(shù)的解析式求解將點的坐標代入反比例函數(shù)的解析式求解. .1 2kyx7272【自

7、主解答【自主解答】選選C.C.將點的坐標將點的坐標(-2(-2，3)3)代入得代入得 ，解得解得 . .1 2k327k2【規(guī)律方法【規(guī)律方法】用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的四個步驟用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的四個步驟1.1.設出解析式設出解析式 (k(k是常數(shù)，是常數(shù)，k0).k0).2.2.把已知的一對把已知的一對x x，y y的值代入解析式，得到關于待定系數(shù)的值代入解析式，得到關于待定系數(shù)k k的的方程方程. .3.3.解這個方程求出待定系數(shù)解這個方程求出待定系數(shù)k.k.4.4.將所求得的待定系數(shù)將所求得的待定系數(shù)k k的值代回所設的解析式中的值代回所設的解析式中. .kyx【真題

8、專練【真題專練】1.1.已知反比例函數(shù)已知反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點的圖象經(jīng)過點(2(2，3)3)，那么下列四個，那么下列四個點中，也在這個函數(shù)圖象上的是點中，也在這個函數(shù)圖象上的是( () )A.(-6A.(-6，1)1)B.(1B.(1，6)6)C.(2C.(2，-3)-3)D.(3D.(3，-2)-2)kyx【解析【解析】選選B.B.根據(jù)反比例函數(shù)根據(jù)反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點的圖象經(jīng)過點(2(2，3)3)，可，可得得k=6k=6，所給的四個選項中橫縱坐標的乘積等于，所給的四個選項中橫縱坐標的乘積等于6 6的只有的只有B B選項選項中的中的(1(1，6)6)，故，故(1(1，6)6)也在這個

9、函數(shù)圖象上也在這個函數(shù)圖象上. .kyx2.2.如圖，已知直線如圖，已知直線y=-x+2y=-x+2分別與分別與x x軸，軸，y y軸交于軸交于A A，B B兩點，兩點，與雙曲線與雙曲線 交于交于E E，F(xiàn) F兩點，若兩點，若AB=2EFAB=2EF，則，則k k的值是的值是( () )A.-1A.-1B.1B.1C.C.D.D.kyx1234【解析【解析】選選D.D.直線直線y=-x+2y=-x+2分別與分別與x x軸，軸，y y軸交于軸交于A A，B B兩點，則兩點，則點點A(2A(2，0)0)，點，點B(0B(0，2)2)，AOBAOB是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，AB= .AB=

10、 .又又AB=2EFAB=2EF，EF= .EF= .設點設點E E的橫坐標為的橫坐標為x x1 1，點，點F F的橫坐標為的橫坐標為x x2 2，則，則x x1 1-x-x2 2=1.=1. x x2 2-2x+k=0.-2x+k=0.2 22yx 2kyx，xx1 1，x x2 2是方程是方程x x2 2-2x+k=0-2x+k=0的兩個根，的兩個根，x x1 1+x+x2 2=2=2，x x1 1x x2 2=k=k，(x(x1 1-x-x2 2) )2 2=(x=(x1 1+x+x2 2) )2 2-4k-4k，1=4-4k1=4-4k，解得，解得 . .3k4【知識拓展【知識拓展】利

11、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式的注意利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式的注意事項：事項：如果如果y y與與x x成反比例，則可設成反比例，則可設 ；若是；若是y y與與x x2 2成反比例，則要成反比例，則要設為設為 . .同理，如果同理，如果y y與與x+1x+1成反比例，則應該設為成反比例，則應該設為 . .kyx2kyxkyx 13.3.已知反比例函數(shù)已知反比例函數(shù) ，當，當x=2x=2時，時，y=3.y=3.(1)(1)求求m m的值的值. .(2)(2)當當3x63x6時，求函數(shù)值時，求函數(shù)值y y的取值范圍的取值范圍. .5 myx【解析【解析】(1)(1)把把x=2x=2，y=

12、3y=3代入代入 得到得到5-m=65-m=6，所以，所以m=-1.m=-1.(2)(2)當當x=3x=3時，由時，由 得得y=2y=2；x=6x=6時，由時，由 得得y=1.y=1.當當3x63x6時，時，y y隨隨x x的增大而減小，的增大而減小，所以函數(shù)值的范圍是所以函數(shù)值的范圍是1y2.1y2.5 myx6yx6yx熱點考向三熱點考向三 反比例函數(shù)的應用反比例函數(shù)的應用【例【例3 3】在一個可以改變體積的密閉容器內(nèi)在一個可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的某種氣體，當改變?nèi)萜鞯难b有一定質(zhì)量的某種氣體，當改變?nèi)萜鞯捏w積時，氣體的密度也會隨之改變體積時，氣體的密度也會隨之改變. .密度密

13、度(單位：單位：kg/mkg/m3 3) )與體積與體積V(V(單位：單位：m m3 3) )滿足函數(shù)關系式滿足函數(shù)關系式 (k(k為常數(shù)，為常數(shù)，k0)k0)，其圖象如圖所示，其圖象如圖所示，則則k k的值為的值為( () )A.9A.9B.-9B.-9C.4C.4D.-4D.-4kV【思路點撥【思路點撥】分析函數(shù)圖象可知過點分析函數(shù)圖象可知過點A(6A(6，1.5)1.5)，把，把(6(6，1.5)1.5)代入代入 即可求得即可求得k k的值的值. .kV【自主解答【自主解答】選選A.A.把把V=6V=6，=1.5=1.5代入代入 得，得，k=9.k=9.【規(guī)律方法【規(guī)律方法】建立反比例函

14、數(shù)模型解決實際問題的兩種思路建立反比例函數(shù)模型解決實際問題的兩種思路1.1.通過問題提供的信息，知道變量之間有什么關系，在這種情通過問題提供的信息，知道變量之間有什么關系，在這種情況下，可先設出函數(shù)表達式，再由已知條件確定表達式中的字況下，可先設出函數(shù)表達式，再由已知條件確定表達式中的字母系數(shù)即可母系數(shù)即可. .2.2.問題本身的條件中不知道變量間是什么函數(shù)關系，此時要通問題本身的條件中不知道變量間是什么函數(shù)關系，此時要通過分析，找出變量間的關系并確定函數(shù)表達式過分析，找出變量間的關系并確定函數(shù)表達式. .【真題專練【真題專練】1.1.如圖，邊長為如圖，邊長為1 1的正方形的正方形ABCDAB

15、CD中，點中，點E E在在CBCB延長線上，連接延長線上，連接EDED交交ABAB于點于點F F，AF=x(0.2x0.8)AF=x(0.2x0.8)，EC=y.EC=y.則在下面函數(shù)圖象中，則在下面函數(shù)圖象中，大致能反映大致能反映y y與與x x之間函數(shù)關系的是之間函數(shù)關系的是 ( () )【解析【解析】選選C.C.由題意知，由題意知，ADFADFBEFBEF，所以，所以 ，即即 所以所以 ，y y與與x x之間的函數(shù)之間的函數(shù)關系是反比例函數(shù)，所以選關系是反比例函數(shù)，所以選C.C.ADAFBEBF1x1 xBEBE1 xx，1 x1y 1xx 2.2.已知矩形的面積為已知矩形的面積為36c

16、m36cm2 2，相鄰兩條邊長分別為，相鄰兩條邊長分別為xcmxcm和和ycmycm，則則y y與與x x之間的函數(shù)圖象大致是之間的函數(shù)圖象大致是( () )【解析【解析】選選A.A.依題意，依題意，xyxy=36=36， ，其圖象為位于一、，其圖象為位于一、三象限的雙曲線，且在每個象限內(nèi)三象限的雙曲線，且在每個象限內(nèi)y y隨隨x x的增大而減小的增大而減小. .又又x0 x0，圖象為第一象限的一個分支，故選圖象為第一象限的一個分支，故選A.A.36yx熱點考向熱點考向 與反比例函數(shù)有關的綜合題與反比例函數(shù)有關的綜合題【例】【例】 如圖，在直角坐標系如圖，在直角坐標系xOyxOy中，中，直線直

17、線y=mxy=mx與雙曲線與雙曲線 相交于相交于A(-1A(-1，a)a)、B B兩點，兩點，BCxBCx軸，垂足為軸，垂足為C C，AOCAOC的面積是的面積是1.1.(1)(1)求求m m，n n的值；的值；(2)(2)求直線求直線ACAC的解析式的解析式. .nyx【思路點撥【思路點撥】(1)(1)(2) (2) 待定系數(shù)法確定解析式待定系數(shù)法確定解析式A(-1A(-1，2) 2) C(1C(1，0)0)【自主解答【自主解答】(1)(1)直線直線y=mxy=mx與雙曲線與雙曲線 相交于相交于A(-1A(-1，a)a)，B B兩點，兩點，AA，B B兩點關于原點兩點關于原點O O對稱對稱.

18、 .A(-1A(-1，a)a)，BB點橫坐標為點橫坐標為1 1，而，而BCxBCx軸，軸，C(1C(1，0).0).AOCAOC的面積為的面積為1 1，A(-1A(-1，2).2).將將A(-1A(-1，2)2)代入代入y=mxy=mx， ，可得可得m=-2m=-2，n=-2.n=-2.nyxnyx(2)(2)設直線設直線ACAC的解析式為：的解析式為：y=kx+b(k0).y=kx+b(k0).y=kx+by=kx+b經(jīng)過點經(jīng)過點A(-1A(-1，2)2)，C(1C(1，0)0)， 解得解得k=-1k=-1，b=1.b=1.直線直線ACAC的解析式為的解析式為y=-x+1.y=-x+1.k

19、b 2k b 0 ，【規(guī)律方法【規(guī)律方法】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用的三個方面一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用的三個方面1.1.探求同一坐標系下兩函數(shù)的圖象常用排除法探求同一坐標系下兩函數(shù)的圖象常用排除法. .2.2.探求兩函數(shù)解析式常利用兩函數(shù)圖象的交點坐標探求兩函數(shù)解析式常利用兩函數(shù)圖象的交點坐標. .3.3.探求兩圖象交點坐標，常利用解方程探求兩圖象交點坐標，常利用解方程( (組組) )的方法求解的方法求解. .【真題專練【真題專練】1.1.如圖，正比例函數(shù)如圖，正比例函數(shù)y y1 1與反比例函數(shù)與反比例函數(shù)y y2 2相交于點相交于點E(-1E(-1，2)2)，若，若y y1 1yy

20、2 200，則，則x x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是( () )【解析【解析】選選A.A.正比例函數(shù)正比例函數(shù)y y1 1與反比例函數(shù)與反比例函數(shù)y y2 2相交于點相交于點E(-1E(-1，2)2)，根據(jù)圖象可知當根據(jù)圖象可知當y y1 1yy2 200時時x x的取值范圍是的取值范圍是x-1x-1，在數(shù)在數(shù)軸上表示為：軸上表示為： ，故選，故選A.A.2.2.已知反比例函數(shù)已知反比例函數(shù) (k0)(k0)和一次函數(shù)和一次函數(shù)y=x-6y=x-6，(1)(1)若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點P(2P(2，m)m)，求，求m

21、m和和k k的的值值. .(2)(2)當當k k滿足什么條件時，兩函數(shù)的圖象沒有交點？滿足什么條件時，兩函數(shù)的圖象沒有交點？kyx【解析【解析】(1)(1)把點把點P(2P(2，m)m)代入代入y=x-6y=x-6，得，得m=-4m=-4，P(2P(2，-4).-4).將將P(2P(2，-4)-4)代入反比例函數(shù)代入反比例函數(shù) ，得，得k=-8.k=-8.(2)(2)由由 得得 =x-6=x-6，x x2 2-6x-k=0-6x-k=0，兩函數(shù)的圖象沒有交點，兩函數(shù)的圖象沒有交點，(-6)(-6)2 2+4k0+4k0，即，即k-9.k01-2m0，解得，解得m .m .mm的取值范圍是的取值

22、范圍是m .m0)(x0)和和 (x0)(x0)的圖象交于點的圖象交于點P P、點、點Q.Q.(1)(1)求點求點P P的坐標的坐標. .(2)(2)若若POQPOQ的面積為的面積為8 8，求，求k k的值的值. .6yxkyx【解析【解析】(1)(1)由題可知，當由題可知，當y=2y=2時，時， ，解得解得x=3.x=3.點點P P的坐標是的坐標是(3(3，2).2).(2)(2)由題可知：由題可知：OM=2.OM=2.SSPOQPOQ= = QPQPOM=8OM=8， QPQP2=82=8，解得，解得QP=8.QP=8.點點P P的坐標是的坐標是(3(3，2)2)，點點Q Q的坐標是的坐標

23、是(-5(-5，2).2).點點Q Q在在 的圖象上，的圖象上，k=-10.k=-10.62x1212kyx【典例【典例】如圖，直線如圖，直線y=2xy=2x與雙曲線與雙曲線 在第一象限的交點為在第一象限的交點為A A，過點，過點A A作作ABxABx軸于點軸于點B B，將，將ABOABO繞點繞點O O旋旋轉轉9090，得到，得到ABOABO，則點，則點AA的坐標為的坐標為. .2yx解：解方程組解：解方程組 得得 或或 ，AA點在第一象限，點在第一象限，AA（1 1，2 2），），AB=2,BD=1AB=2,BD=1，當當ABOABO繞點繞點O O旋轉旋轉9090得到得到 , , , ,點點

24、AA的坐標為（的坐標為（2 2，-1-1）. .22yxyx1112xy2212xyABO 【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】錯誤錯誤分析分析 解題時沒有注意旋轉方向，只考慮到一種情況，漏掉解題時沒有注意旋轉方向，只考慮到一種情況，漏掉另一種情況另一種情況. .正確正確解答解答 解方程組解方程組 得得 或或A A點在第一象限，點在第一象限，A(1A(1，2)2)，AB=2AB=2，BO=1BO=1，當，當ABOABO繞點繞點O O順時針旋順時針旋轉轉9090得到得到ABOABO時，有時，有AB=AB=2AB=AB=2，BO= BO= BO=1BO=1，點點A(2A(2，-1)-1)；當當ABOABO繞點繞點O O逆時針旋轉逆時針旋轉9090得到得到ABOABO時，時，有有AB=AB=2AB=AB=2，BO=BO=1BO=BO=1，點點A(-2A(-2，1).1).答案：答案：(2(2，-1)-1)或或(-2(-2，1)1)11x1y2，22x1y2，y 2x2yx，【規(guī)避策略【規(guī)避策略】當遇到與旋轉有關求點的坐標變化的題目時，若旋轉方向不明當遇到與旋轉有關求點的坐標變化的題目時，若旋轉方向不明確，為避免漏解需運用分類討論思想來求解確，為避免漏解需運用分類討論思想來求解. .