《高三數(shù)學(xué)第一篇七 概率與統(tǒng)計 第2講 概率、離散型隨機變量及其分布 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)第一篇七 概率與統(tǒng)計 第2講 概率、離散型隨機變量及其分布 理（29頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第2 2講講 概率、離散型隨機變量及其概率、離散型隨機變量及其分布分布考情分析考情分析總綱目錄考點一 古典概型與幾何概型考點二 相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗（高頻考點）考點三 隨機變量的分布列、均值與方差考點一 古典概型與幾何概型1.古典概型的概率公式P(A)=.說明說明求事件包含的基本事件數(shù)常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識.mnA事件 所包含的基本事件數(shù)基本事件總數(shù)2.幾何概型的概率公式P(A)=.()()A構(gòu)成事件 的區(qū)域長度 面積或體積試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度 面積或體積典型例題典型例題(1)(2017山東,8,5分)從分別標(biāo)有1,2,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽

2、取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.B.C.D.(2)(2017西安八校聯(lián)考)在平面區(qū)域(x,y)|0 x2,0y4內(nèi)隨機投入一點P,則點P的坐標(biāo)(x,y)滿足yx2的概率為()A.B.C.D.51849597912132334解析解析(1)由題意可知依次抽取兩次的基本事件總數(shù)n=98=72,抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的基本事件個數(shù)m=40,所以所求概率P=.故選C.(2)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為24=8,不等式組表示的平面區(qū)域的面積為x2dx=x3=,因此所求的概率為=,故選B.15C14C22Amn40725902,04xy202,04,xyyx2013208

3、383813答案答案(1)C(2)B方法歸納方法歸納1.古典概型求解的關(guān)鍵點(1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù),這常常用到排列、組合的有關(guān)知識;(2)對于較復(fù)雜的題目計數(shù)時要正確分類,分類時應(yīng)不重不漏.2.幾何概型的適用條件及其關(guān)鍵(1)適用條件:當(dāng)構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時,應(yīng)考慮使用幾何概型求解.(2)關(guān)鍵:尋找構(gòu)成試驗全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域是關(guān)鍵,有時需要設(shè)出變量,在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017廣東五校協(xié)作體第一次診斷考試)從1至9共9個自然數(shù)中任取七個不同的數(shù),則這七個數(shù)的平均數(shù)是5的概率為()A.B.C

4、.D.23131918答案答案C從1至9共9個自然數(shù)中任取七個不同的數(shù)的取法共有=36種,因為1+9=2+8=3+7=4+6,所以從(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)中任選三組,則有=4,故這七個數(shù)的平均數(shù)是5的概率為=,故選C.79C9 8234C436192.(2017廣東五校協(xié)作體第一次診斷考試)在區(qū)間-1,1上隨機取一個數(shù)k,使直線y=k(x+3)與圓x2+y2=1相交的概率為()A.B.C.D.12132423答案答案C若直線y=k(x+3)與圓x2+y2=1相交,則圓心到直線的距離d=1,解得-k,故在區(qū)間-1,1上隨機取一個數(shù)k,使直線y=k(x+3)與圓x2+y2=

5、1相交的概率為P=,選C.2|3 |1kk242422224考點二 相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗(高頻考點)命題點命題點1.條件概率.2.相互獨立事件的概率.3.獨立重復(fù)試驗的概率.1.條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率:P(B|A)=.()( )P ABP A2.相互獨立事件同時發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B).3.獨立重復(fù)試驗、二項分布如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p,那么它在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.Ckn典型例題典型例題(2017天津,16改編)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設(shè)各路口信號燈工作相互獨立,且在各

6、路口遇到紅燈的概率分別為,.(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機變量X的分布列;(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.解析解析(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=1-1-+1-1-+=,P(X=2)=+=,1213141121131141412131412131411211314112411213141211314121311414(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù),則所求事件的概率為P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P

7、(Y=1)P(Z=0)=+=.所以,這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.14112411241411481148P(X=3)=.所以,隨機變量X的分布列為121314124X0123P14112414124方法歸納方法歸納求相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗概率的策略(1)求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件,然后用概率公式求解.(2)一個復(fù)雜事件若正面情況比較多,反面情況較少,則一般利用對立事件進行求解,對于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解.(3)注意辨別獨立重復(fù)試驗的基本特征:在每次試驗中,試驗結(jié)果

8、只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況;在每次試驗中,事件發(fā)生的概率相同.(4)牢記公式Pn(k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n,并深刻理解其含義.Ckn跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017武漢武昌調(diào)研考試)小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游,每人只去一個景點,設(shè)事件A=“4個人去的景點不相同”,事件B=“小趙獨自去一個景點”,則P(A|B)=()A.B.C.D.29134959答案答案 A小趙獨自去一個景點,則有4個景點可選;其余3人只能在剩下的3個景點中選擇,共有333=27種選取方法,所以小趙獨自去一個景點共有427=108種選取方法,4個人去的景點不相同共有4321=24種選取方法,所以P(

9、A|B)=.故選A.24108292.(2017寶雞質(zhì)量檢測(一)現(xiàn)有4個人去參加春節(jié)聯(lián)歡活動,該活動有甲、乙兩個項目可供參加者選擇,為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個項目聯(lián)歡,擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲項目聯(lián)歡,擲出點數(shù)大于2的人去參加乙項目聯(lián)歡.(1)求這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率;(2)求這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)的概率.解析解析依題意,這4個人中,每個人去參加甲項目聯(lián)歡的概率為,去參加乙項目聯(lián)歡的概率為.設(shè)“這4個人中恰好有i人去參加甲項目聯(lián)歡”為事件Ai(i=0,1,2,3,4),則P(Ai)=.(1)

10、這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率P(A2)=.(2)設(shè)“這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)”為事件B,則B=A3A4,故P(B)=P(A3)+P(A4)=+=.這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)13234Ci13i423i24C21322382734C3132344C41319的概率為.19考點三 隨機變量的分布列、均值與方差1.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b為實數(shù)).(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b為實數(shù)).2.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(

11、1-p).(2)若XB(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).典型例題典型例題(2017課標(biāo)全國,18,12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35

12、)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值?解析解析(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知P(X=200)=0.2,P(X=300)=0.4,P(X=500)=0.4.因此X的分布列為2 16903690257490X200300500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為200瓶,因此只需考

13、慮200n500.當(dāng)300n500時,若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則Y=6300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.當(dāng)200n300時,若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300時,Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值,最大值

14、為520元.方法歸納方法歸納求解隨機變量分布列問題的兩個關(guān)鍵點(1)求離散型隨機變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件,然后綜合應(yīng)用各類概率公式求概率.(2)求隨機變量均值與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列,若隨機變量服從二項分布,則可直接使用公式法求解.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)(2017廣西三市第一次聯(lián)考)某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案:應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題,按照題目要求獨立完成.規(guī)定:至少正確完成其中2道題的便可通過.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成,2道題不能完成;應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.(1)分別

15、求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)請分析比較甲、乙兩人誰面試通過的可能性大.解析解析(1)設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為,則的可能取值為1,2,3.P(=1)=;23124236C CC15P(=2)=;P(=3)=.應(yīng)聘者甲正確完成題數(shù)的分布列為214236C CC35304236C CC15123P153515E()=1+2+3=2.設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為,則的可能取值為0,1,2,3.P(=0)=;P(=1)=;15351503C31312713C123213627P(=2)=;P(=3)=.應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)的分布列為23C22313122733C3238270123

16、P1276271227827E()=0+1+2+3=2.(2)因為D()=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2=,D()=3=,所以D()D().綜上所述,從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考察,兩人水平相當(dāng);從做對題數(shù)的方差考察,甲較穩(wěn)定;從至少完成2道題的概率考察,甲面試通過的可能性大.1276271227827223,( )32.33BE 或因為所以153515252313231.(2017課標(biāo)全國,2,5分)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是()A.B.C.D.14812

17、4隨堂檢測隨堂檢測答案答案B設(shè)正方形的邊長為2,則正方形的內(nèi)切圓半徑為1,其中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心對稱,則黑色部分的面積為,所以在正方形內(nèi)隨機取一點,此點取自黑色部分的概率P=,故選B.222 282.(2017安徽兩校階段性測試)將三顆骰子各擲一次,記事件A=“三個點數(shù)都不同”,B=“至少出現(xiàn)一個6點”,則條件概率P(A|B),P(B|A)分別是()A.,B.,C.,D.,60911212609151860919121612答案答案A由題意得事件A包含的基本事件個數(shù)為654=120,事件B包含的基本事件個數(shù)為63-53=91,在B發(fā)生的條件下A發(fā)生包含的基本事件個數(shù)為=60,在

18、A發(fā)生的條件下B發(fā)生包含的基本事件個數(shù)為=60,所以P(A|B)=,P(B|A)=.故選A.13C25A13C25A609160120123.(2017課標(biāo)全國,13,5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=.答案答案1.96解析解析由題意可知XB(100,0.02),由二項分布可得DX=1000.02(1-0.02)=1.96.4.(2017湖南五市十校聯(lián)考)為響應(yīng)國家“精準(zhǔn)扶貧,產(chǎn)業(yè)扶貧”戰(zhàn)略的號召,進一步優(yōu)化能源消費結(jié)構(gòu),某市決定在地處山區(qū)的A縣推進光伏發(fā)電項目.在該縣山區(qū)居民中隨機抽取50戶,統(tǒng)計其年用電量得

19、以下統(tǒng)計表.以樣本的頻率作為概率.用電量(單位:度)(0,200(200,400(400,600(600,800(800,1000戶數(shù)51510155(1)在該縣山區(qū)居民中隨機抽取10戶,記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望;(2)已知該縣某山區(qū)自然村有居民300戶.若計劃在該村安裝總裝機容量為300千瓦的光伏發(fā)電機組,該機組所發(fā)電量除保證該村正常用電外,剩余電量國家電網(wǎng)以0.8元/度的價格進行收購.經(jīng)測算每千瓦裝機容量的發(fā)電機組年平均發(fā)電1000度,試估計該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接收益多少元.解析解析(1)記在抽取的50戶居民中隨機抽取1戶,其年用電量不超過600度為事件A,則P(A)=.由已知可得從該縣山區(qū)居民中隨機抽取10戶,記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為X,X服從二項分布,即XB,故E(X)=10=6.(2)設(shè)該縣山區(qū)居民戶年均用電量為E(Y),由抽樣可得E(Y)=100+300+500+700+900=500(度).則該自然村年均用電約150000度.又該村所裝發(fā)電機組年預(yù)計發(fā)電量為300000度,故該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能剩余電量約150000度,能為該村創(chuàng)造直接收益120000元.35310,535550155010501550550