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第十七章勾股定理,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,知識(shí)框架,,,,,本章總結(jié)提升,,,,互逆定理,,,,如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．,,類型之一運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算或求值,本章總結(jié)提升,整合提升,勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，所以運(yùn)用勾股定理的前提條件是所給的三角形是直角三角形．它把直角三角形這一“形”轉(zhuǎn)化為三邊的“數(shù)”，充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．,本章總結(jié)提升,76,本章總結(jié)提升,[解析]在Rt△A′BC中，BC＝5，A′C＝62＝12，根據(jù)勾股定理，得A′B2＝BC2＋A′C2＝52＋122＝169，所以A′B＝13.因?yàn)锳′A＝6，所以A′B＋A′A＝13＋6＝19，所以這個(gè)“風(fēng)車”的外圍周長是194＝76.,,本章總結(jié)提升,【歸納總結(jié)】在直角三角形中，如果已知兩邊長，那么可以直接利用勾股定理求出第三邊長；若題目中的條件不能確定兩邊長，但能確定兩邊之間的關(guān)系，這時(shí)可以引入未知數(shù)，借助方程思想求解．在題目中如果沒有直角三角形，那么需要通過作高或作垂線，構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理求解．,本章總結(jié)提升,【針對訓(xùn)練】,C,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,[點(diǎn)評]解有關(guān)“折疊”問題時(shí)，首先要弄清楚折疊圖形的前后聯(lián)系，并與勾股定理、方程聯(lián)系起來，將待求線段與有關(guān)線段歸結(jié)到同一個(gè)直角三角形中，用勾股定理構(gòu)造方程使問題得以解決．,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,類型之二操作驗(yàn)證勾股定理,勾股定理的證明方法已多達(dá)400余種(其中大部分是利用面積關(guān)系來證明的)，這些證明方法不僅驗(yàn)證了勾股定理，而且還豐富了研究數(shù)學(xué)問題的思想，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.近年來，動(dòng)手操作驗(yàn)證勾股定理的考題頻頻出現(xiàn)在各地的中考試卷中．,本章總結(jié)提升,例2操作題：剪裁出若干張大小、形狀完全相同的直角三角形，三邊長分別記為a，b，c，如圖17－T－4①.(1)拼圖一：分別用4張直角三角形紙片拼成如圖17－T－4②③的形狀，觀察圖②③可發(fā)現(xiàn)，圖②中兩個(gè)小正方形的面積之和________(填“大于”“小于”或“等于”)圖③中小正方形的面積，用關(guān)系式表示為______________；,等于,a2＋b2＝c2,本章總結(jié)提升,圖17－T－4,本章總結(jié)提升,(2)拼圖二：用4張直角三角形紙片拼成如圖17－T－4④的形狀，觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，圖中共有________個(gè)正方形，它們的面積之間的關(guān)系是_____________________________________________________，用關(guān)系式表示為_______________________．,3,兩個(gè)較小正方形的面積之和等于最大正方形的面積,a2＋b2＝c2,本章總結(jié)提升,[解析]首先認(rèn)真觀察圖形的變化，然后用圖形割補(bǔ)、拼接，由面積不變證明．(1)圖②中兩個(gè)小正方形的邊長分別是a，b，所以它們的面積之和為a2＋b2，圖③中小正方形的邊長為c，所以它的面積為c2，由圖①得a2＋b2＝c2.(2)圖④中共有3個(gè)正方形，它們的面積之間的關(guān)系是兩個(gè)較小正方形的面積之和等于最大正方形的面積，用關(guān)系式表示為a2＋b2＝c2.,本章總結(jié)提升,【歸納總結(jié)】驗(yàn)證勾股定理常用的方法是利用圖形面積之間的恒等變形，其關(guān)鍵是通過面積之間的相等關(guān)系，將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題．,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,解：(1)如圖所示，直角梯形．,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,(3)能，答案不唯一，如圖所示．,本章總結(jié)提升,類型之三利用勾股定理的逆定理判定直角三角形,勾股定理的逆定理是通過同一個(gè)三角形中三條線段之間的平方關(guān)系來確定線段是否垂直．在應(yīng)用該定理時(shí)，若條件中的三條線段不在同一個(gè)三角形中，應(yīng)設(shè)法通過三角形全等、等腰三角形、長方形、正方形以及圖形的軸對稱變換等將它們轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中再判斷．,本章總結(jié)提升,,本章總結(jié)提升,,[解析]可以根據(jù)△ABE的面積和DE的長度，求出AB的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C的度數(shù)是90.,本章總結(jié)提升,4.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，則()A．∠A為直角B．∠C為直角C．∠B為直角D．△ABC不是直角三角形,,A,[解析]∵(a＋b)(a－b)＝c2，∴a2－b2＝c2，即c2＋b2＝a2，故此三角形是直角三角形，a為直角三角形的斜邊，∴∠A為直角．故選A.,【針對訓(xùn)練】,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,類型之四二次根式的混合運(yùn)算,勾股定理是直角三角形的性質(zhì)，是根據(jù)角的度數(shù)得出了三邊的關(guān)系，是“以角定邊”；勾股定理的逆定理是直角三角形的判定，是根據(jù)三角形邊的特殊關(guān)系得出直角，是“以邊定角”．在解題時(shí)，不要將兩者弄混．有些問題，需要綜合運(yùn)用這一組互逆定理才能解決．,本章總結(jié)提升,[解析]先根據(jù)△BCD的三邊長，判斷出△BCD為直角三角形，然后在Rt△ACD中根據(jù)勾股定理列方程求AC的長，從而求△ABC的周長．,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,[歸納總結(jié)]此題綜合應(yīng)用了勾股定理和勾股定理的逆定理．勾股定理是數(shù)形結(jié)合的典范，當(dāng)知道三角形的三邊長時(shí)，一般要用勾股定理的逆定理判斷這個(gè)三角形是不是直角三角形.一定要注意最長邊所對的角為直角．另外，在運(yùn)用勾股定理時(shí)，應(yīng)注意引進(jìn)未知數(shù)，列方程求解．,本章總結(jié)提升,【針對訓(xùn)練】,本章總結(jié)提升,本章總結(jié)提升,類型之五勾股定理及其逆定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用,勾股定理反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用．其關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后建立三角形數(shù)學(xué)模型，利用直角三角形來解決問題．在此過程中，有時(shí)還需要建立方程來求解．勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要定理，它常應(yīng)用于生活中的直角作圖問題．,本章總結(jié)提升,例5在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60方向以每小時(shí)8海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某方向以每小時(shí)15海里的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你能知道乙船沿哪個(gè)方向航行嗎？,本章總結(jié)提升,[解析]根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示．可以看出，由于甲船的航向已知，如果能求出兩船的航向所成的夾角，那么就可以知道乙船的航向了．,本章總結(jié)提升,解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示．BM＝82＝16(海里)，BP＝152＝30(海里)，MP＝34海里．因?yàn)?62＋302＝342，即BM2＋BP2＝MP2，所以△MBP是直角三角形，∠MBP＝90.因?yàn)榧状乇逼珫|60的方向航行，所以∠PBC＝30，即乙船沿南偏東30的方向航行．,本章總結(jié)提升,【針對訓(xùn)練】,本章總結(jié)提升,[解析]因?yàn)槠眱r(jià)與路程成正比，故可將票價(jià)視為路程來處理，即AB＝10，AD＝8，BD＝6，AC＝12.5，CD＝4.5，利用勾股定理求解．,本章總結(jié)提升,