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______________________________________________________________________________________________________________ 待定系數(shù)法分解因式（附答案） 待定系數(shù)法作為最常用的解題方法，可以運(yùn)用于因式分解、確定方程系數(shù)、解決應(yīng)用問(wèn)題等各種場(chǎng)合。其指導(dǎo)作用貫穿于初中、高中甚至于大學(xué)的許多課程之中，認(rèn)真學(xué)好并掌握待定系數(shù)法，必將大有裨益。 內(nèi)容綜述 　　將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個(gè)恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，其后通過(guò)解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問(wèn)題的方法叫做待定系數(shù)法。 　　本講主要介紹待定系數(shù)法在因式分解中的作用。同學(xué)們要仔細(xì)體會(huì)解題的技巧。 要點(diǎn)解析 　　這一部分中，通過(guò)一系列題目的因式分解過(guò)程，同學(xué)們要學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法進(jìn)行因式分解時(shí)的方法，步驟，技巧等。 　　例1 分解因式 思路1 因?yàn)? 所以設(shè)原式的分解式是然后展開(kāi)，利用多項(xiàng)式的恒等，求出m, n,的值。 解法1因?yàn)樗钥稍O(shè) 比較系數(shù)，得 　　由①、②解得把代入③式也成立。 　　∴ 　　思路2 前面同思路1，然后給x,y取特殊值，求出m,n 的值。 　　解法2 因?yàn)樗钥稍O(shè) 　　　　　　　 　　因?yàn)樵撌绞呛愕仁剑运鼘?duì)所有使式子有意義的x,y都成立，那么無(wú)妨令得 令得 　　解①、②得或 　　把它們分別代入恒等式檢驗(yàn)，得 　　∴ 　　說(shuō)明：本題解法中方程的個(gè)數(shù)多于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，必須把求得的值代入多余的方程逐一檢驗(yàn)。若有的解對(duì)某個(gè)方程或所設(shè)的等式不成立，則需將此解舍去；若得方程組無(wú)解，則說(shuō)明原式不能分解成所設(shè)形成的因式。 　　 　　例2 分解因式 　　思路 本題是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，可考慮用待定系數(shù)法將其分解為兩個(gè)二次式之積。 　　解 設(shè) 　　　　　 　　　　　 　　　由恒等式性質(zhì)有： 　　由①、③解得代入②中，②式成立。 　　∴ 　　說(shuō)明 若設(shè)原式 　　由待定系數(shù)法解題知關(guān)于a與b的方程組無(wú)解，故設(shè)原式 例3 在關(guān)于x的二次三項(xiàng)式中，當(dāng)時(shí)，其值為0；當(dāng)時(shí)，其值為0；當(dāng)時(shí)，其值為10，求這個(gè)二次三項(xiàng)式。 思路1 先設(shè)出關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的表達(dá)式，然后利用已知條件求出各項(xiàng)的系數(shù)。可考慮利用恒待式的性質(zhì)。 解法1 設(shè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式為把已知條件分別代入，得 　　　　　　　　　　　　解得 　　故所求的二次三項(xiàng)為 　　思路2 根據(jù)已知時(shí)，其值0這一條件可設(shè)二次三項(xiàng)式為然后再求出a的值。 　　解法2 由已知條件知當(dāng)時(shí)，這個(gè)二次三項(xiàng)式的值都為0，故可設(shè)這個(gè)二次三項(xiàng)式為 　　把代入上式，得 　　解得 　　故所求的二次三項(xiàng)式為即 　　說(shuō)明要注意利用已知條件，巧設(shè)二次三項(xiàng)式的表達(dá)式。 例4 已知多項(xiàng)式的系數(shù)都是整數(shù)。若是奇數(shù)，證明這個(gè)多項(xiàng)式不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。 　　思路先設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，然后利用已知條件及其他知識(shí)推出這種分解是不可能的。 　　證明：設(shè) （m,n,r都是整數(shù)）。 　　比較系數(shù)，得 　　 　　因?yàn)槭瞧鏀?shù)，則與d都為奇數(shù)，那么mr也是奇數(shù)，由奇數(shù)的性質(zhì)得出m,r也都是奇數(shù)。 在①式中令，得② 　　由是奇數(shù)，得是奇數(shù)。而m為奇數(shù)，故是偶數(shù)，所以是偶數(shù)。這樣②的左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)。這是不可能的。 　　因此，題中的多項(xiàng)式不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。 　　說(shuō)明：所要證的命題涉及到“不能”時(shí)，常常考慮用反證法來(lái)證明。 例5 已知能被整除，求證： 　　思路：可用待定系數(shù)法來(lái)求展開(kāi)前后系數(shù)之間的關(guān)系。 　　證明：設(shè)展開(kāi)，比較系數(shù)，得 　　由①、②，得， 　　代入③、④得：， 　　∴ 例6若a是自然數(shù)，且的值是一個(gè)質(zhì)數(shù)，求這個(gè)質(zhì)數(shù)。 　　思路：因?yàn)橘|(zhì)數(shù)只能分解為1和它本身，故可用待定系數(shù)法將多項(xiàng)式分解因式，且使得因式中值較小的為1，即可求a的值。進(jìn)而解決問(wèn)題。 　　解：由待定系數(shù)法可解得 　　 　　 　　由于a是自然數(shù)，且 是一個(gè)質(zhì)數(shù)， 　　∴ 　　解得 　　當(dāng)時(shí)，不是質(zhì)數(shù)。 　　當(dāng) 時(shí)，是質(zhì)數(shù)。 　　∴=11 . 培優(yōu)訓(xùn)練 A級(jí) ★★★1、分解因式_______. ★★★2、若多項(xiàng)式能被 整除，則n=_______. ★★3、二次三項(xiàng)式當(dāng) 時(shí)其值為-3，當(dāng) 時(shí)其值為2，當(dāng) 時(shí)其值為5 ，這個(gè)二次三項(xiàng)式是_______. ★★4、m, n是什么數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式能被整除？ B級(jí) ★★★5、多項(xiàng)式 能分解為兩個(gè)一次因式的積，則k=_____. ★★★6、若多項(xiàng)式 能被整除，則_______. ★★7、若多項(xiàng)式當(dāng)2 時(shí)的值均為0，則當(dāng)x=_____時(shí)，多項(xiàng)式的值也是0。 ★★★8、求證：不能分解為兩個(gè)一次因式的積。 參考答案或提示： 1. 　　提示：設(shè)原式 　　 　　比較兩邊系數(shù)，得 　　　　　　　　　　　　 　　由①、②解得 　　將 代入③式成立。 　　∴原式 　　2、-4。 提示：設(shè)原式 　　　　　　= 　　比較系數(shù)，得 　　　　　　　　　　　 　　由①、②解得 　　代入③得 　　3、 　　提示：設(shè)二次三項(xiàng)式為 　　把已知條件代入，得 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　解得 　　∴所求二次三項(xiàng)式為 　　4. 　　設(shè) 　　　 　　比較系數(shù)，得 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 解得 　　∴當(dāng)m=-11，n=4已知多項(xiàng)式能被整除。 　　5.-2 　　提示：設(shè)原式 　　　　　　　　. 　　比較系數(shù)，得 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 解得 　　6.-7 　　提示：設(shè)原式 　　　　　　　　 　　比較系數(shù)，得 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　解得 　　∴ 　　7.3. 　　提示：設(shè)原式 　　　　　　　　 　　比較系數(shù)，得 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　解得c=3. 　　∴當(dāng)x=3時(shí)，多項(xiàng)式的值也是0. 　　8.設(shè)原式且展開(kāi)后比較系數(shù)，得 　　　　　　　　 　　由④、⑤得代入③，再由①、③得將上述入②得.而這與③矛盾，即方程組無(wú)解。故命題得證。 -可編輯修改-