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第0章場論（FIELD）,目的：場論是描述物理流動的數(shù)學工具。內容：介紹力學中常用的場論知識。場：具有物理量的空間。流場：充滿流體物理量的空間。,,物理量作為空間點位置M和時間t的函數(shù)，t作為參變量。,流體力學中常見的物理量,,density,temperature,pressure,stress,velocity,strain,向量場（函數(shù)）,標量場（函數(shù)）,張量場（函數(shù)）,,,,field1:1func.,spacepoint,,向量(vector)：3個元素表示的既有大小又有方向的量,0.1標量、向量、張量,（1）概念標量（scalar）：1個元素表示的只有大小沒有方向的量,,二階張量（tensorof2ndorder）：9個元素表示的量,n階張量（tensorofnthorder）：3n個元素表示的量,（2）場的幾何描述,標量場的等值線（面）：時刻場中數(shù)值相同的點組成的曲面。,等值線,在某一高度上沿什么方向高度變化最快？,表示標量在場中的分布。,,,,,向量場的向量線：向量線上每一點處曲線與對應于該點的向量相切。,描述向量在場中的分布。,向量線連續(xù)分布，一般互不相交。,,l,(1)Einstein求和符號：式子中成對出現(xiàn)的啞指標。,0.2向量及張量的基本運算,0.2.1向量運算符號規(guī)定,,,式中i,j是自由指標，表示坐標方向?？蓪懽?,,,任意兩個正交坐標軸單位向量的點積,(2)Kroneckerδ符號：,δ參與表達式運算的結果：沖掉一個自由指標,置換法則：3個自由指標順時針排列為正，否則為負。任意2個自由指標對換后差一個負號，如,式中i,j是自由指標，稱為置換符號。,,,(3)Ricci（置換）符號：任意兩個正交單位向量的叉積,,?和δ符號之間有關系,兩個自由指標相同，如,自由指標偶次置換，如,自由指標奇次置換，如,,0.2.2向量運算的常用公式,（1）,,,,,,,,,,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,,0.2.3向量分量的坐標轉換,討論新、老坐標軸中單位向量及向量分量之間的轉換關系。,,,,(i,j=1,2,3),,或,表0.1坐標軸間方向余弦,又,點乘,得,單位向量之間的轉換關系：,即可得如下六個關系式,,或,,向量分量之間的轉換關系：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,表0.1坐標軸間方向余弦,a與坐標系無關，有,0.2.4二階張量及其基本運算,,,二階張量及其基本運算規(guī)則,①,②,③,④,⑤,二階張量的坐標變換,,(,),(,),,eg.,,方向導數(shù)：,,,,,l方向單位向量,,,,03標量場的方向導數(shù)和梯度,剃度表示物理量在一點鄰域內的變化。,（1）梯度的定義,,,,,,,Hamilton算子（Nabla）,記,則,當,即與方向一致時,為最大。,注：算子具有微分和向量雙重運算性質，適用于任意正交坐標系，在不同坐標系中表達形式不同。推導或證明公式時用直角坐標系簡便。,,,,,梯度(Gradient),高度場的梯度,與過該點的等位線垂直；,數(shù)值等于該點的最大方向導數(shù)；,②梯度垂直于標量φ的等值面，且指向φ增大的方向。,（3）梯度的應用（性質）①梯度在方向的投影等于標量φ在該方向的方向導數(shù),,,,,計算增量,計算曲面法線,,,,,,,,由梯度可計算物理量φ沿l方向經(jīng)過dl距離的增量。,（為常數(shù)）,①,②,④,⑤,（為常數(shù)）,③,（5）向量的梯度是一個二階張量,（4）梯度運算的基本公式,Example0.2Given:Prove:,Example0.1：求曲面的法線單位向量,,Solution:,,Solution:（書p4）,稱為向量a通過曲面S的通量。若a為流速v，Q＝流量。,04向量場的通量和散度,通量：在向量場a中曲面S的法向量為n，則,,,,圖0.4.1通量,,,,,物理量的散度可用來判別向量場是否有源。,若向量場中??a=??0，稱之為有源場，?稱為源（強）密度；若向量場中處處??a=0，稱之為無源場。,,,,,,,⑴,（為常數(shù)）,散度的基本運算公式：,（2),(為標量）,（3),05向量場的環(huán)量和旋度,物理量的旋度可用來判別向量場是否有旋。,,,,,,,,,,,無源無旋的向量場是調和場,,（Laplaceoperator）,（Laplace方程）,滿足Laplace方程,且具有二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)稱為調和函數(shù)，這時向量場a稱為調和場。,Gauss公式——JonhanGauss(1777-1855),,,n為體積V閉邊界面S的單位外法向量，若物理量a或φ在V+S上一階偏導數(shù)連續(xù)，則有,散度定理,,源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，體積分后，為穿出閉合面S的通量,06廣義Gauss公式及Stokes公式,Stokes公式——SirGeorgeStokes(1819-1903）,,,,若l為曲面S的邊界線，且可縮，向量a在S+l上一階偏導數(shù)連續(xù)，則,,,,,,,,,0.7Hamilton算子、梯度、散度、旋度和調和量——在正交曲線坐標系中的表示式,向量：（正交曲線坐標系）,0.7.2正交曲線坐標系中的弧微分和拉梅系數(shù),,,,,,,,,,,,空間曲線的弧微分：（直角坐標系）,,,曲線坐標和直角坐標之間有變換關系:,,當為坐標曲線上的微分弧長時，,,坐標線的弧微分：,,,,,,,例：,0.7.3正交曲線坐標系中常用表示式,,,,,,