《八年級數(shù)學(xué)下冊 第一部分 基礎(chǔ)知識篇 第3課 一元二次方程及解法 一元二次方程例題課件 浙教版.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《八年級數(shù)學(xué)下冊 第一部分 基礎(chǔ)知識篇 第3課 一元二次方程及解法 一元二次方程例題課件 浙教版.ppt（36頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

例1.方程(1)m取何值時是一元二次方程，并求出此方程的解;(2)m取何值時是一元一次方程.,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,(1)若方程是一元二次方程，則m2+1=2，∴m=1．顯然m=﹣1時m+1=0不合題意舍去,故m=1符合題意．當(dāng)m=1時，原方程可化簡為2x2﹣2x﹣1=0，,(2)當(dāng)m+1=0時,解得m=﹣1,此時方程為﹣4x﹣1=0.符合題意,,例1.方程(1)m取何值時是一元二次方程，并求出此方程的解;(2)m取何值時是一元一次方程.,當(dāng)m2+1=1時，解得m=0，此時方程為﹣2x﹣1=0，,∴當(dāng)m=﹣1或m=0時，方程為一元一次方程．,舉一反三,思路分析:一元二次方程就是含有一個未知數(shù)，并且最高項的次數(shù)是2的整式方程，依據(jù)定義即可判斷．,當(dāng)m取何值時，是一元二次方程，并求此方程的根．,失誤防范,1.一元二次方程的定義：含有一個未知數(shù)，并且最高項的次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程,2.一元二次方程滿足的條件：（1）二次項系數(shù)不為0；（2）最高項次數(shù)為2.,例2.已知x1=-1是方程的一個根，求m的值及方程的另一根x2,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,將x=﹣1代入方程x2+mx﹣5=0中，得：1-m﹣5=0，解得：m=-4.,當(dāng)m=-4時，原方程為x2﹣4x﹣5=（x+1）（x﹣5）=0，解得：x1=﹣1，x2=5,,∴m=-4,方程的另一根為5．,例2.已知x1=-1是方程的一個根，求m的值及方程的另一根x2,舉一反三,思路分析:將x=﹣1代入原方程求出m值，再將m得值代入原方程利用十字相乘法即可求出方程的另一根．,已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3=0．若x=﹣1是方程的一個根．求m的值和方程的另一根．,失誤防范,一元二次方程的解法------因式分解法：1.步驟：（1）把方程的一側(cè)的數(shù)(包括未知數(shù))，通過移動使其值化成0；（2）把方分類體系程的另一側(cè)各項化成若干因式的乘積；（3）然后分別令各因式等于0.,失誤防范,一元二次方程的解法------因式分解法：2.分解因式技巧掌握：（1）等式左邊必須是多項式；（2）分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示；（3）每個因式必須是整式，且每個因式的次數(shù)都必須低于原來多項式的次數(shù)；（4）分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止.,例3.解下列方程：,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,(1)由原方程，得(1-x)2=3，,(2)移項，得4(3x+1)2-25(x-2)2=0，將方程的左邊因式分解，得[2(3x+1)-5(x-2)][2(3x+1)+5(x-2)]=0即(x+12)(11x-8)=0則x+12=0或11x-8=0解得,,(3)兩邊都加上36，得x2-12x+36=9964+36，即(x-6)2=10000則x-6=100或x-6=-100解得,(4)對于方程,舉一反三,思路分析:（1）利用配方法得到（x+2）2=6，然后利用直接開平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用配方法解方程．,用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2+4x=2；（2）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2=0；（3）（2x+1）2+4（2x+1）+4=0.,失誤防范,1.一元二次方程的解法：因式分解法，配方法，直接開平方法，公式法等.,2.配方法：用配方法的小口訣：二次系數(shù)化為一，分開常數(shù)未知數(shù)，一次系數(shù)一半方，兩邊加上最相當(dāng)3.公式法：首先要通過Δ=b-4ac的根的判別式來判斷一元二次方程有幾個根1.當(dāng)Δ=b-4ac0時x有兩個不相同的實數(shù)根當(dāng)判斷完成后，若方程有根可根屬于2、3兩種情況方程有根則可根據(jù)公式：來求得方程的根,例4.閱讀材料：為解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我們可以將x2-1視為一個整體，然后設(shè)x2-1=y，則(x2-1)2=y2，原方程化為y2-5y+4=0,①解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時，x2﹣1=1．∴x2=2．∴x=；當(dāng)y=4時，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=．∴原方程的解為x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣解答問題：（1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想．（2）解方程：x4﹣x2﹣6=0．,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,（1）換元轉(zhuǎn)化；（2）設(shè)y=x2，原方程可化為y2﹣y﹣6=0，因式分解，得(y-3)(y+2)=0,解得y1=3，y2=﹣2，當(dāng)y=3時，x2=3，∴x=.當(dāng)y=-2時，x2=-2，不合題意，故舍去.∴原方程的解為x1=，x2=﹣.,舉一反三,閱讀材料：解答問題為解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我們可以將x2-1視為一個整體，然后設(shè)x2-1=y，則(x2-1)2=y2，原方程化為y2-5y+4=0,①解得y1=1，y2=4當(dāng)y=1時，x2﹣1=1．∴x2=2．∴x=；當(dāng)y=4時，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=．∴原方程的解為x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣上述解題方法叫做換元法；請利用換元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0．,舉一反三,思路分析:先把x2﹣x看作一個整體，設(shè)x2﹣x=y，代入得到新方程y2﹣4y﹣12=0，利用求根公式可以求解．,答案：設(shè)x2﹣x=y，那么原方程可化為y2﹣4y﹣12=0解得y1=6，y2=﹣2當(dāng)y=6時，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0∴x1=3，x2=﹣2當(dāng)y=﹣2時，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0∵△=（﹣1）2﹣412＜0∴方程無實數(shù)解∴原方程的解為：x1=3，x2=﹣2．,失誤防范,1.換元法概念：換元法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。,失誤防范,2.換元法經(jīng)驗：換元法，可以運用于因式分解、解方程或方程組等方面。換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，對于一些較繁較難的數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)問題的特點，進(jìn)行巧妙的換元，則可以收到事半功倍的效果，現(xiàn)舉例說明.3.換元法形式：換元法主要有雙換元、整體換元、均值換元、倒數(shù)換元幾種形式.,失誤防范,4.等價轉(zhuǎn)化思想：等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題.等價轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧.,例5.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有兩個不相等的實數(shù)根.（1）求k的取值范圍；（2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值.,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,（1）b2-4ac=4﹣4（2k﹣4）=20-8k＞0.∵方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴20-8k＞0，∴k＜（2）由（1）知k＜∵k為正整數(shù)，∴k=l或k=2.利用求根公式表示出方程的解為∵方程的根為整數(shù)，∴5-2k為完全平方根.當(dāng)k=l時，5-2k=3不是完全平方根，舍去；當(dāng)k=2時，5-2k=1是完全平方根，符合題意.∴k=2．,已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3=0有兩個不相等的實數(shù)根.（1）求k的取值范圍；（2）若k為大于3的整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值．,舉一反三,思路分析:（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于0列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍；（2）找出k范圍中的整數(shù)解確定出k的值，再將k的值代入原方程，求出方程的根，經(jīng)檢驗即可得到滿足題意的k的值．,答案：（1）△=（﹣6）2﹣4（k+3）=36﹣4k﹣12=﹣4k+24，∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴﹣4k+24＞0．解得k＜6；（2）∵k＜6且k為大于3的整數(shù)，∴k=4或5．①當(dāng)k=4時，方程x2﹣6x+7=0的根不是整數(shù)．∴k=4不符合題意；②當(dāng)k=5時，方程x2﹣6x+8=0根為x1=2，x2=4均為整數(shù)．∴k=5符合題意．綜上所述，k的值是5．,失誤防范,1.根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．,失誤防范,2.公式法解一元二次方程：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac≥0時，將a、b、c代入式子就得到方程的根．(公式所出現(xiàn)的運算，恰好包括了所學(xué)過的六中運算，加、減、乘、除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。)（2）這個式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．公式的理解：由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根．,例6.已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求k的值．,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,（1）證明：∵一元二次方程為x2-(2k+1)x+k2+k=0.[-（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0，∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根.（2）∵△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，由（1）知AB≠AC，第三邊BC的長為5，且△ABC是等腰三角形，∴必然有AB=5或AC=5，即x=5是原方程的一個解，將x=5代入方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0，25﹣5（2k+1）+k2+k=0，解得k=4或k=5.當(dāng)k=4時，原方程x2﹣9x+20=0，x1=5，x2=4，以5,5,4為邊長能構(gòu)成等腰三角形；當(dāng)k=5時，原方程x2﹣11x+30=0，x1=5，x2=6，以5,5,6為邊長能構(gòu)成等腰三角形.∴k的值為4或5．,舉一反三,已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3=0（k是正整數(shù)）．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）求方程的較大根．,舉一反三,思路分析:（1）根據(jù)一元二次方程的定義得k≠0，再計算判別式得到△=（2k﹣1）2，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即k的取值得到△＞0，則可根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）根據(jù)求根公式求出方程的根，再根據(jù)k是正整數(shù)即可得出結(jié)論．,答案：（1）證明：k≠0，△=[﹣（4k+1）]2﹣4k（3k+3）=4k2﹣4k+1=（2k﹣1）2，∵k為不等于0的整數(shù)，∴（2k﹣1）2＞0，∴△＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）∵△=[﹣（4k+1）]2﹣4k（3k+3）=（2k﹣1）2，∴x=3或x=1+，∵k是正整數(shù)，∴≤1，∴1+＜3，∴方程的較大根是3．,失誤防范,1.公式法解一元二次方程適用范圍：可解全部一元二次方程首先，要通過Δ=b2-4ac的根的判別式來判斷一元二次方程有幾個根當(dāng)Δ=b2-4ac0時x有兩個不相同的實數(shù)根.當(dāng)判斷完成后，若方程有根可根屬于2、3兩種情況方程有根則可根據(jù)公式法來求得方程的根,失誤防范,2.用公式法解一元二次方程的一般步驟：(1)把方程化成一般形式，并寫出a,b,c的值;(2)求出b2-4ac的值;(3)代入求根公式;(4)寫出方程的解.,例7.設(shè)a,b,c是△ABC的三邊長，關(guān)于x的方程x2+x+2c﹣a=0有兩個相等的實數(shù)根，方程3cx+2b=2a的根為0.（1）求證：△ABC為等邊三角形；（2）若a，b為方程x2+mx﹣3m=0的兩根，求m的值．,重點中學(xué)與你有約,解題技巧,（1）證明：∵方程x2+x+2c﹣a=0有兩個相等的實數(shù)根，∴（）2﹣4（2c﹣a）=0，∴b+a=2c，∵方程3cx+2b=2a的根為0，∴b=a，∴b=a=c，∴△ABC為等邊三角形.（2）∵a，b為方程x2+mx﹣3m=0的兩根，又∵由（1）a=b，∴m2﹣4（﹣3m）=0，∴m1=0，m2=﹣12．∵a，b，c是△ABC的三邊長，∴a＞0，經(jīng)檢驗m=﹣12符合題意，∴m=﹣12．,已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0，其中a，b，c分別為△ABC三邊長．（1）若方程有兩個相等的實數(shù)根．試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）若△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．,舉一反三,舉一反三,思路分析:（1）根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根得出△=0，即可得出a2=b2+c2，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；（2）根據(jù)等邊進(jìn)行得出a=b=c，代入方程化簡，即可求出方程的解．,答案：（1）△ABC是直角三角形，理由是：∵關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0有兩個相等的實數(shù)根，∴△=0，即（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴a=b=c，∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0可整理為2ax2﹣2ax=0，∴x2﹣x=0，解得：x1=0，x2=1．,失誤防范,1.一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根.2.等邊三角形的判定：三邊相等的三角形是等邊三角形．,