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1、不等式證明 證明書(shū) 不等式證明 不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)根底知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。 一、不等式的初等證明方法 1.綜合法：由因?qū)Ч? 2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證.. (1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或

2、者是充要條件。 (2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書(shū)寫(xiě)不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”開(kāi)展表達(dá)。 3.反證法：正難則反。 4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有： (1)添加或舍去一些項(xiàng)，如： 2)利用基本不等式，如： (3)將分子或分母放大(或縮小)： 5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題 化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。 6.構(gòu)造法：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明

3、不等式。 證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。 7.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專(zhuān)門(mén)研究。 8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來(lái)完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的成效。 9.函數(shù)法：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)到達(dá)證明不等式的目的。 10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來(lái)證明一些不等式的方法。當(dāng) a>0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△0)。當(dāng) a0

4、(或0(或< 0)。 二、部分方法的例題 1.換元法 換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過(guò)變量替換可以改變問(wèn)題的構(gòu)造，便于開(kāi)展比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。 注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎剑瑹o(wú)理式變?yōu)橛欣硎?，能?jiǎn)化證明過(guò)程。尤其對(duì)含有若干個(gè)變?cè)凝R次輪換式或輪換對(duì)稱(chēng)式的不等式，通過(guò)換元變換形式以揭露內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。 2.放縮法 欲證 A≥B，可將 B適當(dāng)放大，即 B1≥B，只需證明 A≥B1。相反，將 A適當(dāng)縮小，即 A≥A1，只需證明 A1≥B即可。 注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過(guò)大或縮得過(guò)小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處開(kāi)展放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。 3.幾何法 數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來(lái)完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的成效。