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第六章剪切與扭轉(zhuǎn),學(xué)習(xí)目標(biāo)：熟悉剪切與擠壓桿件的受力和變性特征、剪切虎克定律與剪應(yīng)力互等定理。掌握圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力及應(yīng)力，能進(jìn)行圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算。,第一節(jié)剪切與擠壓的概念,一、剪切1、剪切的概念兩塊鋼板由一鉚釘連接的簡圖，如圖6-1所示,類似于鉚釘，桿件受到一對大小相等、方向相反、作用線平行且相距很近并垂直桿軸的外力作用，兩力間的橫截面將沿外力的方向發(fā)生相對錯(cuò)動(dòng)，這種變形稱為剪切變形。剪切面上與截面相切的內(nèi)力稱為剪力，如圖6-1（d）所示。,發(fā)生相對錯(cuò)動(dòng)的截面稱為剪切面。只有一個(gè)剪切面的情況為單剪；同時(shí)存在兩個(gè)剪切面的情況稱為雙剪。,2、剪切的計(jì)算,以圖6-1(a)所示兩鋼板中的鉚釘為研究對象，其受力情況如圖6-3(a)所示。首先用截面法求m-m截面的內(nèi)力，將鉚釘沿m-m截面假想的截開，分為上下兩部分，如圖6-3(b)所示。取其中任一部分為研究對象，根據(jù)靜力平衡條件，在剪切面內(nèi)必有一個(gè)與該截面相切的剪力，由平衡條件得：,,,,,,,,受剪面上的剪力是沿著截面作用的，因此在截面上各點(diǎn)處均引起相應(yīng)的剪應(yīng)力。通常剪應(yīng)力在剪切面上的分布情況比較復(fù)雜，為便于工程計(jì)算，一般假設(shè)剪應(yīng)力在剪切面上均勻分布，剪應(yīng)力的計(jì)算公式為：為剪切面上的剪力；A為受剪面的面積。為了保證構(gòu)件在工作中不發(fā)生剪切破壞，必須使構(gòu)件工作時(shí)產(chǎn)生的剪應(yīng)力，不超過材料的許用剪應(yīng)力，即：,,,,二、擠壓,1、擠壓的概念螺栓、鉚釘和銷釘?shù)嚷?lián)接件，在承受剪切作用發(fā)生剪切變形的同時(shí)，還在聯(lián)接件和被聯(lián)接件的接觸面上相互壓緊，這種局部受壓的現(xiàn)象稱為擠壓。如圖6-4所示作用在擠壓接觸面上的壓力稱為擠壓力。發(fā)生局部擠壓的接觸面稱為擠壓面。,2、擠壓的計(jì)算,由擠壓力引起的應(yīng)力稱為擠壓應(yīng)力，用表示。擠壓應(yīng)力的計(jì)算公式：為擠壓面上的擠壓力；為計(jì)算擠壓面積為保證聯(lián)結(jié)件正常工作，應(yīng)有足夠的擠壓強(qiáng)度，其強(qiáng)度條件為：,,,,,,,,第二節(jié)剪應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律,一、剪應(yīng)力互等定理在一薄壁圓筒表面上繪制多條等間距的圓周線和縱向水平線，使其表面形成許多大小相同的矩形網(wǎng)格，如圖6-5（a）所示。然后在該薄壁圓筒的兩端施加一對等值反向的外力偶，使其產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖6-5（b）所示。結(jié)果顯示：在小變形情況下，各圓周線的大小和間距沒有變化，只是繞筒軸線作相對轉(zhuǎn)動(dòng)；各縱向線仍為直線，但都傾斜了相同的角度，所有矩形都變成了同樣形狀和大小的平行四邊形。由實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，可做出以下推斷：由于兩任意圓周線間的距離不變，故圓筒橫截面上沒有正應(yīng)力存在；因垂直于半徑的小方格發(fā)生了相對錯(cuò)動(dòng)，所以圓筒橫截面上必然存在剪應(yīng)力，且其方向垂直于半徑；因圓筒壁很薄，可以認(rèn)為沿壁厚剪應(yīng)力及剪應(yīng)變都是均勻分布的。,在單元體兩個(gè)互相垂直的平面上，同時(shí)存在垂直于公共棱邊且數(shù)值相等的剪應(yīng)力，其方向均指向或背離兩平面的交線。這種關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等定理。,二、剪切胡克定律,如果單元體上只存在剪應(yīng)力而無正應(yīng)力，這種單元體的受力狀態(tài)稱為純剪應(yīng)力狀態(tài)，如圖6-5（c）、（d）所示。當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比。,,上式稱為剪切胡克定律。式中,,比例常數(shù)，稱材料的切變模量,與材料性質(zhì)有關(guān)，可用實(shí)驗(yàn)的方法得出，常用單位為,材料的切變模量與彈性模量、泊松比的關(guān)系為,第三節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力及應(yīng)力,一、扭轉(zhuǎn)1、扭轉(zhuǎn)的概念：在外力作用下，桿件各橫截面均繞桿軸線相對轉(zhuǎn)動(dòng)，桿軸線始終保持直線，這種變形形式稱為扭轉(zhuǎn)變形。,2、外力偶矩,工程中一般不直接給出作用于軸上的外力偶矩，只給出傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速及其所傳遞的功率。它們之間的關(guān)系為：式中：為作用在軸上的外力偶矩；P為傳動(dòng)軸所傳遞的功率；n為傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速。通常，輸入力偶矩為主動(dòng)力偶矩，其轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向相同；輸出力偶矩為阻力偶矩，其轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向相反。,,,,【例6-1】如圖6-7所示傳動(dòng)軸，功率由主動(dòng)輪B輸入，輸入功率，通過從動(dòng)輪A、C輸出，輸出功率分別為，，已知轉(zhuǎn)速，試計(jì)算其外力偶距。,,,,,【解】：A、B、C三輪上的外力偶矩，可由式（6-7）分別計(jì)算得出。,,,,二、內(nèi)力,1、扭矩等截面圓桿AB，如圖6-8（a）所示。桿兩端作用一對方向相反，力偶矩均為Me的外力偶。采用截面法分析圓桿AB的內(nèi)力。在桿AB的任意橫截面m-m處將桿假想地截成兩部分，取其左段為研究對象，如圖6-8（b）所示。因隔離體處于平衡狀態(tài)，則m-m橫截面上必存在一個(gè)內(nèi)力偶矩，用Mt表示。內(nèi)力偶矩Mt的矢量方向與所在橫截面垂直。,由平衡條件：得Mt-Me=0即：Me=Mt式中：Mt稱為m-m橫截面上的扭矩。若取m-m截面右段為研究對象，則求得m-m截面上的扭矩與用左段為研究對象所求得的扭矩大小相等，方向相反，如圖6-8（c）所示。,,,,為使兩種算法所得到的同一截面上的扭矩不僅數(shù)值相等，而且正負(fù)號相同，對扭矩的正負(fù)號規(guī)定如下：按右手螺旋法則，讓四個(gè)手指與扭矩的轉(zhuǎn)向一致，大拇指伸出的方向與截面的外法線n方向一致時(shí)，為正，如圖6-9（a）所示；反之為負(fù)，如圖6-9（b）所示。,注：用截面法計(jì)算扭矩時(shí)，通常先假設(shè)扭矩為正，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果的正負(fù)確定扭矩的實(shí)際方向。,2、扭矩圖,一般情況下，沿桿件軸線各橫截面上的扭矩會(huì)隨外力偶矩的變化而變化，扭矩Mt是橫截面位置x的函數(shù)，,,【例6-2】試畫出如圖6-10（a）所示軸的扭矩圖。,【解】：（1）計(jì)算扭矩如圖6-10（b）所示，將軸分為2段，逐段計(jì)算扭矩。對AB段：,,,對BC段：,,,（2）畫扭矩圖根據(jù)計(jì)算結(jié)果，按比例畫扭矩圖，如圖6-10（c）示。,三、應(yīng)力1、變形現(xiàn)象與假設(shè),在圓截面直桿的表面上劃上許多等距離的平行于桿軸線方向的縱向線和垂直于桿軸線方向的圓周線，這些線條將圓桿表面分成多個(gè)矩形網(wǎng)格，如圖6-11（a）所示。在桿件兩端施加外力偶矩，圓桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖6-11（b）所示。,2、橫截面上的剪應(yīng)力,用截面m-m和n-n從圖6-11（b）中圓軸上取出長為dx的一微段桿，如圖6-12（a）所示；再從此微段桿中取出一半徑為ρ的圓柱體，如圖6-12（b）所示。若n-n截面相對于m-m截面轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度dφ，稱dφ為dx段的扭轉(zhuǎn)角。,由公式（6-9）可知，當(dāng),剪應(yīng)力達(dá)最大值。即,令,則圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上的最大剪應(yīng)力為：,式中,注：上述公式均只適用于圓軸在線彈性范圍內(nèi)的扭轉(zhuǎn)。,等于橫截面半徑r時(shí)，,稱為截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，只與截面形狀、尺寸有關(guān)，常用單位為,,2、圓截面極慣性矩及截面扭轉(zhuǎn)系數(shù)的計(jì)算,實(shí)心圓截面如圖6-15（a）所示，在距圓心為ρ處，取寬度為dρ的環(huán)形面積作為面積元素，，則實(shí)心圓截面極慣性矩為：,,,,式中d為實(shí)心圓截面的直徑,實(shí)心圓截面的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)為,,均為正值,對如圖6-15（b）所示的空心圓桿，慣性矩及扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)分別為：,,,,,式中d為內(nèi)徑；D為外徑，,【例6-3】內(nèi)徑d＝60㎜，外徑D＝100㎜的空心圓軸的橫截面，如圖6-16所示。在扭矩＝6KN.m作用時(shí)，計(jì)算＝40㎜的A點(diǎn)處的剪應(yīng)力及橫截面上的最大、最小剪應(yīng)力。,,,解：（1）計(jì)算截面的極慣性矩,（2）計(jì)算剪應(yīng)力,,最大剪應(yīng)力發(fā)生在空心圓軸外表面，即:,處,,最小剪應(yīng)力發(fā)生在空心圓軸內(nèi)表面，即處,,,第四節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算,等截面圓軸的強(qiáng)度條件為整個(gè)圓軸截面上的最大剪應(yīng)力不超出材料的許用剪應(yīng)力，有:,,,,式中：材料的許用剪應(yīng)力，可通過扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)測得材料的極限剪應(yīng)力后，除以安全系數(shù)得到。,【解】（1）內(nèi)力計(jì)算作圓軸的扭矩圖，如圖6-17（ｂ）所示。,AB段扭矩,BC段扭矩,,,注：由于AB、BC兩段的直徑、扭矩各不相同，無法直接確定整個(gè)軸最大剪應(yīng)力所在的危險(xiǎn)截面位置，應(yīng)分段校核。,（2）扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)計(jì)算,AB段軸的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù),,BC段軸的扭轉(zhuǎn)截面系數(shù),,（3）強(qiáng)度校核,AB段軸的最大剪應(yīng)力,,BC段軸的最大剪應(yīng)力,,故AB段的強(qiáng)度是安全的，BC段強(qiáng)度不足，經(jīng)校核階梯軸的強(qiáng)度不夠。,