《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時作業(yè)9 直線與橢圓的位置關(guān)系 新人教A版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時作業(yè)9 直線與橢圓的位置關(guān)系 新人教A版選修2-1（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、課時作業(yè)9　直線與橢圓的位置關(guān)系 |基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．直線y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系為(　　) A．相切　　　　　　　　B．相交 C．相離 D．不確定 解析：直線y＝kx－k＋1可變形為y－1＝k(x－1)，故直線恒過定點(diǎn)(1,1)，而該點(diǎn)在橢圓＋＝1內(nèi)部，所以直線y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1相交，故選B. 答案：B 2．橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為，則的值是(　　) A. B. C. D. 解析：由消去y得，(m＋n)x2－2nx＋n－1

2、＝0. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中點(diǎn)為(x0，y0)， 則x1＋x2＝，∴x0＝， 代入y＝1－x得y0＝. 由題意＝，∴＝，選A. 答案：A 3．若直線mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個數(shù)(　　) A．至多一個 B．2個 C．1個 D．0個 解析：因?yàn)橹本€mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)， 所以>2， 所以m2＋n2<4， 所以n2<4－m2， 所以＋<＋＝1－m2<1， 所以點(diǎn)(m，n)在橢圓＋＝1內(nèi)部， 所以過點(diǎn)(m，n)的直線與橢圓有2個交點(diǎn)． 故選B. 答案：B

3、4．(高考新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：直線AB的斜率k＝＝， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 ①－②得＝－·， 即k＝－×， 所以＝.③ 又a2－b2＝c2＝9，④ 由③④得a2＝18，b2＝9. 所以橢圓E的方程為＋＝1.故選D. 答案：D 5．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋y2＝1的左，右焦點(diǎn)，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時，·的值等于(

4、　　) A．0 B．2 C．4 D．－2 解析：由題意得c＝＝， 又S四邊形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h為F1F2邊上的高)，所以當(dāng)h＝b＝1時，S四邊形PF1QF2取最大值，此時∠F1PF2＝120°. 所以·＝||·||·cos120° ＝2×2×＝－2.故選D. 答案：D 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．橢圓x2＋4y2＝16被直線y＝x＋1截得的弦長為________． 解析：由 消去y并化簡得x2＋2x－6＝0. 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則x1＋x2＝－2，x1x2＝－6. ∴弦長

5、|MN|＝|x1－x2| ＝ ＝＝. 答案： 7．過橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為________． 解析：右焦點(diǎn)為(1,0)，故直線為y＝2(x－1)． 由消去y， 得3x2－5x＝0. 所以x＝0或x＝， 從而A(0，－2)，B. 所以|AB|＝＝＝. 又O到AB的距離d＝＝， 所以S△AOB＝·|AB|·d＝××＝. 答案： 8．已知動點(diǎn)P(x，y)在橢圓＋＝1上，若A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，||＝1，且·＝0，則的最小值是________． 解析：易知點(diǎn)A(3,0)是橢圓的右焦點(diǎn)． ∵·＝0，

6、∴⊥. ∴||2＝||2－||2＝||2－1， ∵橢圓右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)A的距離最小，故||min＝2，∴||min＝. 答案： 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．若直線y＝kx＋1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1總有公共點(diǎn)，求m的取值范圍． 解析：∵直線y＝kx＋1過定點(diǎn)A(0,1)． 由題意知，點(diǎn)A在橢圓＋＝1內(nèi)或橢圓上， ∴＋≤1，∴m≥1. 又橢圓焦點(diǎn)在x軸上，∴m<5， 故m的取值范圍為[1,5)． 10．已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓＋＝1所截得的線段的中點(diǎn)． (1)求直線l的方程； (2)求直線l被橢圓截得的弦長． 解析：(1)法一：(根與系數(shù)關(guān)系法)

7、由題意可設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－4)， 而橢圓的方程可以化為x2＋4y2－36＝0. 將直線方程代入橢圓方程有 (4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0. 所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－. 所以直線l的方程為y－2＝－(x－4)， 即x＋2y－8＝0. 法二：(點(diǎn)差法)設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 兩式相減，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0. 又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 所以＝－，即k＝－. 所以直線l的方程為x＋2y－8＝0. (2)由題意可知直線l的

8、方程為x＋2y－8＝0，聯(lián)立橢圓方程得x2－8x＋14＝0. 法一：解方程得 所以直線l被橢圓截得的弦長為 ＝. 法二：因?yàn)閤1＋x2＝8，x1x2＝14. 所以直線l被橢圓截得的弦長為 ＝. |能力提升|(20分鐘，40分) 11．橢圓ax2＋by2＝1與直線y＝1－x交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則ax＋by＝1，ax＋by＝1， 即ax－ax＝－(by－by)， ＝－1， ＝－1， 所以×(－1)×＝－1， 所以＝.故選B. 答案：

9、B 12．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為________． 解析：由＋＝1可得F(－1,0)． 設(shè)P(x，y)，－2≤x≤2，則·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時，·取得最大值6. 答案：6 13．已知橢圓＋＝1的離心率e＝. (1)若＝3，求橢圓方程； (2)直線l過點(diǎn)C(－1,0)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且滿足：＝3，試求△OAB面積的最大值． 解析：(1)因?yàn)闄E圓的方程為＋＝1(a>b>0)， 由e＝＝，及a2＝b2＋c2， 得a2＝3b2， 又＝3， 所以a2＝3

10、，b2＝1， 所以橢圓方程為＋y2＝1. (2)由e＝＝，及a2＝b2＋c2，得a2＝3b2，可設(shè)橢圓的方程為＋＝1， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由題意知直線l的斜率存在，則設(shè)l的方程為y＝k(x＋1)， 由 得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－3b2＝0， 且Δ＝12(3b2－1)k2＋12b2， 因?yàn)橹本€l交橢圓于兩點(diǎn)，且＝3， 所以點(diǎn)C在橢圓內(nèi)部， 所以a>1， 所以3b2>1，所以Δ>0. 所以x1＋x2＝. 因?yàn)椋?， 所以(x1＋1，y1)＝3(－1－x2，－y2)， 所以x1＝－4－3x2， 所以x2＋1＝－， 所以|x1－x2

11、|＝. 又O到直線l的距離為d＝， 所以S△ABO＝|AB|d ＝|x1－x2|·d ＝ ＝≤， 所以當(dāng)且僅當(dāng)3|k|＝，即k＝±時， S△ABO取最大值. 14．設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知|AB|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率； (2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率． 解析：(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0)． 由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2， 又b2＝a2－c2，則＝.所以橢圓的離心率e＝. (2)由

12、(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故橢圓方程為＋＝1. 設(shè)P(x0，y0). 由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)． 由已知，有·＝0， 即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0， 故有x0＋y0＋c＝0.① 又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故＋＝1.② 由①和②可得3x＋4cx0＝0.而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn)，故x0＝－，代入①得y0＝， 即點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 設(shè)圓的圓心為T(x1，y1)，則 x1＝＝－c，y1＝＝c， 進(jìn)而圓的半徑r＝＝c， 設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y＝kx. 由l與圓相切，可得＝r， 即＝c， 整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±. 所以直線l的斜率為4＋或4－. - 9 -