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1、五 解析幾何(B)
1.(2018·上饒三模)已知橢圓C1:+y2=1(a>1)的離心率e=,左、右焦點分別為F1,F2,直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸,動直線l2垂直l1于點P,線段PF2的垂直平分線交l2于點M.
(1)求點M的軌跡C2的方程;
(2)當直線AB與橢圓C1相切,交C2于點A,B,當∠AOB=90°時,求AB的直線方程.
2.(2018·煙臺模擬)已知動圓C與圓E:x2+(y-1)2=外切,并與直線y=-相切.
(1)求動圓圓心C的軌跡Γ;
(2)若從點P(m,-4)作曲線Γ的兩條切線,切點分別為A,B,求證:直線AB恒過定點.
2、
3.(2018·商丘二模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,過焦點F的直線交C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,y1y2=-4.
(1)求拋物線方程;
(2)點B在準線l上的投影為E,D是C上一點,且AD⊥EF,求△ABD面積的最小值及此時直線AD的方程.
4.(2018·河南許昌質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中,動點M到點(-1,0)與點(1,0)的距離和為4.
(1)求動點M的軌跡Γ的方程;
(2)已知斜率為的直線l交Γ于不同的兩點A,B,是否存在定點P,使得直線PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,請求出點P的坐
3、標;若不存在,請說明理由.
1.解:(1)由e2===,得a=,c=1,
故F1(-1,0),F2(1,0),
依條件可知|MP|=|MF2|,
所以點M的軌跡是以l1為準線,F2為焦點的拋物線,
所以C2的方程為y2=4x.
(2)顯然當AB斜率不存在時,不符合條件.
當AB斜率存在時,設AB:y=kx+m,
由消y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
因為AB與C1相切,
所以Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,
得m2=2k2+1>1,①
又由消y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2)
4、,則x1+x2=,x1x2=,
且有得k≠0,km<1,
因為OA⊥OB,
所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=()2+4·=0,得m=-4k,
聯(lián)立①,得k=±,
故直線AB的方程為y=±(x-4).
2.(1)解:由題意知,圓E的圓心E(0,1),半徑為.設動圓圓心C(x,y),半徑為r.
因為圓C與直線y=-相切,所以d=r,
即y+=r.①
因為圓C與圓E外切,所以|CE|=+r,
即=+r.②
聯(lián)立①②,消去r,可得x2=4y.
所以C點的軌跡Γ是以E(0,1)為焦點,y=-1為準線的拋物線.
(2)證明:由已知直線A
5、B的斜率一定存在.不妨設直線AB的方程為y=kx+b.
聯(lián)立整理得x2-4kx-4b=0,
其中Δ=16(k2+b)>0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=-4b.①
由拋物線的方程可得y=x2,所以y′=x.
所以過A(x1,y1)的拋物線的切線方程為
y-y1=x1(x-x1),
又y1=,代入整理得y=x1x-.
因為切線過P(m,-4),代入整理得-2mx1-16=0,
同理可得-2mx2-16=0.
所以x1,x2為方程x2-2mx-16=0的兩個根,所以x1+x2=2m,x1x2=-16.②
由①②可得x1x2=-4b=-1
6、6,x1+x2=4k=2m.
所以b=4,k=,AB的方程為y=x+4.
當x=0時,y=4,
所以直線AB恒過定點(0,4).
3.解:(1)依題意F(,0),
當直線AB的斜率不存在時,y1y2=-p2=-4,p=2,
當直線AB的斜率存在時,設AB:y=k(x-),
由化簡得y2-y-p2=0,
由y1y2=-4得p2=4,p=2,
所以拋物線方程為y2=4x.
(2)設D(x0,y0),B(,t),則E(-1,t),
又由y1y2=-4,可得A(,-),
因為kEF=-,AD⊥EF,所以kAD=,
故直線AD:y+=(x-),
即2x-ty-4-=0,
由
7、化簡得y2-2ty-8-=0,
所以y1+y0=2t,y1y0=-8-.
所以|AD|=|y1-y0|
==,
設點B到直線AD的距離為d,則
d==,
所以S△ABD=|AD|·d=≥16,
當且僅當t4=16,即t=±2時取等號,
當t=2時,AD:x-y-3=0,
當t=-2時,AD:x+y-3=0.
4.解:(1)設動點M的坐標為(x,y),
因為動點M到點(-1,0)與點(1,0)的距離和為4,4>2,
根據(jù)橢圓的定義,知所求的動點M的軌跡Γ是以點(-1,0)與點(1,0)為焦點的 橢圓.
所以解得
所以軌跡Γ的方程為+=1.
(2)假設存在定點P(
8、x0,y0),使得直線PA,PB的斜率的和為0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),直線PA,PB的斜率分別為k1,k2.
斜率為的直線l的方程為y=x+m(m∈R),
由
得x2+mx+m2-3=0,
所以Δ=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)>0,
所以m2<4,解得-2
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